高二数学PPT之人教版高中数学选修4-5课件：3.3排序不等式
排序不等式
【自主预习】 1.顺序和、乱序和、反序和的概念 设有两个有序实数组:a1≤a2≤…≤an;b1≤b2≤…≤bn, c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一个排列.
(1)顺序和:_a_1_b_1+_a_2_b_2_+_…__+_a_nb_n_.
(2)乱序和:_a_1_c_1+_a_2_c_2_+_…__+_a_nc_n_. (3)反序和:_________________.
a1bn+a2bn-1+…+anb1
2.排序不等式(排序原理)
设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2, …,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则_a_1_b_n+_a_2_b_n_-1_+_…__+_a_n_b_1 ≤a1c1+a2c2+…+ancn≤________________,当且仅当 a1=a2=…=an或b1=b2=…=ab1nb时1+,a反2b2序+…和+等an于bn 顺序和.
【即时小测】
1.已知a,b,c∈R+,则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系 是( )
A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2a
B.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a
C.a3+b3+c3<a2b+b2c+c2a
D.a3+b3+c3≤a2b+b2c+c2a
【解析】选B.因为a,b,c∈R+,不妨设a≤b≤c,则 a2≤b2≤c2,由排序不等式得a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.
2.若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是( )
A.ax+cy+bz
B.bx+ay+cz
C.bx+cy+az
D.ax+by+cz
【解析】选D.因为a<b<c,x<y<z,
由排序不等式:反序和≤乱序和≤顺序和,
得:顺序和ax+by+cz最大.
3.已知a,b,c≥0,且a2+b2+c2=3,则 a b＋b c＋c a 的最大值是_________.
【解析】因为a,b,c≥0,
不妨设a≤b≤c,则a2≤b2≤c2,
则
a ? b ? c,
a b ? b c ? c a ? a a ? b b ? c c，
当且仅当a=b=c时等号成立,又a2+b2+c2=3,
所以a=b=c=1,
于是
的最大值为3.
答案:a3 b＋b c＋c a
【知识探究】 探究点 排序不等式 1.使用排序不等式的关键是什么? 提示:使用排序不等式,关键是出现有大小顺序的两列 数(或者代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系.
2.已知两组数1,2,3和4,5,6,试检验它们的顺序和是 否最大?反序和是否最小? 提示:反序和S1=1×6+2×5+3×4=28, 乱序和S=1×4+2×6+3×5=31, S=1×5+2×4+3×6=31, S=1×5+2×6+3×4=29,
S=1×6+2×4+3×5=29, 顺序和S2=1×4+2×5+3×6=32. 由以上计算知S1<S<S2, 所以顺序和最大,反序和最小.
【归纳总结】 1.对排序不等式的理解 排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的 问题,能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分 为三种形式:顺序和、反序和、乱序和,对这三种不同
的搭配形式只需注意是怎样的“次序”,两种较为简单 的是“顺与反”,而乱序和也就是不按“常理”的顺序 了.
2.排序不等式的本质 两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两 乘积之和最大,反方向单调(一增一减)时所得两两乘积 之和最小.
3.排序不等式取等号的条件 等号成立的条件是其中一序列为常数序列,即 a1=a2=…=an或b1=b2=b3=…=bn.
4.排序原理的思想 在解答数学问题时,常常涉及一些可以比较大小的量, 它们之间并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时, 我们可以利用排序原理的思想方法,将它们按一定顺序 排列起来,继而利用不等关系来解题.因此,对于排序原
理,我们要记住的是处理问题的这种思想及方法,同时 要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.
类型一 利用排序不等式求最值
【典例】设a,b,c为任意正数,求 a ? b ? c
的最小值.
b?c c?a a?b
【解题探究】本例中要利用排序原理求解最小值,关键 是什么? 提示:关键是找出两组有序数组,然后根据反序和≤乱 序和≤顺序和求解最小值.
【解析】不妨设a≥b≥c,则a+b≥a+c≥b+c, 1 ≥
b?c 1 ≥ 1 ,由排序不等式得,
c ? a + a ? b+
≥
+
+
a
bc
b
c
a
b?c + c?a + a?b ≥ b?c + c?a + a?b
a
b
c
c
a
b
b?c c?a a?b b?c c?a a?b
上述两式相加得:
2 ( a + b + c )≥3,即 a + b + c ≥ 3 .
当且b仅? c当ac=?ba=c时a ?,b
+
b?c
+
c ?取a 最小a ?值b
2
.
a
b
c
3
b?c c?a a?b
2
【方法技巧】利用排序原理求最值的方法技巧 求最小(大)值,往往所给式子是顺(反)序和式.然后利 用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理适当构造出一 个或二个乱序和从而求出其最小(大)值.
【变式训练】1.已知两组数1,2,3和4,5,6,若c1,c2,c3 是4,5,6的一个排列,则1c1+2c2+3c3的最大值是 _________,最小值是_________. 【解析】由反序和≤乱序和≤顺序和知,顺序和最大, 反序和最小,故最大值为32;最小值为28. 答案:32 28
2.设0<a≤b≤c且abc=1.
试求
a3
1
?b?
c?
?
b3
1
?a ?
c?
?
c3
1
?a ?
b?
的最小值.
【解析】令S=
a3
?
1 b?
c
?
?
b3
1
?a ?
c
?
?
c3
1
?a ?
b
，
?
则S
?
a
?
3
abc?2 ?b?c
?
?
?
b3
abc?2 ?a ?c
?
?
?
c3
abc?2 ?a ?b
?
?
a
bc
?b?
c?
bc
?
ac
b?a ?
c?
ac
?
ab
c?a ?
b?
ab.
由已知可得:
a
?
1 b?
c
?
?
1
b?a ?
c?
?
c
1
?a ?
b?，ab
?
ac
?
bc.
所以S
?
a
bc
?b ? c?
ac ?
ac
b?a ?
c?
ab
?
ab
c?a ?
b?
bc
?
a
?
c b?
c?
?
b
?
a a?
c?
?
b
c?a ?
b?
.
又S
?
bc
a ?b ? c?
ab
?
ac
b?a ?
c?
bc
?
ab
c?a ?
b?
ac
?
a
?
b b?
c?
?
b
?
c a?
c?
?
a
c?a ?
，
b?
两式相加得: 2S ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 3 1 ? 3. a b c abc
所以S≥ 3，即 2
a
3
?
1 b?
c
?
?
b3
?
1 a?
c
?
?
c3
?
1 a?
b
?
的最小值
为
3. 2
类型二 利用排序不等式证明不等式
【典例】已知a,b,c都是正数,求证: 1 ? 1 ? 1 ? abc
a8 ? b8 ? c8 a3b3c3 .
【解题探究】本例不等式的两端如何分别构造、变形?
提示:将右端 a8 ? b8 ? c8 变形为 a5 ? b5 ? c5 .
将左端
a构3b3造c3 为
b3c3 a3c3 a3b3 的形式.
1?1?1 abc
a2 a3
?
b2 b3
?
c2 c3
【证明】由于a,b,c的对称性,不妨设a≥b≥c>0,
则 1 ≥ 1 ≥ 1 .因而 又ac5≥bb5≥c5a.
1 b3c3
?
1 c3a3
?
1 a3b3 .
由排序不等式,得
a5 ? b5 ? c5 b3c3 c3a3 a3b3
≥
a5 c3a3
?
b5 a3b3
?
c5 b3c3
=
a2 c3
?
b2 a3
?
c2 b3
.
又由不等式性质,知a2≥b2≥c2,
1 c3
?
1 b3
?
1 a3
.
根据排序不等式,得
≥
=++.
由ac32不? 等ba32 ?式bc23的传aa递23 ?性bb23知? cc23
1 a
11 bc
++≤
=
.
11 1 ab c
a5 b5 c5 b3c3 ? c3a3 ? a3b3
a8 ? b8 ? c8 a3b3c3
【延伸探究】本例中若将要证明的不等式改为 b2c2 ? c2a2 ? a2b2 ? abc, 如何证明呢?
a?b?c
【证明】不妨设a≥b≥c,则 1 ? 1 ? 1 ,bc≤ca≤ab.
abc
由排序原理,得 bc ? ac ? ab ? bc ? ac ? ab ,
即
a≥ab+b+cc . c a b
b2c2 ? c2a2 ? a2b2
因为a,b,acbc为正数,所以abc>0,a+b+c>0,
所以
≥abc.
b2c2 ? c2a2 ? a2b2 a?b?c
【方法技巧】利用排序不等式证明不等式的策略 (1)利用排序不等式证明不等式时,若已知条件中已给 出两组量的大小关系,则需要分析清楚顺序和、乱序和 及反序和.利用排序不等式证明即可.
(2)在排序不等式的条件中,需要限定各数值的大小关 系,如果对于它们之间并没有预先规定大小顺序,那么 在解答问题时,我们要根据各字母在不等式中的地位的 对称性将它们按一定顺序排列起来,进而用不等关系来 解题.
【变式训练】设x,y,z∈R+,且x+y+z=1,则P= x2 ? y2 ? z2 yzx
与1的大小关系为 ( )
A.P=1
B.P<1
C.P≥1
D.P≤1
【解析】选C.由x,y,z∈R+且x+y+z=1,
不妨设x≥y≥z,则x2≥y2≥z2, 1 ? 1 ? 1 .
由排序不等式
xyz
=x+y+z=1.
x2 ? y2 ? z2 ? x2 ? y2 ? z2 yzxxyz
当且仅当x=y=z= 时等号成立,所以P≥1.
1 3
【补偿训练】已知a,b,c为正数,用排序不等式证明: 2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
【证明】取两组数a,b,c;a2,b2,c2.不管a,b,c的大小如 何,a3+b3+c3都是顺序和,而a2b+b2c+c2a及a2c+b2a+c2b都 是乱序和,因此, a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a, a3+b3+c3≥a2c+b2a+c2b. 所以2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).
自我纠错 判断两数的大小
【典例】一般地,对于n个正数a1,a2,…,an.几何平均数
Gn=
,算术平均数An=
,利用排序
不等式n a1判a2断...aGnn,An的大小关系.
a1 ? a2 ? ...? an n
【失误案例】
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是忽视了等号成立的条件.实际 上本题当且仅当x1=x2=…=xn时取等号.正确解答过程如 下:
【解析】令bi= ai (i=1,2,…,n),则b1b2…bn=1, 故可取x1,x2,…,Gxnn >0,
使得b1= x1 ,b2= x2 ,…,bn-1= xn?1 ,bn= xn .
由排序不x等2 式有:xb3 1+b2+…+bn= xn
x1 ≥
x1·
+x2·
+…+xn·
=n,xx12
?
x2 x3
?
...
?
xn x1
1
1
1
x1
x2
xn
当且仅当x1=x2=…=xn时取等号,所以
≥n,即 a1 ? a2 ? ...an ≥Gn.即An≥Gn. n
a1 ? a2 ? ... ? an
Gn Gn
Gn