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江苏省江阴市长泾中学2016届高考数学一轮复习 同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件


同角三角函数的基本关系式与诱导公式

高考原题赏析
(2015 江苏· 15)在△ABC 中, 已知 AB=2, AC=3, A=60° . (1)求 BC 的长;(2)求 sin2C 的值. 解:(1)由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cosA =4+9-6=7, 所以BC= 7. BC2+AC2-AB2 2 7 (2)由(1)可知cosC= 2BC· AC = 7 , 21 2 于是sinC= 1-cos C= . 7 于是sin2C=2sinCcosC=4 3. 7 【点评】

作为解答题的第一题,本题直接应用余弦定理和同角三角 函数关系式、二倍角公式,运算简洁,思路清晰,属于容易题.

高考原题赏析
(2013 年江苏· 18)如图,游客从某旅游景区的景点处下山至 C 处有两种 路径. 一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B, 然后从 B 沿直线步行到 C .甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步 行,速度为 50m/min. 在甲出发 2min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停 留 1min 后,再从 B 匀速步行到 C. 假设缆车匀速直线运动的速度为 12 3 130m/min,山路 AC 长为 1260m,经测量,cosA= ,cosC= . 13 5 (1) 求索道 AB 的长; (2) 问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3) 为使两位游客在 C 处相互等待的时间不超过 3 分钟, 乙步行的速度应 控制在什么范围内?

解:(1)

高考原题赏析

(2)
设乙出发 t(0<t≤8)分钟后,甲到了 D 处,乙到了 E 处,

则有 AD=50t+100,AE=130t.
根据余弦定理

高考原题赏析
250 74 DE 有最小值 DE= . 37
(3)设甲所用时间为 t 甲,乙所用时间为 t 乙,乙步 行速度为 V 乙, 由题意

解不等式得

【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数、同角三角函 数关系式、正余弦定理及其应用.本题综合性强,对运算能 力、分析问题解决问题的能力要求较高,属于较难题.

一、学习目标: 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α, π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式; 2.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+ cos2x=1,tan x= sinx/cosx ; 3.熟练的运用相关公式解决三角函数的求值、化 简、证明等问题.

二、基础回顾:
1 1.cos 300°=________. 2
有其它方 1 1 解析 cos 300° =cos(360° -60° )=cos 60° = . 法吗? 2 10 1 3 2.若 3sin α+cos α=0,则 2 的值为________ . cos α+sin 2α 2 解析 ∵3sin α+cos α=0,sin2α+cos2α=1, 1 2 ∴sin α= , 10 1 1 ∴ 2 = cos α+sin 2α cos2α+2sin α· ?-3sin α?
1 10 = = . 1-7sin2α 3

3 3 5 3.α 是第一象限角,tan α= ,则 sin α=________. 4 17π 17π 2 4.cos(- )-sin(- )=________. 4 4 17π 17π 解析 cos(- )-sin(- ) 4 4 π π =cos(-4π- )-sin(-4π- ) 4 4 π π =cos(- )-sin(- ) 4 4

π π =cos +sin = 2. 4 4

1-a 3a-1 5.已知 sin θ= ,cos θ= ,若 θ 是第二象 1+a 1+ a 限角,求实数 a 的值. 5.解 ∵θ 是第二象限角,∴sin θ>0,cos θ<0.
? ?0<sin θ=1-a<1, 1+ a ? ∴? 3a-1 ? -1<cos θ= <0, ? 1+ a ?

1 解得 0<a< . 3

又∵sin2θ+cos2θ=1,
?1-a? ? ? ? ?2 ?3a-1?2 ∴? ? +? 1+a ? =1, 1 + a ? ? ? ?

1 1 解得 a= 或 a=1(舍去). 故实数 a 的值为 . 9 9

知识梳理 1.同角三角函数的基本关系 sin2α+cos2 α=1 (1)平方关系:___________________________. tan α =sin α /cosα (2)商数关系:___________________________. 2.诱导公式 sin , α cos(α+2kπ)=______ cosα (1)sin(α+2kπ)=____ , tan , α k∈Z. tan(α+2kπ)=____ - sin α cos(-α)=___ cos α tan(-α)=___. -tan α (2)sin(-α)=___ , , - cos αtan(π-α)=___. -tan α sin αcos(π-α)=___ (3)sin(π-α)=___ , , - sin - cos α tan(π+α)=___. tan α (4)sin(π+α)=___ ,α cos(π+α)=___ ,
?π ? ?π ? cos α sin α (5)sin?2-α?=________,cos?2-α?=________. ? ? ? ? ?π ? ?π ? -sin α cos α (6)sin?2+α?=________,cos?2+α?=________. ? ? ? ?

3.诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化 为锐角三角函数,一般步骤为: 任意角的三角函数 正角的三角函数

负化正
小化锐 锐角的三角函数

大化小 [0,2π)内角的三角函数

三、典例精析
π 1 例 1 已知- <x<0,sin x+cos x= . 2 5 tan x (1)求 sin2x-cos2x 的值;(2)求 的值. 2sin x+cos x 1 1 24 解 由 sin x+cos x= 得, 1+2sin xcos x= ,则 2sin xcos x=- . 5 25 25 π

题型一

利用同角三角函数基本关系式化简、求值

∵- <x<0,∴sin x<0,cos x>0,即 sin x-cos x<0.则 2 24 7 2 2 sin x-cos x=- sin x-2sin xcos x+cos x=- 1+25=-5. ? 7? 1 2 2 (1)sin x-cos x=(sin x+cos x)(sin x-cos x)= ×?- ?=- 7 . 5 ? 5? 25 1 ? 3 ? ?sin x=- ?sin x+cos x=5 5 3 (2)由? ,? ? 得 , 则 tan x=- . ?sin x-cos x=-7 4 4 ? 5 ? cos x= 3 ? 5 ? - 4 tan x 15 即 = = . 6 4 8 2sin x+cos x - +

借题发挥 1

已知

?3π ? sin(3π+α)=2sin? 2 +α?,求下列各式的值. ? ?

sin α-4cos α (1) ;(2)sin2α+sin 2α. 5sin α+2cos α ?3π ? 借题发挥 1 解 ∵sin(3π+α)=2sin? 2 +α?, ? ? ∴-sin α=-2cos α. ∴sin α=2cos α,即 tan α=2. 方法一 (直接代入法):(1)原式= 2cos α-4cos α =-1. 6 5×2cos α+2cos α 2 2 2 sin α + sin α 8 sin α+2sin αcos α = = . (2)原式= 2 2 1 5 2 2 sin α+cos α sin α+ sin α 4 tan α-4 2- 4 1 (1)原式= = =- . 方法二 (同除转化法): 6 5tan α+2 5×2+2 2 2 tan α+2tan α 8 2sin αcos α (2)原式=sin2α+2sin αcos α=sin α+ = = . 2 2 2 5 tan α + 1 sin α+cos α

解题反思: 学会利用方程思想解三角函数题,对于

sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α
这三个式子,已知其中一个式子的值,就可以求出其 余二式的值,但要注意对符号的判断.

利用诱导公式化简、求值 ? π? 5 ? ? 例 2 已知 sin α+2 =- ,α∈(0,π). 5 ? ? ? ?3π ? π? sin?α-2 ?-cos? 2 +α? ? 3π? ? ? ? ? (1)求 的值;(2)求 cos?2α- 4 ?的值. sin?π-α?+cos?3π+α? ? ? ? π? 5 ? ? 解 (1)∵sin α+2 =- ,α∈(0,π), 5 ? ? 5 2 5 ∴cos α=- ,sin α= . 5 5 ? ?3π ? π? sin?α-2 ?-cos? 2 +α? -cos α-sin α 1 ? ? ? ?= =- . ∴ 3 sin α - cos α sin?π-α?+cos?3π+α? 4 3 5 2 5 ∴sin 2α=- ,cos 2α=- , (2)∵cos α=- ,sin α= , 5 5 5 5 ? 3π? 2 2 2 ? ? ∴cos 2α- 4 =- cos 2α+ sin 2α=- . 2 2 10 ? ?

题型二

解题反思:三角函数的诱导公式记忆有一定规律:
?k ? ? ? π + α ?2 ?的本质是:奇变偶不变(对 ? ?

k 而言,指 k 取奇数或偶

数),符号看象限(看原函数,同时可把 α 看成是锐角).

诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般 步骤: (1)负角变正角,再写成 2kπ+α,0≤α<2π; (2)转化为锐角三角函数.

借题发挥 2 2sin?π+α?cos?π-α?-cos?π+α? (1)设 f(α)= ?3π ? ?π ? (1+2sin α≠0), 1+sin2α+cos? 2 +α?-sin2?2+α? ? ? ? ? ? 23π? 3 ? ? - 则f 6 ?=________. ? sin?kπ-α?· cos[?k-1?π-α] (2)化简: (k∈Z). sin[?k+1?π+α]· cos?kπ+α? ?-2sin α??-cos α?+cos α 2sin αcos α+cos α 解: (1)∵f(α)= = 1+sin2α+sin α-cos2α 2sin2α+sin α cos α?1+2sin α? 1 = = , sin α?1+2sin α? tan α ? 23π? 1 1 1 = = 3. = ? ∴f?- 6 ?= ? ? ? π π 23π ? ? ? -4π+ ? tan tan - 6 ? tan? 6 6? ? ? ?

(2)解 当 k 为偶数 2n (n∈Z)时, sin?2nπ-α?· cos[?2n-1?π-α] sin?-α?· cos?-π-α? 原式= = sin[?2n+1?π+α]· cos?2nπ+α? sin?π+α?· cos α -sin α·cos?π+α? -cos α = = =-1; -sin α·cos α cos α 当 k 为奇数 2n+1 (n∈Z)时, sin[?2n+1?π-α]· cos?2nπ-α? 原式= sin[?2n+2?π+α]· cos[?2n+1?π+α]
cos α sin?π-α?· cos?-α? = sin α· =-1. = sin α · ? - cos α ? sin?2π+α?· cos?π+α?

综上可知 当 k∈Z 时,原式=-1.

题型三

公式的综合应用

例3 (1)在△ABC中,若sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC的三个内角. (2)已知sin θ,cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根. π π 1 ①求cos3( -θ)+sin3( -θ)的值;②求tan(π-θ)- 的值. 2 2 tan θ ? ① ?sin A= 2sin B, ? 解:(1) 由已知 ? ? 3cos A= 2cos B, ②
2 2 2

2 ① +② 得2cos A=1,即cos A=± . 2 2 3 ①当cos A= 时,cos B= ,又A、B是三角形的内角, 2 2 π π 7 ∴A= ,B= ,∴C=π-(A+B)= π. 4 6 12 2 3 又A、B是三角形的内角, ②当cos A=- 时,cos B=- . 2 2 3 5 ∴A= π,B= π,不合题意. 4 6 π π 7 综上知,A= ,B= ,C= π. 4 6 12

解题反思 先利用诱导公式化简已知条件,再利用平方关系 求得 cos A.求角时,一般先求出该角的某一三角函数 值,再确定该角的范围,最后求角.诱导公式在三角 形中常用结论有: A B C π A+B=π-C; + + = . 2 2 2 2

例 3 (1)在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三个内角. (2)已知 sin θ,cos θ 是关于 x 的方程 x2-ax+a=0(a∈R)的两个根. π π 1 ①求 cos3( -θ)+sin3( -θ)的值;②求 tan(π-θ)- 的值. 2 2 tan θ

(2)解 由已知原方程的判别式 Δ≥0, 即(-a)2-4a≥0,∴a≥4 或 a≤0.
? ?sin 又? ? ?sin

θ+cos θ=a θcos θ=a

,(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,

则 a2-2a-1=0, 从而 a=1- 2或 a=1+ 2(舍去), 因此 sin θ+cos θ=sin θcos θ=1- 2. 3 π 3 π ①cos ( -θ)+sin ( -θ)=sin3θ+cos3θ 2 2 2 =(sin θ+cos θ)(sin θ-sin θcos θ+cos2θ) =(1- 2)[1-(1- 2)]= 2-2.

sin θ cos θ 1 1 =-( + ) ②tan(π-θ)- =-tan θ- cos θ sin θ tan θ tan θ 1 1 =- =- 1- 2 =1+ 2. sin θcos θ
解题反思: (1)已知 sin θ,cos θ 是关于 x 的方程 x2-ax+a =0(a∈R)的两个根,表明方程有两根,因此不能忽视 △ ≥0 这一隐含条件.

(2)在解题过程中还要注意“切化弦”、“1”的逆 代等的使用.

π π 借题发挥 3 是否存在角 α,β,其中 α∈(- , ),β∈(0,π), 2 2 π 使得等式 sin(3π-α)= 2cos( -β), 3cos(-α)=- 2cos(π+β) 2 同时成立.若存在,求出 α,β 的值;若不存在,请说明理由. 解 假设满足题设要求的 α,β 存在,则 α,β 满足
? ?sin α= 2sin β ? ? ? 3cos α= 2cos
2

① β②

得 sin2α+3(1-sin2α)=2,

1 2 π π π π 即 sin α= ,sin α=± . ∵- <α< ,∴α= 或 α=- . 2 2 2 2 4 4 π π 3 (1)当 α= 时,由②得 cos β= , ∵0<β<π,∴β=6. 4 2 3 π π (2)当 α=- 时,由②得 cos β= 2 ,β=6,但不适合①式,故舍去. 4 π π 综上可知,存在 α= ,β= 使两个等式同时成立. 4 6

借题发挥 4 证明下列恒等式: 1+2sin(360° +x)cos(360° +x) 1+tan x (1) = ; cos2(360° +x)-sin2(360° +x) 1-tan x tan(2π-α)sin(-2π-α)cos(6π-α) (2) =-tan α. cos(α-π)sin(5π-α) cos2x+sin2x+2sin xcos x 证明:(1)左边= cos2x-sin2x 2 (cos x+sin x) = (cos x+sin x)(cos x-sin x) cos x+sin x 1+tan x = = =右边. cos x-sin x 1-tan x ∴原式得证. -tan αsin(-α)cos(-α) -tan α(-sin α)cos α (2)左边= cos(π-α)sin(π-α) = -cos αsin α =-tan α=右边. ∴原式得证.

课堂小结
1 . 由一个角的三角函数值求其他三角函数值 时,要注意讨论角的范围.
2.注意公式的变形使用,弦切互换、三角代换、 消元是三角代换的重要思想,要尽量少开方运算,慎重 确定符号.注意“1”的灵活代换.

3.应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负 号”的正确判断.

4.题型提示
题型一:利用同角三角函数基本关系式化简、求值 题型二:利用诱导公式化简、求值

题型三:公式的综合应用

四、巩固与拓展
?4n-1 ? ?4n+1 ? ? ? ? ? (1)化简:sin? π-α?+cos? π-α? ? 4 ? ? 4 ?

(n∈Z);

sin(nπ-α)cos[(n-1)π-α] (2)化简: (n∈Z). sin[(n+1)π+α]cos(nπ+α) 解:(1)当 n 为偶数时,设 n=2k (k∈Z),则
?8k-1 ? ?8k+1 ? ? ? ? ? 原式=sin? + cos π- α? ? 4 π - α? ? 4 ? ? ? ? ? π ?? ? ?π ?? =sin?2kπ+?-4-α??+cos?2kπ+?4-α?? ? ? ?? ? ? ?? ? π ? ?π ? =sin?-4-α?+cos?4-α? ? ? ? ? ?π ?π ?? ?π ? ? ? =-sin?4+α?+cos?2-?4+α?? ? ?? ? ? ? ?π ? ?π ? =-sin?4+α?+sin?4+α?=0. ? ? ? ?

当 n 为奇数时,设 n=2k+1 (k∈Z)时, ?8k+3 ? ?8k+5 ? ? ? ? ? 原式=sin? π-α?+cos? π-α? ? 4 ? ? 4 ? ? ?3π ?? ? ?5π ?? =sin?2kπ+? 4 -α??+cos?2kπ+? 4 -α?? ? ? ?? ? ? ?? ?3π ? ?5π ? =sin? 4 -α?+cos? 4 -α? ? ? ? ? ? ?π ?? ? ?π ?? =sin?π-?4+α??+cos?π+?4-α?? ? ? ?? ? ? ?? ?π ? ?π ? ?π ?π ?? ?π ? ? =sin?4+α?-cos?4-α? =sin? +α?-cos? -? +α?? ? ? ? ? ?? ?4 ? ?2 ?4 ? ?π ? ?π ? =sin?4+α?-sin?4+α?=0. ? ? ? ? ?4n-1 ? ?4n+1 ? ? ? ? ? 故 sin? π-α?+cos? π-α?=0. ? 4 ? ? 4 ?

(2)当 n=2k (k∈Z)时,
sin(2kπ-α)cos[(2k-1)π-α] sin(-α)· cos(-π-α) 原式= = sin[(2k+1)π+α]cos(2kπ+α) sin(π+α)· cos α -sin α(-cos α) = =-1; -sin α· cos α 当 n=2k+1 (k∈Z)时, sin[(2k+1)π-α]· cos[(2k+1-1)π-α] 原式= sin[(2k+1+1)π+α]· cos[(2k+1)π+α]

sin α· cos α sin(π-α)· cos α =-1. = = sin α· cos(π+α) sin α(-cos α)

综上,原式=-1.

解题反思: (1)角中含有变量 n,因而需对 n 的奇偶分类讨论.

(2)利用诱导公式,需将角写成符合公式的某种形式, 这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看.


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