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(名师课堂)2013-2014学年高中数学 3.1.1《倾斜角与斜率》课件(2)新人教A版必修2


第三章 直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率

y y o
l

l2 y
x o

l3
P y o

l

l1
?x ?
l l

l

y o

? x ?
Q O

? x

x

1、直线的倾斜角
当直线 l 与x轴相交时,我们取 x 轴为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所形成的角? 叫做直线 l 的倾斜角。

(1)规定:当直线与 x轴平行或重合时,倾斜 角为0o ;

( 2)倾斜角?的取值范围为 0o ? ? ? 180o ;

K ? tan ?

思考:日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量呢?
1 升高量 ? ? 坡度(比) ? 02 - -1 前进量
3? 2

k

?

?

?

?
3? 2

2

?
前进

升 高

2、直线的斜率

一条直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。 斜率通常用k 表示,即:

k ? tan ?

(? ? 90o )

(1)当 ? ? [00 ,900 ) 时,k随

?增大而增大,且k ? 0 ?

(2)当 ? ? (900 ,1800 ) 时,k随 增大而增大,且k<0 0 注意: ? ? 90 时,k不存在

y ? tan x

y 3? 2

-

?

?

?
2

1 -1 0

?
2

?

3? 2

x

DEF 例1:关于直线的倾斜角和斜率,其中____ 说法是正确的. A.任一条直线都有倾斜角,也都有斜率; B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大; C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π; D.两直线的斜率相等,它们的倾斜角相等 E.直线斜率的范围是(-∞,+∞).. F. 一定点和一倾斜角可以唯一确定一条直线

探究:经过两点 p1 ( x1 , y1 ), p2 ( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2 的直线的斜率k
Y
P1 ( x1 , y1 )
?

Y
?

P2 ( x2 , y2 ) Q( x2 , y1 ) Q( x2 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )
?

Y
P2
?

P1
?

Y

P 1

P 1 ( x1 , y1 )
?

Q

Q ?

P2

O
(1 )

X

O
(2)

X

O
(3)

X

?

(4)

O

X

1.当直线 PP 1 2 的方向向上时: 图(1)在 Rt?PP k 1 2Q 中, 图(2)在 Rt ?PPQ 中, k 1 2

? tan ?

? tan ?QPP 1 2 ?

| QP2 | y2 ? y1 y2 ? y1 tan ? | QP1 | ? x1 ? x2 ? ? x ? x 2 1 y ?y y ? y2 ? k ? tan ? ? 2 1 ? 1 x2 ? x1 x1 ? x2 y2 ? y1 y1 ? y2 同理也有k ? tan ? ? ? 2.当直线 PP 1 2 的方向向下时, x2 ? x1 x1 ? x2

? tan ? ? tan(1800 ?? ) ? ? tan ?

| QP2 | y2 ? y1 ? x2 ? x1 | QP 1|

?

3、斜率公式 经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 的直线的斜率公式

y2 ? y1 k? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1
公式的特点:
(1) 与两点的顺序无关;

(2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两 点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角 (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900

例题分析

? 1,2, ?3 ? 例2:在直角坐标系中画出经过原点且斜率分别为 1, 的直线 l1 , l2 , l3 , l4 . y
A3 A1

l3

l1
x

O

A2

l2
A4

l4

例题分析
3? 2

K ? tan ?

k
?
?

?
2

-

-

1 -1 0

?
2

?

3? 2

?

0 0 45 ? ? ? 60 ? 例3、(1)直线的倾斜角为 ,且

[1, 3] 则直线的斜率k的取值范围是______ 。

(2)直线的倾斜角为 ? ,且 450 ? ? ? 1350 [1, ??) ? (??, ?1] 。 则直线的斜率k的取值范围是_______
(3)设直线的斜率为k,且 ?1 ? k ? 1 ,则直线
0 0 0 0 [0 , 45 ) ? [135 ,180 的倾斜角?的取值范围是_______。 )

小结:1.由()( 1 2)得出:若?的范围不含900,则k范围取中间 若?的范围含900,则k范围取两边

2.由(3)得:负 ? k ? 正,应将k 值分为正负两部分, 再求角范围

(3,2),( B -4,1),C(0, ?1 ), 例4:已知点 A

(1).求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这 些直线的倾斜角是锐角还是钝角 (2).过点C的直线 l 与线段AB有公共点, 求 l 的斜率k的取值范围
y A B O C
1? 2 1 解:() 1 k AB ? ? 锐角 ?4 ? 3 7 ?1 ? 1 1 k BC ? ?? 钝角 0 ? (?4) 2 ?1 ? 2 kCA ? ?1 锐角 0?3 x

1 (2)k ?[1,+?)?(-?,- ] 2

一半

3 例5:已知直线AB的斜率为 4,直线
解:kl ? 2k AB 3 3 ? 2? ? 2 4 tan 2?
错解 2?

l 的倾斜角是 直线AB的倾斜角 ?的两倍,求直线 l 的斜率.

? ? 2 tan 2 tan 3 2k 2 2 解:由 tan ? ? 得: ? ? ,即 2 4 1 ? k 2? 2? 1 ? tan 1 ? tan 2 2 1 2 3k ? 8k ? 3 ? 0, 解得:k1 ? 或k2 ? ?3 (舍) 3

3 24 4 解:k ? tan 2? ? ? ? 2 1 ? tan ? 1 ? ( 3 )2 7 4

? 课堂小结
1:直线的倾斜角的概念 2:直线的斜率 3:斜率公式

? ? [0 ,180 )
0 0

y2 ? y1 k? ( x2 ? x1 ) x2 ? x1

k ? tan ?


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