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2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高三(下)开学数学试卷(文科)(重点班)(解析版)


2016-2017 学年陕西省延安市黄陵中学高三 (下) 开学数学试卷 (文科) (重 点班)
一、选择题: (共 12 题,每题 5 分,只有一个正确选项) 1. (5 分)抛物线 A.x=﹣1 B.y=﹣1 的准线方程为( C. D. ) )

2. (5 分)若方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A. (0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1) 3. (5 分) 若双曲线 E: 则|PF2|等于( A.11 B.9 ) C.5 D.3 )

=1 的左、 右焦点分别为 F1, F 2, 点 P 在双曲线 E 上, 且|PF1|=3,

4. (5 分)已知条件 p:|x﹣1|<2,条件 q:x2﹣5x﹣6<0,则 p 是 q 的( A.充分必要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 5. (5 分)一动圆 P 过定点 M(﹣4,0) ,且与已知圆 N: (x﹣4)2+y2=16 相切,则动圆圆心 P 的轨迹方程是( A. ) B.

C.

D.

6. (5 分)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(﹣∞,0]上是减函数,且 f(2)=0, 则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是( )

A. (﹣∞,2) B. (2,+∞) C. (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) D. (﹣2,2) 7. (5 分)图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法,若输入 m=209,n=121, 则输出 m 的值等于( )

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A.10 B.11 C.12 D.13 8. (5 分)下列说法正确的是( )

A.命题“若 x2=1,则 x=1 的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1” B.“m=1”是“直线 x﹣my=0 和直线 x+my=0 互相垂直”的充要条件 C.命题“? x0∈R,使得 x02+x0+1<0”的否定是:“? x∈R,均有 x2+x+1<0” D.命题“已知 A,B 为一个三角形两内角,若 A=B,则 sinA=sinB”的否命题为真命题 9. (5 分)某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得,三视图中的正视图和侧视图如图所 示,求该几何体的表面积( )

A.60π B.75π C.90π D.93π 10. (5 分)已知函数 f(x)= 的取值范围是( A.[ ,1) ) B. (0, ] C.[ , ] D. (0, ]
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(a>0 且 a≠1)在 R 上单调递减,则 a

11. (5 分)已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点,Q 为圆 x2+(y﹣4)2=1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( A. B. C. D. )

12. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数且满足 f( ﹣x)=f(x) ,f(﹣2)=﹣3, 数列{an}是等差数列,若 a2=3,a7=13,则 f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2015)=( A.﹣2 B.﹣3 C.2 D.3 )

二、填空题: (共 4 题,每小题 5 分) 13. (5 分)已知抛物线 y=ax2 的准线方程为 y=﹣2,则实数 a 的值为 . . .

14. (5 分)已知球与棱长均为 2 的三棱锥各条棱都相切,则该球的表面积为

15. (5 分) 设向量 = (sin15°, cos15°) ,= (cos15°, sin15°) , 则向量 + 与 ﹣ 的夹角为 16. (5 分)已知点 M(a,b)在不等式组 a﹣b)所在平面区域的面积为 .

确定的平面区域内运动,则动点 N(a+b,

三、简答题: (共 6 题,计 70 分) 17. (12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(2b﹣c)cosA﹣acosC=0. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=2,△ABC 的面积为 ,求 b,c.

18. (12 分)某单位生产 A、B 两种产品,需要资金和场地,生产每吨 A 种产品和生产每吨 B 种产品所需资金和场地的数据如表所示: 资源 产品 A B 2 3 100 50 资金(万元) 场地(平方米)

现有资金 12 万元,场地 400 平方米,生产每吨 A 种产品可获利润 3 万元;生产每吨 B 种产品 可获利润 2 万元,分别用 x,y 表示计划生产 A、B 两种产品的吨数. (1)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问 A、B 两种产品应各生产多少吨,才能产生最大的利润?并求出此最大利润. 19. (12 分)双曲线 C 的中心在原点,右焦点为 F(
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,0) ,渐近线方程为 y=±

x.

(1)求双曲线 C 的方程; (2)设点 P 是双曲线上任一点,该点到两渐近线的距离分别为 m、n.证明 m?n 是定值. 20. (12 分)已知椭圆 (1)求椭圆的方程; (2 ) 直线 l: x﹣y+m=0 与椭圆交于 A, B 两点, 是否存在实数 m, 使线段 AB 的中点在圆 x2+y2=5 上,若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由. 21. (12 分)已知函数 f(x)=x2+(2m﹣1)x﹣mlnx. (1)当 m=1 时,求曲线 y=f(x)的极值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)若对任意 m∈(2,3)及 x∈[1,3]时,恒有 mt﹣f(x)<1 成立,求实数 t 的取值范 围. 22. (10 分)某石材加工厂可以把甲、乙两种类型的大理石板加工成 A,B,C 三种规格的小 石板,每种类型的大理石板可以同时加工成三种规格小石板的块数如表所示: 板材类型 A B C + =1(a>b>0)的离心率为 ,且 a2=2b.

甲型石板(块) 1 2 4 乙型石板(块) 2 1 5 某客户至少需要订购 A,B 两种规格的石板分别为 20 块和 22 块,至多需要 C 规格的石板 100 块,分别用 x,y 表示甲、乙两种类型的石板数. (1)用 x,y 列出满足客户要求的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)加工厂为满足客户的需求,需要加工甲、乙两种类型的石板各多少块,才能使所用石板 总数最少?

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2016-2017 学年陕西省延安市黄陵中学高三 (下) 开学数学试卷 (文 科) (重点班)
参考答案与试题解析

一、选择题: (共 12 题,每题 5 分,只有一个正确选项) 1. (5 分) (2016 秋?兴庆区校级期末)抛物线 A.x=﹣1 B.y=﹣1 C. D. 的准线方程为( )

【分析】把抛物线 即可求出其准线方程. 【解答】解:把抛物线

转化为标准式方程为 x2=4y,得到焦点在 y 轴上以及 p=2,再直接代入

转化为标准式方程为 x2=4y,

∴抛物线焦点在 y 轴上,且 p=2, 即其准线方程为 y=﹣1. 故选 B. 【点评】本题主要考查抛物线的基本性质.解决抛物线的题目时,一定要先判断焦点所在位 置.

2. (5 分) (1994?全国)若方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 ( )

A. (0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1) 【分析】先把椭圆方程整理成标准方程,进而根据椭圆的定义可建立关于 k 的不等式,求得 k 的范围. 【解答】解:∵方程 x2+ky2=2,即 ∴ 故 0<k<1 表示焦点在 y 轴上的椭圆

故选 D. 【点评】本题主要考查了椭圆的定义,属基础题.

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3. (5 分) (2015?福建)若双曲线 E: 上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( A.11 B.9 C.5 D.3 )

=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线 E

【分析】确定 P 在双曲线的左支上,由双曲线的定义可得结论. 【解答】解:由题意,双曲线 E: ∵|PF1|=3,∴P 在双曲线的左支上, ∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6, ∴|PF2|=9. 故选:B. 【点评】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的定义,属于基础题. =1 中 a=3.

4. (5 分) (2012 秋?临夏县期末)已知条件 p:|x﹣1|<2,条件 q:x2﹣5x﹣6<0,则 p 是 q 的( ) B.充分不必要条件

A.充分必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 【分析】通过解不等式,先化简条件 p,q,再判断出条件 p,q 中的数构成的集合间的关系, 判断出 p 是 q 的什么条件. 【解答】解:条件 p:|x﹣1|<2 即﹣1<x<3, 条件 q:x2﹣5x﹣6<0 即﹣1<x<6, ∵{x|﹣1<x<6}? {x|﹣1<x<3}, ∴p 是 q 的充分不必要条件. 故选 B 【点评】判断应该条件是另一个条件的什么条件,应该先化简,若各个条件是数构成的,可 将判断条件问题转化为判断集合的关系问题.

5. (5 分) (2016 秋?兴庆区校级期末)一动圆 P 过定点 M(﹣4,0) ,且与已知圆 N: (x﹣4)
2

+y2=16 相切,则动圆圆心 P 的轨迹方程是( B.
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A.

C.

D.

【分析】动圆圆心为 P,半径为 r,已知圆圆心为 N,半径为 4 由题意知:PM=r,PN=r+4,所 以|PN﹣PM|=4,即动点 P 到两定点的距离之差为常数 4,P 在以 M、C 为焦点的双曲线上, 且 2a=4,2c=8,从而可得动圆圆心 P 的轨迹方程. 【解答】解:动圆圆心为 P,半径为 r,已知圆圆心为 N,半径为 4 由题意知:PM=r,PN=r+4, 所以|PN﹣PM|=4, 即动点 P 到两定点的距离之差为常数 4,P 在以 M、C 为焦点的双曲线上,且 2a=4,2c=8, ∴b=2 , .

∴动圆圆心 M 的轨迹方程为: 故选:C.

【点评】本题考查圆与圆的位置关系,考查双曲线的定义,考查学生的计算能力,属于中档 题.

6. (5 分) (2005?重庆)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(﹣∞,0]上是减函数, 且 f(2)=0,则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是( )

A. (﹣∞,2) B. (2,+∞) C. (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) D. (﹣2,2) 【分析】偶函数图象关于 y 轴对称,所以只需求出(﹣∞,0]内的范围,再根据对称性写出 解集. 【解答】解:当 x∈(﹣∞,0]时 f(x)<0 则 x∈(﹣2,0]. 又∵偶函数关于 y 轴对称. ∴f(x)<0 的解集为(﹣2,2) , 故选 D. 【点评】本题考查了偶函数的图象特征.在解决函数性质问题时要善于使用数形结合的思想.

7. (5 分) (2015?新余二模)图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法,若输 入 m=209,n=121,则输出 m 的值等于( )

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A.10 B.11 C.12 D.13 【分析】先求出 m 除以 n 的余数,然后利用辗转相除法,将 n 的值赋给 m,将余数赋给 n, 进行迭代,一直算到余数为零时 m 的值即可. 【解答】解:当 m=209,n=121,m 除以 n 的余数是 88 此时 m=121,n=88,m 除以 n 的余数是 33 此时 m=88,n=33,m 除以 n 的余数是 22 此时 m=33,n=22,m 除以 n 的余数是 11, 此时 m=22,n=11,m 除以 n 的余数是 0, 此时 m=11,n=0, 退出程序,输出结果为 11, 故选:B. 【点评】算法和程序框图是新课标新增的内容,在近两年的新课标地区高考都考查到了,这 启示我们要给予高度重视,属于基础题.

8. (5 分) (2016 秋?尖山区校级期末)下列说法正确的是( A.命题“若 x2=1,则 x=1 的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1” B.“m=1”是“直线 x﹣my=0 和直线 x+my=0 互相垂直”的充要条件



C.命题“? x0∈R,使得 x02+x0+1<0”的否定是:“? x∈R,均有 x2+x+1<0”
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D.命题“已知 A,B 为一个三角形两内角,若 A=B,则 sinA=sinB”的否命题为真命题 【分析】写出命题的否命题判断 A;由两直线垂直与系数的关系求得 m 判断 B;写出特称命 题的否定判断 C;由充分必要条件的判定方法判断 D. 【解答】解:命题“若 x2=1,则 x=1 的否命题为:“若 x2≠1,则 x≠1”,故 A 错误; 由 1×1﹣m2=0,得 m=±1, ∴“m=1”是“直线 x﹣my=0 和直线 x+my=0 互相垂直”的充分不必要条件,故 B 错误; 命题“? x0∈R,使得 x02+x0+1<0”的否定是:“? x∈R,均有 x2+x+1≥0”,故 C 错误; 由三角形中,A=B?a=b?sinA=sinB,得: 命题“已知 A,B 为一个三角形两内角,若 A=B,则 sinA=sinB”的否命题为真命题,故 D 正确. 故选:D. 【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查了命题的否定与否命题,考查充分必要条件 的判定方法,属中档题.

9. (5 分) (2016 秋?尖山区校级期末)某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得,三视图 中的正视图和侧视图如图所示,求该几何体的表面积( )

A.60π B.75π C.90π D.93π 【分析】由正视图与侧视图可知:圆柱的底面直径为 6,高为 7,球的直径为 6,圆锥的底面 直径为 6,高为 4,代入公式,可得答案. 【解答】解:由正视图与侧视图可知:圆柱的底面直径为 6,高为 7,球的直径为 6,圆锥的 底面直径为 6,高为 4. 可得该几何体的表面积 S=2π×3×7+π×3× 故选:B. 【点评】本题考查了圆柱、圆锥、球的三视图、体积计算公式,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. +2π×32=75π,

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10. (5 分) (2016 秋?尖山区校级期末)已知函数 f(x)= ≠1)在 R 上单调递减,则 a 的取值范围是( A.[ ,1) )

(a>0 且 a

B. (0, ] C.[ , ] D. (0, ] 单

【分析】根据分段函数是在 R 上单调递减,可得 0<a<1,故而二次函数在( 调递减,可得

.且[x2+(4a﹣3)x+3a]min≥[loga(x+1)+1]max 即可得 a 的取值范围.

【解答】解:由题意,分段函数是在 R 上单调递减,可得对数的底数需满足 0<a<1, 根据二次函数开口向上, 在 ( 单调递减, 可得 , 即 , 解得: .

且[x2+(4a﹣3)x+3a]min≥[loga(x+1)+1]max 故而得:3a≥1,解得:a ∴a 的取值范围是[ , ], 故选:C. 【点评】本题考查了分段函数的单调性的运用求解参数问题,属于基础题. .

11. (5 分) (2012?烟台一模)已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点,Q 为圆 x2+(y﹣4)2=1 上 一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( A. B. C. D. )

【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标,根据圆的方程求得圆心坐标,根据抛物线的定义 可知 P 到准线的距离等于点 P 到焦点的距离,进而问题转化为求点 P 到点 Q 的距离与点 P 到 抛物线的焦点距离之和的最小值,根据图象可知当 P,Q,F 三点共线时 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的焦点距离之和的最小,为圆心到焦点 F 的距离减去圆的半径. 【解答】解:抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0) ,圆 x2+(y﹣4)2=1 的圆心为 C(0,4) , 根据抛物线的定义可知点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点的距离, 进而推断出当 P, Q, F 三点共线时 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的焦点距离之和的最小为: , 故选 C. 【点评】本题主要考查了抛物线的应用.考查了学生转化和化归,数形结合等数学思想.

12. (5 分) (2016 秋?尖山区校级期末)已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数且满足 f( ﹣
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x)=f(x) ,f(﹣2)=﹣3,数列{an}是等差数列,若 a2=3,a7=13,则 f(a1)+f(a2)+f(a3) +…+f(a2015)=( A.﹣2 B.﹣3 C.2 ) D.3

【分析】确定 f(x)为周期为 3 的函数,数列{an}的通项公式,即可得出结论. 【解答】解:∵函数 f(x)是奇函数且满足 f( ﹣x)=f(x) , 有 f( ﹣x)=﹣f(﹣x) , 则 f(3﹣x)=﹣f( ﹣x)=f(﹣x) , 即 f(3﹣x)=f(﹣x) , ∴f(x)为周期为 3 的函数, ∵数列{an}是等差数列,若 a2=3,a7=13, ∴a1=1,d=2, ∴an=2n﹣1, ∴f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2015)=f(1)+f(3)+f(5)+…+f(4029) , ∵f(﹣2)=﹣3,f(0)=0,∴f(1)=﹣3, ∴f(1)+f(3)+f(5)=0, ∴f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2015)=f(1)+f(3)+f(5)+…+f(4029)=f(1)+f(3)= ﹣3 , 故选 B. 【点评】本题综合考查了函数的周期性、奇偶性、数列的概念和通项公式等知识,考查比较 综合,属于中档题.

二、填空题: (共 4 题,每小题 5 分) 13. (5 分) (2013?牡丹江一模) 已知抛物线 y=ax2 的准线方程为 y=﹣2, 则实数 a 的值为 .

【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程 x2=my 的形式,再根据其准线方程为 y=﹣ ,即 可求之. 【解答】解:抛物线 y=ax2 的标准方程是 x2= y, 则其准线方程为 y=﹣ 所以 a= .
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=﹣2 ,

故答案为: . 【点评】本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式.

14. (5 分) (2013?牡丹江一模)已知球与棱长均为 2 的三棱锥各条棱都相切,则该球的表面 积为 2π . 的正方体,可得正方体的内切球恰好是与三棱锥各条 ,由此算出内切球半径,用公式即可

【分析】如图,将三棱锥放入棱长为

棱都相切的球,根据三棱锥棱长算出正方体的棱长为 得到该球的表面各. 【解答】解:将棱长均为 2 的三棱锥放入棱长为 ∵球与三棱锥各条棱都相切,

的正方体,如图

∴该球是正方体的内切球,切正方体的各个面切于中心, 而这个切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点 由此可得该球的直径为 ,半径 r=

∴该球的表面积为 S=4πr2=2π 故答案为:2π

【点评】本题给出棱长为 2 的正四面体,求它的棱切球的表面积,着重考查了正多面体的性 质、多面体内切球和球的表面积公式等知识,属于基础题.

15. (5 分) (2016 秋?尖山区校级期末)设向量 =(sin15°,cos15°) , =(cos15°,sin15°) , 则向量 + 与 ﹣ 的夹角为 90° .

【分析】由已知向量的坐标求得向量 + 与 ﹣ 的坐标,再结合两向量的数量积为 0 得答案. 【解答】解:∵ =(sin15°,cos15°) , =(cos15°,sin15°) , ∴ + =(sin15°+cos15°,sin15°+cos15°) ,
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﹣ =(sin15°﹣cos15°,cos15°﹣sin15°) . ∵( + )?( ﹣ )=sin215°﹣cos215°+cos215°﹣sin215°=0. ∴向量 + 与 ﹣ 的夹角为 90°. 故答案为:90°. 【点评】本题考查平面向量的坐标加减法运算,考查由数量积求夹角公式,是基础的计算题.

16. (5 分) (2013?牡丹江一模)已知点 M(a,b)在不等式组 动,则动点 N(a+b,a﹣b)所在平面区域的面积为 16 .

确定的平面区域内运

【分析】将点的坐标设出,据已知求出点的横坐标、纵坐标满足的约束条件,画出可行域, 求出图象的面积. 【解答】解:令 s=a+b,t=a﹣b,则 P(a+b,a﹣b)为 P(s,t) 由 s=a+b,t=a﹣b 可得 2a=s+t,2b=s﹣t 因为 a,b 是正数,且 a+b≤4 有 , s 横坐标,t 纵坐标,

在直角坐标系上画出 P(s,t) 即可得知面积为: 故答案为:16. =16.

【点评】求出点满足的约束条件,画出不等式组表示的平面区域,求出图象的面积,属于基 础题.
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三、简答题: (共 6 题,计 70 分) 17. (12 分) (2016 秋?尖山区校级期末)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且满足(2b﹣c)cosA﹣acosC=0. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=2,△ABC 的面积为 ,求 b,c.

【分析】 (Ⅰ)法一:由已知及正弦定理,三角函数恒等变换的应用,化简可得 cosA,结合范 围 A∈(0,π) ,由特殊角的三角函数值即可得解 A 的值. 法二:由已知及余弦定理,整理可求 cosA,结合范围 A∈(0,π) ,由特殊角的三角函数值即 可得解 A 的值. (Ⅱ)利用三角形面积公式可求 bc 的值,进而利用余弦定理可求 b2+c2=8,联立即可得解 b, c 的值. 【解答】 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)法一: 由(2b﹣c)cosA﹣acosC=0 及正弦定理得(2sinB﹣sinC)cosA﹣sinAcosC=0, 所以 2sinBcosA﹣sin(A+C)=0,…(2 分) 因为 sinB=sin(A+C)>0, 所以 因为 A∈(0,π) ,所以 法二: 由(2b﹣c)cosA﹣acosC=0 及余弦定理得 整理得 b2+c2﹣a2=bc,…(2 分) 从而 因为 A∈(0,π) ,所以 (Ⅱ)△ABC 的面积 而 a2=b2+c2﹣2bccosA=4, 故 b2+c2=8,…(10 分) 所以 b=c=2.…(12 分) 【点评】本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换的应用,特殊角的三角函数值,余弦
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,…(4 分) .…(6 分)



,…(4 分) .…(6 分) ,故 bc=4.…(8 分)

定理,三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于中档题.

18. (12 分) (2017 春?黄陵县校级月考)某单位生产 A、B 两种产品,需要资金和场地,生产 每吨 A 种产品和生产每吨 B 种产品所需资金和场地的数据如表所示: 资源 产品 A B 2 3 100 50 资金(万元) 场地(平方米)

现有资金 12 万元,场地 400 平方米,生产每吨 A 种产品可获利润 3 万元;生产每吨 B 种产品 可获利润 2 万元,分别用 x,y 表示计划生产 A、B 两种产品的吨数. (1)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问 A、B 两种产品应各生产多少吨,才能产生最大的利润?并求出此最大利润. 【分析】 (1)利用已知条件列出约束条件,画出可行域即可. (2)写出目标函数,利用线性规划知识求解即可.

【解答】解: (1)由已知,x,y 满足的数学关系式为:



该二元一次不等式组所表示的平面区域为下图的阴影部分:

(2)设利润为 z 万元,则目标函数为 z=3x+2y. 将其变形为 , 这是斜率为 , 随 z 变化的一族平行直线, 为直线在 y 轴上的截距,

当 取最大值时,z 的值最大. 因为 x,y 满足约束条件, 所以当直线 z=3x+2y 经过可行域上的点 M 时,截距 最大,即 z 最大,

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解方程组

得点 M 的坐标(3,2) ,

∴zmax=3×3+2×2=13. 答:生产 A 种产品 3 吨、B 种产品 2 吨时,利润最大为 13 万元. 【点评】本题考查线性规划的简单应用,考查转化思想以及数形结合思想的应用,考查计算 能力.

19. (12 分) (2016 秋?兴庆区校级期末)双曲线 C 的中心在原点,右焦点为 F( 渐近线方程为 y=± x.

,0) ,

(1)求双曲线 C 的方程; (2)设点 P 是双曲线上任一点,该点到两渐近线的距离分别为 m、n.证明 m?n 是定值. 【分析】 (1)根据双曲线的性质即可求出双曲线的方程, (2)设 P(x0,y0) ,根据点到直线的距离公式,即可求出 m,n,计算 m?n 即可. 【解答】解: (1)右焦点为 F( ∴c= , = , ,0) ,渐近线方程为 y=± x.

∵c2=a2+b2, ∴a2= ,b2=1, ∴双曲线 C 的方程位 3x2﹣y2=1 (2)设 P(x0,y0) ,已知渐近线的方程为: 该点到一条渐近线的距离为:

到另一条渐近线的距离为



是定值. 【点评】本题考查了双曲线的简单性质和点到直线的距离公式和定值问题,属于中档题

20. (12 分) (2016 秋?尖山区校级期末)已知椭圆 a2=2b.
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+

=1(a>b>0)的离心率为

,且

(1)求椭圆的方程; (2 ) 直线 l: x﹣y+m=0 与椭圆交于 A, B 两点, 是否存在实数 m, 使线段 AB 的中点在圆 x2+y2=5 上,若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由. 【分析】 (1)运用椭圆的离心率公式和 a,b,c 的关系,解方程可得 a,b,进而得到椭圆方 程; (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,线段 AB 的中点为 M(x0,y0) .联立直线方程和椭圆方程, 运用韦达定理和中点坐标公式,求得 M 的坐标,代入圆的方程,解方程可得 m,进而判断不 存在. 【解答】解: (1)由题意得 e= = 解得 a= ,b=c=1 =1; ,a2=2b,a2﹣b2=c2,

故椭圆的方程为 x2+

(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 线段 AB 的中点为 M(x0,y0) . 联立直线 y=x+m 与椭圆的方程得, 即 3x2+2mx+m2﹣2=0, △=(2m)2﹣4×3×(m2﹣2)>0,即 m2<3, x1+x2=﹣ 所以 x0= 即 M(﹣ , 可得(﹣
)2

, =﹣ ,y0=x0+m= ,

) .又因为 M 点在圆 x2+y2=5 上, )2=5,

+(

解得 m=±3 与 m2<3 矛盾. 故实数 m 不存在. 【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用离心率公式,考查直线和椭圆方程联立,运 用韦达定理和中点坐标公式,考查存在性问题的解法,属于中档题.

21. (12 分) (2016 秋?尖山区校级期末)已知函数 f(x)=x2+(2m﹣1)x﹣mlnx. (1)当 m=1 时,求曲线 y=f(x)的极值; (2)求函数 f(x)的单调区间;
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(3)若对任意 m∈(2,3)及 x∈[1,3]时,恒有 mt﹣f(x)<1 成立,求实数 t 的取值范 围. 【分析】 (1)求出函数的导数,解关于导函数的方程,求出函数的单调区间,从而求出函数 的极值即可; (2)求出函数的导数,通过讨论 m 的范围,确定导函数的符号,从而求出函数的单调区间 即可; (3)问题等价于 mt﹣1<f(x)min,通过讨论 m 的范围,求出 t 的范围即可. 【解答】解: (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , 当 m=1 时, 在 (2 ) ①当 m≥0 时,由 f'(x)<0 可得 f(x)在 由 f'(x)>0 可得 f(x)在 ②当 上递减,在 ,解得 x=﹣1(舍去) , 上递增,所以 f(x)的极小值为 ,令 f'(x)=0 可得 上单调递减, , . .

上单调递增. 上单调递减, 上单调递增.

时,由 f'(x)<0 可得 f(x)在

由 f'(x)>0 可得 f(x)得在(0,﹣m)和

③当 ④当

时,由

可得 f(x)在(0,+∞)上单调递增. 上单调递减,

时,由 f'(x)<0 可得 f(x)在

由 f'(x)>0 可得 f(x)得在

和(﹣m,+∞)上单调递增.

(3)由题意可知,对? m∈(2,3) ,x∈[1,3]时,恒有 mt﹣1<f(x)成立,等价于 mt﹣ 1<f(x)min, 由(2)知,当 m∈(2,3)时,f(x)在[1,3]上单调递增, ∴f(x)min=f(1)=2m,所以原题等价于? m∈(2,3)时,恒有 mt﹣1<2m 成立,即 在 m∈(2,3)时,由 ,故当 时,mt﹣1<2m 恒成立,∴ . .

【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想, 是一道中档题.

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22. (10 分) (2016 秋?蓟县期末)某石材加工厂可以把甲、乙两种类型的大理石板加工成 A, B,C 三种规格的小石板,每种类型的大理石板可以同时加工成三种规格小石板的块数如表所 示: 板材类型 A B C

甲型石板(块) 1 2 4 乙型石板(块) 2 1 5 某客户至少需要订购 A,B 两种规格的石板分别为 20 块和 22 块,至多需要 C 规格的石板 100 块,分别用 x,y 表示甲、乙两种类型的石板数. (1)用 x,y 列出满足客户要求的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)加工厂为满足客户的需求,需要加工甲、乙两种类型的石板各多少块,才能使所用石板 总数最少? 【分析】 (1)根据某客户至少需要订购 A,B 两种规格的石板分别为 20 块和 22 块,至多需要 C 规格的石板 100 块,分别用 x,y 表示甲、乙两种类型的石板数,可用 x,y 列出满足客户要 求的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)设需要加工甲、乙两种类型的板材数为 z,则目标函数 z=x+y,利用作出可行域,得到最 优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.

【解答】解: ( I)由题意得

…(3 分)

二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分.

…(6 分) (Ⅱ)设需要加工甲、乙两种类型的板材数为 z,则目标函数 z=x+y,作出直线 l0:x+y=0,平 移直线 l0,如图,易知直线经过点 A 时,z 取到最小值,

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解方程组

得点 A 的坐标为 A(8,6) ,…(10 分)

所以最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别 8 块和 6 块. 答:加工厂为满足客户需求,最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别 8 块和 6 块.…(13 分) 【点评】本题考查简单的线性规划,考查了简单的数学建模思想方法,考查数形结合的解题 思想方法,是中档题.

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