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2019-2020年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 2.3空间的角的计算 苏教版选修2-1


2019-2020 年高中数学 第 3 章 空间向量与立体几何 2.3 空间的角的
计算 苏教版选修 2-1
课时目标 1.掌握异面直线所成角与二面角的概念,能正确运用向量的数量积求角.2.正 确运用二面角的概念及两个平面的法向量的夹角与二面角大小的关系求二面角的大小.3. 掌握平面的斜线所在方向向量与平面的法向量夹角与线面角的关系.

1.两条异面直线所成的角

(1)定义:设 a、b 是两条异面直线,过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,则 a′与 b′

所夹的________________叫做 a 与 b 所成的角.

(2)范围:两异面直线所成的角 θ 的取值范围是________________.

(3)向量求法:设直线 a、b 的方向向量为 a、b,其夹角为 φ ,则有 cosθ =|cosφ |=

__________.

2.直线与平面所成的角

(1)定义:直线和平面所成的角,是指直线与它在这个平面内的________所成的角.

(2)范围:直线和平面所成的角 θ 的取值范围是__________.

(3)向量求法:设直线 l 的方向向量为 a,平面的法向量为 u,直线与平面所成的角为 θ ,

a 与 u 的夹角为 φ ,则有 sinθ =|cosφ |=________或 cosθ =________.

3.二面角

(1)二面角的取值范围:________.

(2)二面角的向量求法:

利用向量求二面角的平面角有两种方法:

①若 AB,CD 分别是二面角 α —l—β 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线,则二面角的大

小θ

是向量→AB与→CD的夹角(如图①所示).即

cosθ

→AB·C→D =|A→B|·|C→D|.

②设 n1、n2 是二面角 α —l—β 的两个面 α 、β 的法向量,则向量 n1 与 n2 的夹角(或其 补角)就是二面角的平面角的大小(如图②所示).即二面角 α —l—β 的大小 θ 的余弦

值为

cosθ =|nn1|1··n|n2 2|或 cosθ =-|nn1|1··n|2n2|.

一、填空题 1.若直线 l1 的方向向量与 l2 的方向向量的夹角是 150°,则 l1 与 l2 这两条异面直线所成 的角为_______________________________________________________. 2.若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 150°,则直线 l 与平面 α 所成 的角为________. 3.

如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M,N,P 分别是棱 CC1,BC,A1B1 上的点,若∠B1MN

=90°,则∠PMN 的大小是______. 4.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角,则二面角 A—BC—D 的平面角的余弦值是 ________. 5.已知三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中 点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为________. 6.若两个平面 α ,β 的法向量分别是 n=(1,0,1),ν =(-1,1,0),则这两个平面所 成的锐二面角的度数是________. 7.如图,
已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各条棱长都相等,M 是侧棱 CC1 的中点,则异面直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是________. 8.已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 的中点,则异面直线 BE 与 CD1 所 成角的余弦值为________. 二、解答题 9.
如图所示,在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,求异 面直线 AM 与 C1N 所成的角的余弦值.
10.
如图所示,三棱柱 OAB—O1A1B1 中,平面 OBB1O1⊥平面 OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°, 且 OB=OO1=2,OA= 3,求异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值的大小.

能力提升
11.已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥AC,PA=AC=12AB,N 为 AB 上一点,且 AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. (1)证明:CM⊥SN; (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.
12.
如图所示,底面 ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD =12,求平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值.

1.两异面直线所成的角 θ 等于两异面直线的方向向量 a,b 所成的角(或其补角),所以 求解时要加绝对值,cosθ =|cos〈a,b〉|. 2.求直线与平面的夹角的方法与步骤 思路一:找直线在平面内的射影,充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹 角(或夹角的某一三角函数值). 思路二:用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量. 3.二面角的求法往往有两种思路.一种是几何法,可以在两个半平面内作出垂直于棱的 两条线段,找出二面角的平面角,这是几何中的一大难点.另一种是向量法,当空间直 角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时,用向量法求解二面角无需作出二面角的平面 角.只需求出平面的法向量,经过简单的运算即可求出.可以根据所求二面角是锐角还 是钝角确定二面角大小.
3.2.3 空间的角的计算 知识梳理 1.(1)锐角或直角 (2)0<θ ≤π2 (3)||aa·||bb||
2.(1)射影 (2)0≤θ ≤π2 (3)||aa·||uu|| sinφ
3.(1)[0,π ] 作业设计 1.30° 2.60° 3.90° 解析 A1B1⊥平面 BCC1B1,故 A1B1⊥MN.
∵M→P·M→N=(M→B1+B→1P)·M→N=M→B1·M→N+B→1P·M→N=0,∴MP⊥MN,即∠PMN=90°.

4.

3 3

解析

建立如图所示的空间直角坐标系 O—xyz,

设正方形 ABCD 的棱长为 1,则

O(0,0,0),A???0,0, 22???,

B???0,- 22,0???,C??? 22,0,0???.

∴A→B=???0,-

2 2 ,-

22???,→BC=???

2 2,

22,0???.

设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z),

??- 22y- 22z=0,

则? ??

22x+

22y=0,

∴?????yx+ +zy= =00, .

可取 n=(1,-1,1).

由题意知,平面 BCD 的法向量为→OA=???0,0, 22???,

2

∴cos〈n,O→A〉=|nn·||O→ O→AA|=

2 22×

= 33, 3

即二面角 A—BC—D 的平面角的余弦值为 33.

5.34

解析 如图建立空间直角坐标系,因为 A1D⊥平面 ABC,AD⊥BC,设三棱柱的棱长为 1, 则 AD= 23,AA1=1,A1D=12,

故 A1???0,0,12???.

又 A??? 23,0,0???,B???0,-21,0???, ∴A→A1=???- 23,0,12??? =C→C1,→AB=???- 23,-12,0???, ∴cos〈C→C1,→AB〉=34.

∴异面直线 AB 与 CC1 所成角的余弦值为34.

6.60°

解析

∵cos〈n,ν 〉=

-1 2·

2=-12.

∴〈n,ν 〉=120°.故两平面所成的锐二面角为 60°.

7.90°

解析 建立如图所示的坐标系,设正三棱柱的棱长为 1,则

B??? 23,-12,0???,M??? 23,12,12???,

B1??? 23,-21,1???, 因此A→B1=??? 23,-12,1???,→BM=???0,1,12???,设异面直线 AB1 与 BM 所成的角为 θ ,

??? ??? 则 cosθ =|cos〈A→B1,→BM〉|=

0-12+12 |A→B1|·|→BM|

=0,

∴θ =90°.

8.3

10 10

解析

如图,连结 A1B,则 A1B∥CD1,故异面直线 BE 与 CD1 所成的角即为 BE 与 A1B 所成的角.

设 AB=a,则 A1E=a,A1B= 5a,BE= 2a. 在△A1BE 中,由余弦定理得, cos∠A1BE=BE22+BEA·1B2A-1BA1E2

2a2+5a2-a2 3 10

= 2×

2a×

= 5a

10

.

9.解 方法一 ∵A→M=A→A1+A→1M,
C→1N=C→1B1+B→1N,
∴A→M·C→1N=(A→A1+A→1M)·(C→1B1+B→1N) =A→A1·B→1N=-12.
而|→AM|= (A→A1+A→1M)·(A→A1+A→1M) = |A→A1|2+|A→1M|2= 1+14= 25. 同理|C→1N|= 25. 设 α 为异面直线 AM 与 C1N 所成的角,
1
则 cosα =????|A→ →AMM· ||CC→→11NN|????=542=25.
方法二

以D→A,D→C,D→D1为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系 D—xyz.
则 A(1,0,0),M???1,12,1???, C1(0,1,1),N???1,1,12???,于是有→AM=???1,12,1???-(1,0,0)=???0,12,1???, C→1N=???1,1,12???-(0,1,1)=???1,0,-12???. ∴A→M·C→1N=0×1+12×0+1×???-12???=-12,

又|→AM|= 02+???21???2+12= 25, |C→1N|= 12+02+???-12???2= 25,
1
∴cosα =????|A→A→MM·||CC→→11NN|????=542=25.
10.解 建立如图所示的空间直角坐标系,

则 O(0,0,0),O1(0,1, 3), A( 3,0,0),A1( 3,1, 3), B(0,2,0),
∴A→1B=→OB-O→A1=(- 3,1,- 3),

O→1A=O→A-O→O1=( 3,-1,- 3). ∴cos〈A→1B,O→1A〉=|AA→→11BB·||OO→ →11AA|

=(-

3,1,-

3)·( 3,-1,- 7· 7

3)=-17.

∴异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值为17. 11.

(1)证明 设 PA=1,以 A 为原点,AB,AC,AP 所在直线分别为 x,y,z 轴正向建立空间 直角坐标系如图所示, 则 P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,12), N(12,0,0),S(1,12,0).

所以→CM=(1,-1,12),S→N=(-12,-12,0). 因为→CM·→SN=-12+12+0=0, 所以 CM⊥SN. (2)解 →NC=(-12,1,0),
??a·C→M=0, 设 a=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量,则???a·N→C=0,

??x-y+21z=0, 即???-12x+y=0.

令 x=2,得 a=(2,1,-2).

因为|cos〈a,→SN〉|=????|aa|··S→|NS→N|????
=????-3×1-2212????= 22,
所以 SN 与平面 CMN 所成的角为 45°. 12.解 如图所示以 A 为原点,AB,AD,AS 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角 坐标系,

则 D???0,12,0???,C(1,1,0), S(0,0,1),A(0,0,0). 所以→SD=???0,12,-1???,→SC=(1,1,-1),→AD=???0,12,0???,
设平面 SDC 的法向量为 n=(x,y,z),则 n⊥S→D,n⊥→SC,

??→SD·n=0, 所以???→SC·n=0,

即???12y-z=0, ??x+y-z=0,

令 z=1,则 x=-1,y=2.

此时 n=(-1,2,1). 而A→D是平面 SAB 的法向量,则||→→AADD· ||nn||= 36. 观察图形可知平面 SCD 与平面 SAB 所成角的余弦值为 36.


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