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【数学】福建省龙岩一中2013届高三高考模拟考试(文)


福建省龙岩一中 2013 届高三高考模拟考试(文)
本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷(非选择题) 满分 150 分. . 考试时间 120 分钟. 参考公式: 样本数据 x1 、 x2 、…、 xn 的标准差:

s?

1 ?( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ??? ? xn ? x ?? ? ,其中 x 为样本平均数; n

柱体体积公式: V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高;

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高; 3 4 3 2 球的表面积、体积公式: S ? 4? R , V ? ? R ,其中 R 为球的半径. 3
锥体体积公式: V ?

第Ⅰ卷(选择题
一项是符合题目要求的.

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

1.若 a 为实数, i 为虚数单位,且满足 1 ? ai ? i(2 ? i) ,则 a 等于 A. 2 B. ?1 C. 1 D. ?2

1? 2.已知集合 A ? ??1 , , B ? x ax ? 1 ? 0 ,若 B ? A ,则实数 a 的所有可能取值的集
合为 A. ??1? B. ?1?

?

?

1? C. ??1,

0 1? D. ??1, ,

6 ? 3.已知向量 p ? ? 2 , 3? , q ? ? x , ? ,且 p // q ,则 p ? q 的值为
A. 5
4. 已知 ? ? (

B. 13

C. 5

D. 13

?
2

, ? ) , sin ? ?

1 A. 7

3 ? ,则 tan(? ? ) 的值等于 5 4 1 B. ? C. 7 7

D. ? 7

5.一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如右图所示.若一个平行于圆锥底面的平面 将此圆锥截成体积之比为 1﹕7 的上、下两部分,则截面的面积为



6. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n 2 ? 7n ,第 k 项满足 3 ? ak ? 6 ,则 k 等于 A.6 B. 7 C. 8 D.9

1 ? 4 9 C. ? 4
A.

B. ? D. 4? 6

) 4

7. 设命题 p : 曲线 y ? e ? x 在点 ? 1 e) 命题 q : 函数 f ( x) 的 ( , 处的切线方程是:y ? ?ex ; 导函数为 f ' ? x ? , f ?( x0 ) ? 0 的充要条件是 x0 为函数 f (x) 的极值点. 则下列选项正确 的是 A. “ p 或 q ”为真命题 C. p 是假命题, q 是真命题 B. “ p 且 q ”为真命题 D. p , q 均为假命题

8. 如图,在 ?ABC 中, D 、 E 分别在边 AB 、 AC 上,且 AD ? 2 DB ,

????

??? ?

A E D B C

??? 1 ??? ? ? AE ? EC ,点 M 随机的在 ?ABC 内部出现,则点 M 出现在 ?ADE 内 2
1 A. 2
2 B. 3

部的概率是

3 C. 8

2 D. 9

y2 9 2 ? 1 的离心率为 9. 已知实数 2, m , 依次构成一个等比数列,则圆锥曲线 x ? m 2 6 2 3 2 3 6 A. B. C. D. 或2 或2 3 3 3 3 10. 若函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x , x ? R ,又 f (? ) ? ?2 , f ( ? ) ? 0 ,且 | ? ? ? | 的 3? 最小值为 ,则正数 ? 的值是 4 1 2 4 3 A. B. C. D. 3 3 3 2 x ?x 11.设函数 f ( x) ? k ? a ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )在 ( ??,?? ) 上既是奇函数又是增函数,则 g ( x) ? log a ( x ? k ) 的图象是
y y y y

o

1

2

x

o 1

2 x

-1

0

x

-1

0

x

A
12.已知方程

B

C

D

? k 在 (0, ??) 有两个不同的解 ? , ? ( ? ? ? ),则下面结论正确的是 x ? 1? ? ? 1?? A. tan(? ? ) ? B. tan(? ? ) ? 4 1?? 4 1? ? ? 1? ? ? 1? ? C. tan( ? ? ) ? D. tan( ? ? ) ? 4 1? ? 4 1? ?

sin x

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡相应位置.

13. 某单位有职工 52 人,现将所有职工随机编号,用系统抽样的方法抽取

一个容量为 4 的样本,已知 6 号、 32 号、 45 号职工在样本中,则样本 中还有一个职工的编号是___________. 14.执行如图所示的程序框图,若输出的 b 的值为 31,则图中判断框内 ①处应填的整数为___________.
15. 观察下列不等式:



1 1 1 1 1 1 ? 1 ;② ? ? ? 3 ;则第 5 个 ? ? 2 ;③ 2 2 6 12 2 6

不等式为__________________________.

? y?x ? 2 16.设不等式组 ? y ? ? x 表示的平面区域为 A ,不等式 y ? ax ? b ( b ? 0, b 为常数)表 ? y ?1 ?
示的平面区域为 B , P( x, y ) 为平面上任意一点, p :点 P( x, y ) 在区域 A 内, q :点 若 则 P( x, y ) 在区域 B 内, p 是 q 的充分不必要条件, a 的取值范围是______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 某学校餐厅新推出 A,B,C,D 四款套餐,某一天四款套餐销售情 况的条形图如下.为了了解同学对新推出的四款套餐的评价,对每 份 70 位同学都进行了问卷调查, 然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽 60 取 20 份进行统计,统计结果如下面表格所示: 满意 A 套餐 B 套餐 C 套餐 D 套餐 50% 80% 50% 40% 一般 25% 0 50% 20% 不满意 25%
30
50
40

20% 0 40%

20

10
0

A

B

C

D

种类

(Ⅰ)若同学甲选择的是 A 款套餐,求甲的调查问卷被选中的概率; (Ⅱ)若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出 2 人进行面谈,求这两人中 至少有一人选择的是 D 款套餐的概率. 18. (本小题满分 12 分)

已 知 数 列 ? an ? 是 等 差 数 列 , 且 满 足 : a1 ? a2 ? a3 ?6 , a5 ? 5 ; 数 列 ?bn ? 满 足

bn ? bn ?1 ? an ?1 (n ? 2, n ? N * ), b1 ? 1 .
(Ⅰ)求 an 和 bn ; (Ⅱ)记数列 cn ?

1 , (n ? N * ) ,求 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn . 2bn ? 4n

19. (本小题满分 12 分) 如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P ? ABCD 中, AD // BC ,

P E A D C

?ABC ? 90? , PD ? 平面 ABCD , AD ? 1 , AB ? 3 , BC ? 4 (Ⅰ)求证: BP ? CD ;
(Ⅱ)设点 E 在棱 PC 上, PE ? ? PC ,若 DE // 平面 PAB ,求 ? 的值.

20. (本小题满分 12 分) 某单位有 A 、B 、C 三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点 O ,使得发射点到三 个 工 作 点 的 距 离 相 等 . 已 知 这 三 个 工 作 点 之 间 的 距 离 分 别 为 AB ? 80 m , BC ? 70 m , CA ? 50 m .假定 A 、 B 、 C 、 O 四点在同一平面内. (Ⅰ)求 ?BAC 的大小; (Ⅱ)求点 O 到直线 BC 的距离. 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ax . (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 a ? 数 k 的值. 22. (本小题满分 14 分) 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”. (Ⅰ)设椭圆 C1 : O B

B

A

D

C

1 , g ( x) ? x( f ( x) ? 1), (x>1) ,且 g ( x) 在区间 (k , k ? 1) 内存在极值,求整 2

x2 y2 9 y2 ? 2 ? 1 与双曲线 C2 : 9 x 2 ? ? 1 有相同的焦点 F、F2 , M 是 1 8 a2 b 椭圆 C1 与双曲线 C2 的公共点,且 ?MF1F2 的周长为 6 ,求椭圆 C1 的方程;
2

(Ⅱ) 如图,已知“盾圆 D ”的方程为 y ? ? 意一点 N

到 F ? 1, 0 ? 的 距 离 为 d1 , N 到 直 线 l : x ? 3 的 距 离 为 d 2 , 求

(0 ? x ? 3) ? 4x . 设“盾圆 D ”上的任 ? ? 12( x ? 4) (3 ? x ? 4)

证: d1 ? d 2 为定值; ( Ⅲ ) 由 抛 物 线 弧 E1 : y ? 4 x ( 0 ? x ?
2

2 ) 与 第 ( Ⅰ ) 小题 椭 圆 弧 3

E2 :
y

x2 y2 2 ? 2 ? 1 ( ? x ? a )所合成的封闭曲线为“盾圆 E ”.设“盾圆 E ”上的两点 2 3 a b A、B 关于 x 轴对称, O 为坐标原点,试求 ?OAB 面积的最大值.

o

3

x

数学(文科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. A 2. D 3. B 4. D 5. C 6. A 7. A 8. 12. C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 19 14. 4 15. D 9. C 10. B 11. C

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 5 2 6 12 20 30

16.

a ? 1? b

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由条形图可得,选择 A,B,C,D 四款套餐的学生 共有 200 人,其中选 A 款套餐的学生为 40 人,………………1 分 由分层抽样可得从 A 款套餐问卷中抽取了 20 ?

40 ? 4 份. 200
4 ? 0.1 . 40

……3 分

设 “甲的调查问卷被选中” 为事件 M ,则 P( M ) ?

所以若甲选择的是 A 款套餐,甲被选中调查的概率是 0.1 .…………5 分 (Ⅱ)由图表可知,选 A,B,C,D 四款套餐的学生分别接受调查的人数为 4,5,6, 5. 其中不满意的人数分别为 1,1,0,2 个 . ………………………6 分 记对 A 款套餐不满意的学生是 a;对 B 款套餐不满意的学生是 b;对 D 款套餐不 满 意的学生是 c,d. 设“从填写不满意的学生中选出 2 人,这两人中至少有一人选 择 的是 D 款套餐” 为事件 N ,从填写不满意的学生中选出 2 人, …………………9 分 共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d) 6 个基本事件, 而事件 N 有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d) 5 个基本事件, ……………11 分 5 则 P ? N ? ? ,所以从填写不满意的学生中选出 2 人,这两人中至少有一人选择的 6 是 D 款套餐的概率是 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ a1 ? a2 ? a3 ? 6 , a5 ? 5 ,∴ ? ∴ an ? n ; ∵ ∴

5 6

…………………………12 分

?3a1 ? 3d ? 6 ? a1 ? 1 ?? ,…………………2 分 ?d ? 1 ? a1 ? 4d ? 5
………………………3 分
*

bn ? bn ?1 ? an ?1 ? n ? 1 (n ? 2, n ? N ) ,

………………………4 分

(bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ? (bn?2 ? bn?3 ) ? ? ? (b3 ? b2 ) ? (b2 ? b1 ) ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? (n ? 3) ? ? ? 2 ? 1

n(n ? 1) , 2 n(n ? 1) n2 ? n ? 2 ? b1 ? (n ? 2, n ? N * ) ∴ bn ? 2 2
得 bn

? b1 ?

……………………6 分 ………………7 分

又 n ? 1 时, b1 ? 1 也满足 bn ,所以 bn ?

n2 ? n ? 2 2

(Ⅱ) ∵ cn ?

1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? , ………9 分 2bn ? 4n n ? 3n ? 2 (n ? 1) ? (n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ Tn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? ) 2 3 3 4 3 4 n n ?1 n ?1 n ? 2 1 1 n ?( ? )? …………………………12 分 2 n?2 2 ? n ? 2?
P

19. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)过 D 作 DF // AB 交 BC 于 F ∵ ?ABC ? 90? ∴ DF ? BC ∴ DF ? 3 , CF ? 3 ∵ AD ? 1 , AB ? 3 , BC ? 4 ∴ BD ?

即四边形 ABFD 是矩形
A D B F

E

AB 2 ? AD 2 ? 12 ? 3 ? 2

C

(Ⅱ) 连结 EF ,∵ DF // AB , DF ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB ∴ DF // 平面 PAB …………………………7 分 又∵ DE // 平面 PAB 且 DE ? DF ? D ∴平面 DEF // 平面 PAB …………………………8 分 ∴ EF // AB …………………………9 分 又∵ AD ? 1 , BC ? 4 , BF ? 1 PE BF 1 ∴ …………………………11 分 ? ? PC BC 4 1 1 ∴ PE ? PC ,即 ? ? …………………………12 分 4 4 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)在△ ABC 中,因为 AB ? 80 m , BC ? 70 m , CA ? 50 m , 由余弦定理得

DC ? DF 2 ? FC 2 ? 3 ? 9 ? 2 3 …………………………2 分 2 2 2 ∵ BD ? DC ? 4 ? 12 ? 16 ? BC ∴ BD ? DC …………………………3 分 又∵ PD ? 平面 ABCD CD ? 面 ABCD ∴ PD ? CD …………………………4 分 ∵ BD ? PD ? D ∴ CD ? 平面 PBD ………………………5 分 又 PB ? 平面 PBD ∴ BP ? CD …………………………6 分

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 802 ? 502 ? 702 1 ……………4 分 cos ?BAC ? ? ? 2 ? AB ? AC 2 ? 80 ? 50 2 ? 因为 ?BAC 为△ ABC 的内角,所以 ?BAC ? ……………5 分 3 (Ⅱ)方法 1:因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等, 所以点 O 为△ ABC 外接圆的圆心 ………………6 分 设外接圆的半径为 R , BC 在△ ABC 中,由正弦定理得 ? 2R , sin A 3 ? 因为 BC ? 70 ,由(Ⅰ)知 A ? ,所以 sin A ? . 2 3

140 3 70 3 , 即R ? …………………………9 分 3 3 过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D , 70 3 BC 70 在△ OBD 中, OB ? R ? , BD ? ? ? 35 , 3 2 2
所以 2 R ?

? 70 3 ? 2 所以 OD ? OB ? BD ? ? ? 3 ? ? 35 ? ? ?
2 2

2

………………………11 分

?

35 3 . 3

35 3 ……………………12 分 m 3 方法 2:因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等, 所以点 O 为△ ABC 外接圆的圆心 ………………………6 分 连结 OB , OC , 过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D , ? 由(Ⅰ)知 ?BAC ? , 3 ?? ? 所以 ?BOC ? . 所以 ?BOD ? ………9 分 O 3 3 BC 70 在 Rt △ BOD 中, BD ? ? ? 35 , 2 2 B D BD 35 35 3 ? ? 所以 OD ? ………11 分 tan ?BOD tan 60? 3 35 3 所以点 O 到直线 BC 的距离为 …………12 分 m 3
所以点 O 到直线 BC 的距离为 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知 x>0, f ?( x) ?

A

C

1 1 ? ax ………………………1 分 ?a ? x x 当 a≤0 时 , f ?( x ) 0 , 数 f ( x) 在 (0, ??) 内 单 调 递 增 , 无 单 调 递 减 区 > 函
当 a>0 时,由 f ?( x)>0, 得 1 ? ax>0, ∴ 0<x< 由 f ?( x)<0, 得 1 ? ax<0, ∴ x>



………2 分

1 ; a

……………3 分 ………………4 分 ………………5 分

1 a

∴ f ( x) 在 (0, ) 内单调递增,在 ( , ??) 内单调递减 (Ⅱ)当 a ?

1 a

1 a

1 1 1 2 时, g ( x) ? x( f ( x) ? 1) ? x(ln x ? x ? 1) ? x ln x ? x ? x ( x> 1) 2 2 2
…………………………6 分

∴ g ?( x) ? ln x ? x ? 2( x> 1), 令 F ( x) ? g ?( x) ? ln x ? x ? 2( x> , 1)

1 ? 1<0, x ∴ F ( x) 在 (1, ??) 内单调递减.
则 F ?( x) ?

…………………………8 分

∵ F (1) ? 1 0, F (2) ? ln 2>0, >

F ( 3 ) g? ( 3 ) ? ?

l? 3 3 2 ? l n 3 1 0 , n ? ? >

…………………………9 分 F ( 4 ) g ? ( 4 ) l? 4 4 2 ? l <4 2 0 . ? ? n ? ? n ∴ F ( x) 即 g ?( x) 在(3,4)内有零点,即 g ?( x) 在(3,4)内存在极值. ………………………11 分 又∵ g ( x) 在 (k , k ? 1) 上存在极值,且 k ? z ,∴k=3. …12 分 22. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由 ?MF1F2 的周长为 6 得 a ? c ? 3 ,

9 y2 ? 1 有相同的焦点,所以 c ? 1 , 8 x2 y2 2 2 2 即 a ? 2 , b ? a ? c ? 3 ,所以椭圆 C1 的方程为 ? ? 1; 4 3 (Ⅱ)证明:设“盾圆 D ”上的任意一点 N 的坐标为 ( x, y ) , d 2 ?| x ? 3 |
椭圆 C1 与双曲线 C2 : 9 x ?
2

………3 分 ………4 分

2 当 N ? C1 时, y ? 4 x (0 ? x ? 3) , d1 ?

( x ? 1) 2 ? y 2 ?| x ? 1 | , ……………5 分
…………………………6

即 d1 ? d 2 ?| x ? 1 | ? | x ? 3 |? ( x ? 1) ? (3 ? x) ? 4 ; 分
2 当 N ? C2 时, y ? ?12( x ? 4) (3 ? x ? 4) , d1 ?

( x ? 1) 2 ? y 2 ?| 7 ? x | , …7 分
………………………8 分

即 d1 ? d 2 ?| 7 ? x | ? | x ? 3 |? (7 ? x) ? ( x ? 3) ? 4 ; 所以 d1 ? d 2 ? 4 为定值;

……………………9 分

( Ⅲ ) 因 为 “ 盾 圆 E ” 关 于 x 轴 对 称 , 设 A( x1 , y1 ) 于 是 B( x1 ,? y1 ) , 所 以 ?OAB 面 积

S ? x1 y1 ,
按 A 点位置分 2 种情况: ①当 A( x1 , y1 ) 在抛物线弧 y ? 4 x ( 0 ? x ?
2

设 OA 所在的直线方程 y ? kx ( k ? 0 ),

2 )上时, 3

? y ? kx (k ? 6 ) 4 4 4 4 ? 联立 ? 2 2 ,得 A( 2 , ) ,同理 B( 2 ,? ) , k k k k ? y ? 4 x (0 ? x ? 3 ) ?
4 6 16 ; ……………11 分 (k ? 6 ) ,所以 0 ? S ? 3 9 k x2 y2 2 ②当 A( x1 , y1 ) 在椭圆弧 ? ? 1( ? x ? 2) 上时, 4 3 3 ? y ? kx (0 ? k ? 6 ) 2 3 2 3k ? 于是联立 ? x 2 y 2 ,得 x1 ? ; , y1 ? 2 ? ? 1( ? x ? 2) 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ?4 3 3 ? 12k 3 即 S ? x1 y1 ? (0 ? k ? 6 ) ,由 4k ? ? 4 3 , 2 4k ? 3 k 3 当且仅当 k ? 等号成立,所以 S ? 3 , ………………13 分 2 综上,等腰 ?OAB 面积的最大值为 3 . ………………14 分
?OAB 面积 S ? x1 y1 ?


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