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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(苏教版,必修五) 第2章 数列 2.3.3(一) 课时作业]


2.3.3

等比数列的前 n 项和(一)

课时目标 1.掌握等比数列前 n 项和公式的推导方法.2.会用等比数列前 n 项和公式解决 一些简单问题.

1.等比数列前 n 项和公式: (1)公式:Sn=?
? ?

. ?q=1? (2)注意:应用该公式时,一定不要忽略 q=1 的情况. 2.若{an}是等比数列,且公比 q≠1,则前 n 项和 Sn= a1 (1-qn)=A(qn-1).其中 A= 1-q

? ?



?q≠1?

__________. 3.推导等比数列前 n 项和的方法叫________法.一般适用于求一个等差数列与一个等比 数列对应项积的前 n 项和.

一、填空题 S5 1.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 =________. S2 2.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S6=4S3,则 a4=________. S10 3.记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=2,S6=18,则 =________. S5 S4 4.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 =________. a2 5. 设{an}是公比为 q 的等比数列, Sn 是它的前 n 项和, 若{Sn}是等差数列, 则 q=________. 6.若等比数列{an}中,a1=1,an=-512,前 n 项和为 Sn=-341,则 n 的值是________. 7.在等比数列{an}中,公比 q 是整数,a1+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前 8 项和为 ________. 8.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和,已知 a2a4=1,S3=7,则 S5= ____________. 9.如果数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1,则此数列的通项公式 an=________. - 10.在数列{an}中,an+1=can(c 为非零常数),且前 n 项和为 Sn=3n 1+k,则实数 k 的值 为________. 二、解答题 11.在等比数列{an}中,a1+an=66,a3an-2=128,Sn=126,求 n 和 q.

12.求和:Sn=x+2x2+3x3+?+nxn (x≠0).

能力提升 2 13.已知等比数列前 n 项,前 2n 项,前 3n 项的和分别为 Sn,S2n,S3n,求证:S2 n+S2n= Sn(S2n+S3n).

14.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n 2-4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an· log2an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.


1.在等比数列的通项公式和前 n 项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n,q,Sn,其中 首项 a1 和公比 q 为基本量,且“知三求二”. 2.前 n 项和公式的应用中,注意前 n 项和公式要分类讨论,即 q≠1 和 q=1 时是不同的 公式形式,不可忽略 q =1 的情况. 3.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列且公比为 q,求数列{an· bn}的前 n 项和时,可采用错位相减的方法求和.

2.3.3

等比数列的前 n 项和(一) 答案

知识梳理 a1?1-qn? a1-anq a1 1.(1) na1 2. 3.错位相减 1-q 1-q q-1 作业设计 1.-11

5 S5 a1?1+2 ? 解析 由 8a2+a5=0 得 8a1q+a1q4=0,∴q=-2,则 = 2 =-11. S2 a1?1-2 ? 2.3 a1?1-q6? 4· a1?1-q3? 3 解析 S6=4S3? = ?q =3(q3=1 不合题意,舍去). 1-q 1-q ∴a4=a1· q3=1×3=3. 3.33 a1?1-q6? 1-q S6 解析 由题意知公比 q≠1, = =1+q3=9, S3 a1?1-q3? 1-q 10 a1?1-q ? 1-q S10 ∴q=2, = =1+q5=1+25=33. S5 a1?1-q5? 1-q 15 4. 2 a2 解析 方法一 由等比数列的定义,S4=a1+a2+a3+a4= +a2+a2q+a2q2, q S4 1 15 得 = +1+q+q2= . a2 q 2 4 a1?1-q4? S4 1-q 15 方法二 S4= ,a2=a1q,∴ = = . a 2 1-q 2 ?1-q?q 5.1 an+1 解析 方法一 ∵Sn-Sn-1=an,an 为定值,∴q= =1. an - 方法二 ∵an 是等比数列,∴an=a1qn 1, ∵{Sn}是等差数列.∴2S2=S1+S3. 即 2a1q+2a1=a1+a1+a1q+a1q2, 化简得 q2-q=0,q≠0,∴q=1. 6.10 a1-anq 1+512q 解析 Sn= ,∴-341= , 1-q 1-q - - ∴q=-2,又∵an=a1qn 1,∴-512=(-2)n 1,∴n=10. 7.510 解析 由 a1+a4=18 和 a2+a3=12, a =16 3 ? ? ? ? 1 ?a1+a1q =18 ?a1=2 得方程组? ,解得? 或? 1 . 2 ?a1q+a1q =12 ?q=2 ? ? ?q=2 ?

2?28-1? 9 ∵q 为整数,∴q=2,a1=2,S8= =2 -2=510. 2-1 31 8. 4 解析 ∵{an}是由正数组成的等比数列,且 a2a4=1, ∴设{an}的公比为 q,则 q>0,且 a2 3=1,即 a3=1. 1 1 ∵S3=7,∴a1+a2+a3= 2+ +1=7, q q 2 即 6q -q-1=0. 1 1 故 q= 或 q=- (舍去), 2 3

1 ∴a1= 2=4. q 1 4?1- 5? 2 1 31 ∴S5= =8(1- 5)= . 1 2 4 1- 2 - 9.2n 1 解析 当 n=1 时,S1=2a1-1,∴a1=2a1-1,∴a1=1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1) - ∴an=2an-1,∴{an}是等比数列,∴an=2n 1,n∈N*. 1 10.- 3 解析 当 n=1 时,a1=S1=1+k, - - - - - 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n 1+k)-(3n 2+k)=3n 1-3n 2=2· 3n 2. 2 1 由题意知{an}为等比数列,所以 a1=1+k= ,∴k=- . 3 3 ?a1an=128, ? 11.解 ∵a3an-2=a1an,∴a1an=128,解方程组? ?a1+an=66, ?
? ?a1=64, 得? ① ?an=2, ? ?a1=2, ? 或? ② ?an=64. ? a1-anq 1 将①代入 Sn= ,可得 q= , 2 1-q n- 1 由 an=a1q 可解得 n=6. a1-anq 将②代入 Sn= ,可得 q=2, 1-q

1 可解得 n=6.故 n=6,q= 或 2. 2 12.解 分 x=1 和 x≠1 两种情况. n?n+1? (1)当 x=1 时,Sn=1+2+3+?+n= . 2 (2)当 x≠1 时,Sn=x+2x2+3x3+?+nxn, + xSn=x2+2x3+3x4+?+(n-1)xn+nxn 1, n + 2 3 n n+1 x?1-x ? ∴(1-x)Sn=x+x +x +?+x -nx = -nxn 1. 1-x + x?1-xn? nxn 1 ∴Sn= - . ?1-x?2 1-x 由 an=a1qn
-1

n?n+1? ? ? 2 综上可得 S =? x?1-x ? nx ? ? ?1-x? - 1-x
n n 2

?x=1? . ?x≠1且x≠0?

n+1

13.证明 设此等比数列的公比为 q,首项为 a1, 当 q=1 时,则 Sn=na1,S2n=2na1,S3n=3na1, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S2 n+S2n=n a1+4n a1=5n a1,Sn(S2n+S3n)=na1(2na1+3na1)=5n a1, 2 2 ∴Sn+S2n=Sn(S2n+S3n). a1 a1 a1 当 q≠1 时,则 Sn= (1-qn),S2n= (1-q2n),S3n= (1-q3n), 1-q 1-q 1-q

2 ? a1 ?2· n 2 2n 2 ? a1 ?2 (1-qn)2· ∴S2 (2+2qn+q2n). n+S2n= 1-q [(1-q ) +(1-q ) ]= 1-q ·

? ? ? a1 n 2 又 Sn(S2n+S3n)=?1-q?2· (2+2qn+q2n), ? ? (1-q ) ·

?

2 ∴S2 n+S2n=Sn(S2n+S3n). + 14.解 (1)由题意,Sn=2n 2-4, + + n+2 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2 -2n 1=2n 1, 3 当 n=1 时,a1=S1=2 -4=4,也适合上式, + ∴数列{an}的通项公式为 an=2n 1,n∈N*. n+1 (2)∵bn=anlog2an=(n+1)· 2 , + ∴Tn=2· 22+3· 23+4· 24+?+n· 2n+(n+1)· 2n 1,① + 3 4 5 n+1 2Tn=2· 2 +3· 2 +4· 2 +?+n· 2 +(n+1)· 2n 2.② ②-①得, + + Tn=-23-23-24-25-?-2n 1+(n+1)· 2n 2 3 n-1 2 ?1-2 ? + =-23- +(n+1)· 2n 2 1-2 - + =-23-23(2n 1-1)+(n+1)· 2n 2 + - =(n+1)· 2n 2-23· 2n 1 + n+ 2 n+2 =(n+1)· 2 -2 =n· 2n 2.


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