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3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 学案


§3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 【使用说明及学法指导】 1.课前先预习课本,然后独立完成导学案 2.要求所有同学都要至少看一遍教材, 尽量完成例题之前的学案内容; 基础好的同学要完成 展示点评部分 学习目标 1.理解两个函数的和(或差)的导数法则,学会用法则求一些函数的导数; 2.理解两个函数的积的导数法则,学会用法则求乘积形式的函数的导数.

学习过程 一、课前准备 (预习教材 P83~ P85,找出疑惑之处) 复习 1:常见函数的导数公式 常见函数的导数公式: 常见函数的导数公式 C ' = 0 ; ( x n )' = nx n ?1 ; (sin x)' = cos x ; (cos x)' = ? sin x ; (a x )′ = a x ln a(a > 0) ; (e x )′ = e x ;
(log x)′ =
a

1 1 (a > 0, 且 a ≠ 1) ; (ln x)′ = . x x ln a

复习 2:根据常见函数的导数公式计算下列导数 1 1 (1) y = x 6 (2) y = x (3) y = 2 (4) y = 4 3 x x

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:两个函数的和(或差)积商的导数 两个函数的和( 两个函数的和 或差) 新知: [ f ( x) ± g ( x)]′ = f ′( x) ± g ′( x)
[ f ( x) g ( x)]′ = f ′( x) g ( x) + f ( x) g ′( x) [ f ( x) f ′( x) g ( x) ? f ( x) g ′( x) ]′ = g ( x) [ g ( x)]2

试试:根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数 y = x3 ? 2 x + 3 的导数.

※ 典型例题(展示点评) 例 1 假设某国家在 20 年期间的年均通贷膨胀率为 5%,物价 p (单位:元)与时间 t (单位: 年)有如下函数关系 p(t ) = p0 (1 + 5%)t ,其中 p0 为 t = 0 时的物价.假定某种商品的 p0 = 1 ,那 么在第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)?

变式:如果上式中某种商品的 p0 = 5 ,那么在第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度大 约是多少?

例 2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增 5284 加. 已知将 1 吨水净化到纯净度为 x% 时所需费用 (单位: 为 c( x) = 元) (80 < x < 100) . 100 ? x 求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1)90%; (2)98%.

小结:函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢. ※ 动手试试(展示点评) 练 1. 求下列函数的导数: (1) y = log 2 x ; (2) y = 2e x ; (3) y = 2 x5 ? 3x 2 + 5 x ? 4 ; (4) y = 3cos x ? 4sin x .

练 2. 求下列函数的导数: (2) y = x n e x ; (3) y = (1) y = x3 + log 2 x ;
x3 ? 1 sin x

三、总结提升 ※ 学习小结 1.由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导 法则与导数公式求导,而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的 应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时,首先要注意化简的等价 性,避免不必要的运算失误.

学习评价 ). ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1 1. 函数 y = x + 的导数是( ) x 1 1 1 1 A. 1 ? 2 B. 1 ? C. 1 + 2 D. 1 + x x x x 2. 函数 y = sin x(cos x + 1) 的导数是( ) B. cos 2 x + sin x A. cos 2 x ? cos x

C. cos 2 x + cos x D. cos 2 x + cos x cos x 3. y = 的导数是( ) x sin x A. ? 2 B. ? sin x x x sin x + cos x x cos x + cos x C. ? D. ? 2 x x2 4. 函数 f ( x) = 13 ? 8 x + 2 x 2 ,且 f ′( x0 ) = 4 , 则 x0 = 5.曲线 y =
sin x 在点 M (π , 0) 处的切线方程为 x

课后作业 1. 已知函数 y = x ln x . (1)求这个函数的导数; (2)求这个函数在点 x = 1 处的切线方程.

2. 你对本节学案的建议或意见


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