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河南省郑州市智林学校2013届高三第三次模拟考试数学理试题


智林学校 2013 届高三第三次模拟考试数学理试题
本试卷分试题卷和答题卡两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.考生应首先阅读答 题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分。共 60 分.在每小题所给出的四个选项中,只 有一个选项正确. ) 1.设 a∈R,若 A. ? 1 2.不等式

a+i 为纯虚数,则 a 的值为 1-i
B.0 C.-1 D.1

x-1 >0 的解集是 x 2-4

A. (2,+∞) B. (-2,1)∪(2,+∞) C. (-2,1) D. (-∞,-2)∪(1,+∞) 3.已知向量 a=(3,4) ,b=(2,-1) ,如果向量 a+kb 与 b 垂直,则实数 k 的值为 A.

23 3

B.

3 23

C.2

D.-

2 5

4.已知关于 x 的函数 y= log a (2-ax)在[0,1]上是减函数,则 a 的取值范围是 A. (0,1) B. (1,2) C. (0,2) D.[2,+∞) 5.从正方体的八个顶点中任取四个点连线,在能构成的一对异面直线中,其所成的角的 度数不可能是 A.30° B.45° C.60° D.90° 6.设双曲线

x 2 y2 - =1 的焦点为 F1、F2,过 F1 作 x 轴的垂线与该双曲线相交,其中一个交 3 6
?????

点为 M,则| MF2 |= A.5 3 B.4 3 C.3 3 D.2 3

7 在区间[-1, 1]上随机取一个数 x,cos A.
1 3

?x
2

的值介于 0 到

1 之间的概率为 ( 2

).

2 1 2 C. D. ? 2 3 x e 8 曲线 f ( x) ? 在 x ? 0 处的切线方程为( x ?1

B.

) D. 2 x ? y ? 1 ? 0

A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0

C. 2 x ? y ? 1 ? 0

2 2 9 圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线

x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最

小距离的差是





A5 2

B. 18

C. 6 2 D.36

10 函数 y ?
13 4

3 ? ? Sin( x ? ) ? cos( ? x) 的最大值为( 2 2 6

) 。

A、

B、

13 4

C、

13 2

D、 13

11 已 知 数 列 ?an ? 是 各 项 均 为 正 数 且 公 比 不 等 于 1 的 等 比 数 列 . 对 于 函 数

y ? f ( x) ,若数列 ?ln f ( an )? 为等差数列,则称函数 f ( x) 为“保比差数列函数”.
现有定义在 (0, ??) 上的如下函数:
1 , ② f ( x) ? x 2 , ③ f ( x) ? e x , ④ f ( x) ? x , x 则为“保比差数列函数”的所有序号为( ) A.①② B.③④ C.①②④ D.②③④

① f ( x) ?

2, x ? m, ? 12 直线 y ? x 与函数 f ( x) ? ? 2 的图象恰有三个公共点,则实数 ? x ? 4 x ? 2, x ? m

m 的取值范围是(

) C. [2, ??) D. (??, ?1]

A. [?1, 2)

B. [?1, 2]

第Ⅱ卷

(非选择题 ,共 90 分)


二、填空题(每题 4 分,共 16 分) 1 ? 2i 13 已知 i 为虚单位,则复数 的虚部为 i?2 天的用电量与当天气温,并制作了对照表: 气温 x(°C) 用电量 y(度) 18 24 13 34

14 某单位为了了解用电量 y(度)与气温 x(°C)之间的关系,随机统计了某 4

10 38

-1 64

? 由表中数据得线性回归方程 y ? bx ? a 中 b ? ?2 ,预测当气温为 ?4?C 时,用电量

的度数约为

? x ? 1, ? 15 已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x 2 ? y 2 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
16△ABC 中,它的三边分别为 a,b,c,若 A=120°,a=5,则 b+c 的最大值为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。

17. (本小题满分 12 分)

(1)求数列 ? an ? 的通项公式;

2n an ?1 ? an an ? an ?1 已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 2 , a2 ? 1 ,且 。 ? (n ? 2) , bn ? an an an ?1 an an ?1

(2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .

18. (本小题满分 12 分)

?? ? ? 3 ,且 m ? n . n ? (cos B cos C ,sin B sin C ? ) 2 (1)求 A 的大小;

已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,向量 m ? ( ?1,1) ,

??

(2)现在给出下列三个条件:① a ? 1 ;② 2c ? ( 3 ? 1)b ? 0 ;③ B ? 45 ,试从中再选择两
?

个条件以确定 ?ABC ,求出所确定的 ?ABC 的面积

20. ( 12 分 ) 若 椭 圆 C1 :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(0 ? b ? 2) 的 离 心 率 等 于 ,抛物线 2 4 b

C2 : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点在椭圆的顶点上。
(Ⅰ)求抛物线 C2 的方程; (Ⅱ)过 M (?1,0) 的直线 l 与抛物线 C2 交 P , Q 两点,又过 P , Q 作抛物线 C2 的切线 l1 , l2 , 当 l1 ? l2 时,求直线 l 的方程.

22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系 x 轴的正半轴重合. 直

3 ? ? x ? ?1 ? 5 t ? ? ? ? y ? ?1 ? 4 t ? ? 2 sin(? ? ) ? 5 (t 为参数) ? C 的极坐标方程为 4 . 线的参数方程是 ,曲线
(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线与曲线 C 相交于 M , N 两点,求 M , N 两 点间的距离. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 3x ? 1| ?ax ? 3. (Ⅰ)若 a ? 1 ,解不等式 f ( x) ? 5 ; (Ⅱ)若函数 f ( x) 有最小值,求实数 a 的取值范围.

理科数学
一、选择题 DBDBA BADCC CA

参考答案

二填空题:13

-1,14 68,

15 5,

16

10 3 3



1 n ? , bn ? n ? 2n ?1 。 an 2
1 ? 21 ? 2 ? 2 2 ? ... ? (n ? 1) ? 2 n?1 ? n ? 2 n ,

S n ? 1 ? 2 0 ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ... ? n ? 2 n?1 ,
2S n ?
∴ ? Sn

? 1 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n ?1 ? n ? 2n ?
n

1 ? 2n ? n ? 2n ? (1 ? n)2n ? 1 , 1? 2

∴ Sn ? (n ? 1)2 ? 1 。

(Ⅱ)方案一:选择①②,可确定 ?ABC ,因为 A ? 30 , a ? 1, 2c ? ( 3 ? 1)b ? 0
?

3 ?1 2 3 ?1 3 b) ? 2b ? b? 2 2 2 6? 2 2 整理得: b ? 2, b ? 2, c ? ……………10 分 2 1 1 6? 2 1 3 ?1 ? ? 所以 S?ABC ? bc sin A ? ? 2 ? ……………………12 分 2 2 2 2 4 ? ? ? 方案二:选择①③,可确定 ?ABC ,因为 A ? 30 , a ? 1, B ? 45 , C ? 105
由余弦定理,得: 1 ? b ? (
2 2

又 sin105 ? sin(45 ? 60 ) ? sin 45 cos 60 ? cos 45 sin 60 ?
? ? ? ? ? ? ?

6? 2 4

a sin C 1? sin105? 6? 2 ? ? 由正弦定理 c ? ……………10 分 ? sin A sin 30 2

所以 S?ABC ?

1 1 6? 2 2 3 ?1 ……………12 分 ac sin B ? ?1? ? ? 2 2 2 2 4

21. 解: (I)∵ (a n ?1 ? a n )g(a n ) ? f (a n ) ? 0 , f (a n ) ? (a n ? 1) , g(a n ) ? 10(a n ? 1) ,
2

∴ (a n ?1 ? a n )10(a n - 1) ? (a n - 1) ? 0 . (a n ? 1)(10a n ?1 - 9a n - 1) ? 0 .
2

又 a 1 ? 2 ,可知对任何 n ? N , a n ? 1 ? 0 ,所以 a n ?1 ?
*

9 1 a n ? .????2 分 10 10

9 1 a ? ?1 a n ?1 ? 1 10 n 10 9 ∵ , ? ? a n ?1 a n ?1 10
∴ ?a n ? 1?是以 a 1 ? 1 ? 1 为首项,公比为 (II)由(I)可知 a n ? 1 = ( ∴ bn ?

9 的等比数列.???4 分 10
*

9 n ?1 ) 10

(n?N ) .

b n ?1 bn

9 9 (n ? 2)(a n ? 1) ? (n ? 2)( ) n . 10 10 9 (n ? 3)( ) n ?1 9 1 10 ? ? (1 ? ) .???????????5 分 9 n 10 n?2 (n ? 2)( ) 10
b8 ? 1, b8 ? b 7 ; b7 b n ?1 ? 1 , b n ?1 ? b n ; bn

当 n=7 时,

当 n<7 时,

当 n>7 时,

b n ?1 ? 1 , bn ?1 ? bn . bn

∴当 n=7 或 n=8 时, b n 取最大值,最大值为 b 7 ? b 8 ?

98 .??8 分 10 7

③当 t>0 时,由 t ∴

m

? 0 ( m ? N * ),
∴t ?

1 10t ? ?0 m ? 2 9(m ? 3)
设 h ( m) ?

9(m ? 3) . 10 (m ? 2)
*

( m ? N )??11 分
*

9(m ? 3) 10(m ? 2)

(m? N )

∵ h (m ? 1) ? h (m) ?

9(m ? 4) 9(m ? 3) 9 1 =? ? ? ? 0, 10(m ? 3) 10(m ? 2) 10 (m ? 2)( m ? 3)

∴ h(1) ? h(2) ? ? ? h(m ? 1) ? h(m) ? ? .

6 . 5 6 所以实数 t 的取值范围是 t ? . 5
∴ h (m) 的最大值为 h (1) ?

1 ? ?(3 ? a ) x ? 2, ( x ≥ 3 ) ? f ( x) ?| 3 x ? 1| ? ax ? 3 ? ? ?(a ? 3) x ? 4.( x ? 1 ) ? 3 ? (Ⅱ)
?3 ? a ≥ 0, ? a ? 3 ≤ 0, ?3 ≤ a ≤ 3. 函数 f ( x) 有最小值的充要条件为 ? 即 ????10 分


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