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高中数学必修2第三章练习题及答案ABC卷


第三章 直线与方程 [基础训练 A 组] 一、选择题 0 1.设直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜角为 ? ,且 sin ? ?cos ? ? ,则 a , b 满足( A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. a ? b ? 0 D. a ? b ? 0 )



2.过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( A. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 B. 2 x ? y ? 5 ? 0 D. x ? 2 y ? 7 ? 0

3.已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为 ( ) A. 0 B. ? 8 C. 2 D. 10 4.已知 ab ? 0, bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c 通过( A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 5.直线 x ? 1 的倾斜角和斜率分别是( A. 450 ,1 B. 1350 , ?1 ) D. 1800 ,不存在 )

C. 90 0 ,不存在

6.若方程 (2m 2 ? m ? 3) x ? (m 2 ? m) y ? 4m ? 1 ? 0 表示一条直线,则实数 m 满足 ( ) B. m ? ?
3 2

A. m ? 0 C. m ? 1 二、填空题

3 D. m ? 1 , m ? ? , m ? 0 2

1.点 P(1, ?1) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离是________________. 2. 已知直线 l1 : y ? 2 x ? 3, 若 l 2 与 l1 关于 y 轴对称, l 2 的方程为__________;若 l 3 则 与 l1 关于 x 轴对称,则 l 3 的方程为_________;若 l 4 与 l1 关于 y ? x 对称,则 l 4 的方 程为___________; 3.若原点在直线 l 上的射影为 (2,?1) ,则 l 的方程为____________________。 4.点 P( x, y) 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,则 x 2 ? y 2 的最小值是________________. 5.直线 l 过原点且平分 ? ABCD 的面积,若平行四边形的两个顶点为
B(1, 4), D(5, 0) ,则直线 l 的方程为________________。

三、解答题 xkb1.com 新课标第一网
1

1.已知直线 Ax ? By ? C ? 0 , (1)系数为什么值时,方程表示通过原点的直线; (2)系数满足什么关系时与坐标轴都相交; (3)系数满足什么条件时只与 x 轴相交; (4)系数满足什么条件时是 x 轴; (5)设 P? x0 ,y0 ? 为直线 Ax ? By ? C ? 0 上一点, 证明:这条直线的方程可以写成 A? x ? x0 ? ? B? y ? y0 ? ? 0 .

2 . 求 经 过 直 线 l1 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0, l 2 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 的 交 点 且 平 行 于 直 线
2 x ? y ? 3 ? 0 的直线方程。

3.经过点 A(1, 2) 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?请求 出这些直线的方程。

4.过点 A(?5, ?4) 作一直线 l ,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面 积为 5 .

2

第三章 [综合训练 B 组] 一、选择题

直线与方程

1.已知点 A(1, 2), B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A. 4 x ? 2 y ? 5 C. x ? 2 y ? 5 B. 4 x ? 2 y ? 5 D. x ? 2 y ? 5 )



1 2.若 A(?2,3), B (3, ?2), C ( , m) 三点共线 则 m 的值为( 2 1 1 A. B. ? C. ?2 D. 2 2 2 x y 3.直线 2 ? 2 ? 1 在 y 轴上的截距是( ) a b

A. b

B. ?b 2 C. b 2

D. ?b )

4.直线 kx ? y ? 1 ? 3k ,当 k 变动时,所有直线都通过定点( A. (0, 0) B. (0,1) C. (3,1) D. (2,1)

5.直线 x cos ? ? y sin ? ? a ? 0 与 x sin ? ? y cos ? ? b ? 0 的位置关系是( A.平行 B.垂直 C.斜交



D.与 a, b,? 的值有关 )

6.两直线 3x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 平行,则它们之间的距离为( A. 4 B.

2 13 13

C.

5 13 26

D.

7 10 20

7.已知点 A(2,3), B(?3, ?2) ,若直线 l 过点 P(1,1) 与线段 AB 相交,则直线 l 的斜 率 k 的取值范围是( A. k ?
3 4



B.

3 ?k?2 4

C. k ? 2或k ?

3 4

D. k ? 2

二、填空题 1.方程 x ? y ? 1 所表示的图形的面积为_________。 2.与直线 7 x ? 24y ? 5 平行,并且距离等于 3 的直线方程是____________。 3.已知点 M (a, b) 在直线 3x ? 4 y ? 15上,则 a 2 ? b 2 的最小值为 4. 将一张坐标纸折叠一次, 使点 (0, 2) 与点 (4, 0) 重合, 且点 (7, 3) 与点 (m, n) 重合,
3

则 m? n 的值是___________________。 5.设 a ? b ? k (k ? 0, k为常数) ,则直线 ax ? by ? 1 恒过定点 三、解答题 1.求经过点 A(?2, 2) 并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是 1 的直线方程。 .

2.一直线被两直线 l1 : 4 x ? y ? 6 ? 0, l 2 : 3x ? 5 y ? 6 ? 0 截得线段的中点是 P 点, 当 P 点分别为 (0, 0) , (0,1) 时,求此直线方程。

3. 函数 y ? f ? x? 在 x ? a 及 x ? b 之间的一段图象近似地看作直线, a ? c ? b , 设 证明: f ?c? 的近似值是: f ? a ? ?
c?a ? f ?b? ? f ?a ?? . b?a

4.直线 y ? ?

3 x ? 1 和 x 轴, y 轴分别交于点 A, B ,在线段 AB 为边在第一象限 3

1 内作等边△ ABC ,如果在第一象限内有一点 P (m, ) 使得△ ABP 和△ ABC 2 的面积相等, 求 m 的值。

4

第三章 [提高训练 C 组] 一、选择题

直线与方程

1.如果直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后,又回 到原来的位置,那么直线 l 的斜率是( A. ?
1 3

) D. 3 )

B. ?3

C.

1 3

2. P?a,b?、Q?c,d ? 都在直线 y ? mx ? k 上, PQ 用 a、c、m 表示为 若 则 ( A. ?a ? c? 1 ? m 2 B. m?a ? c? C.

a?c 1? m
2

D. a ? c 1 ? m 2

3.直线 l 与两直线 y ? 1 和 x ? y ? 7 ? 0 分别交于 A, B 两点,若线段 AB 的中点为
M (1, ?1) ,则直线 l 的斜率为(



3 2 3 2 B. C. ? D. ? 2 3 2 3 ABC 中,点 A(4, ?1) , AB 的中点为 M (3, 2) ,重心为 P (4, 2) ,则边 BC 的长为 4.△

A.



) A. 5 B. 4 C. 10 ( ) D. 8

5.下列说法的正确的是

A.经过定点 P0 ? x0 ,y0 ? 的直线都可以用方程 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? 表示 B.经过定点 A?0,b? 的直线都可以用方程 y ? kx ? b 表示 C.不经过原点的直线都可以用方程
x y ? ? 1 表示 a b

D . 经 过 任 意 两 个 不 同 的 点 P ?x1,y1 ?、P2 ?x2,y2 ? 的 直 线 都 可 以 用 方 程 1

? y ? y1 ?? x2 ? x1 ? ? ? x ? x1 ?? y2 ? y1 ? 表示
6.若动点 P 到点 F (1,1) 和直线 3x ? y ? 4 ? 0 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为 ( ) B.x ? 3 y ? 2 ? 0 C.x ? 3 y ? 2 ? 0 D.3x ? y ? 2 ? 0

A.3x ? y ? 6 ? 0 二、填空题

1.已知直线 l1 : y ? 2 x ? 3, l 2 与 l1 关于直线 y ? ? x 对称,直线 l 3 ⊥ l 2 ,则 l 3 的斜率 是______.
5

2.直线 x ? y ? 1 ? 0 上一点 P 的横坐标是 3 ,若该直线绕点 P 逆时针旋转 90 0 得直 线 l ,则直线 l 的方程是 .

3. 一直线过点 M (?3, 4) , 并且在两坐标轴上截距之和为 12 , 这条直线方程是____. 4. 若方程 x 2 ? my2 ? 2x ? 2 y ? 0 表示两条直线, m 的取值是 则 5.当 0 ? k ? 三、解答题 1.经过点 M (3,5) 的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么?
1 时,两条直线 kx ? y ? k ? 1 、ky ? x ? 2k 的交点在 2

. 象限.

2.求经过点 P(1, 2) 的直线,且使 A(2,3) , B(0, ?5) 到它的距离相等的直线方程。

3.已知点 A(1,1) , B(2, 2) ,点 P 在直线 y ? 最小值时 P 点的坐标。

1 2 2 x 上,求 PA ? PB 取得 2

4.求函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 4 x ? 8 的最小值。

6

答案 第三章 一、选择题 1.D

直线和方程

[基础训练 A 组]

tan ? ? ?1, k ? ?1, ?

a ? ?1, a ? b, a ? b ? 0 b

2.A 设 2 x ? y ? c ? 0, 又过点 P(?1,3) ,则 ?2 ? 3 ? c ? 0, c ? ?1 ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 3.B 5.C 6.C
k? 4?m ? ?2, m ? ?8 m?2

4.C

y??

a c a c x ? , k ? ? ? 0, ? 0 b b b b

x ? 1 垂直于 x 轴,倾斜角为 90 0 ,而斜率不存在

2m2 ? m ? 3, m2 ? m 不能同时为 0
1 ? (?1) ? 1 2

二、填空题 1.
3 2 2

d?

?

3 2 2

2. l2 : y ? ?2x ? 3, l3 : y ? ?2x ? 3, l4 : x ? 2 y ? 3, 3. 2 x ? y ? 5 ? 0 4. 8
k' ? ?1 ? 0 1 ? ? , k ? 2, y ? (?1) ? 2( x ? 2) 2?0 2

x2 ? y 2 可 看 成 原 点 到 直 线 上 的 点 的 距 离 的 平 方 , 垂 直 时 最 短 :
?4 2 ?2 2
平分平行四边形 ABCD 的面积,则直线过 BD 的中点 (3, 2)

d?

2 x 3 三、解答题

5. y ?

1. 解: (1)把原点 (0, 0) 代入 Ax ? By ? C ? 0 ,得 C ? 0 ; (2)此时斜率存在且 不为零 即A?0且B?0; (3)此时斜率不存在,且不与 y 轴重合,即 B ? 0 且
C ?0;

(4) A ? C ? 0, 且 B ? 0 (5)证明:? P ? x0,y0 ? 在直线 Ax ? By ? C ? 0 上

? Ax0 ? By0 ? C ? 0, C ? ? Ax0 ? By0

? A? x ? x0 ? ? B ? y ? y0 ? ? 0 。

7

19 ? ? x ? 13 ?2 x ? 3 y ? 5 ? 0 47 ? 2. 解:由 ? ,得 ? ,再设 2 x ? y ? c ? 0 ,则 c ? ? 13 ?3x ? 2 y ? 3 ? 0 ?y ? 9 ? 13 ?
2x ? y ? 47 ? 0 为所求。 13

3. 解:当截距为 0 时,设 y ? kx ,过点 A(1, 2) ,则得 k ? 2 ,即 y ? 2 x ;
x y x y ? 1, 过点 A(1, 2) , 当截距不为 0 时,设 ? ? 1, 或 ? a a a ?a

则得 a ? 3 ,或 a ? ?1 ,即 x ? y ? 3 ? 0 ,或 x ? y ? 1 ? 0 这样的直线有 3 条: y ? 2 x , x ? y ? 3 ? 0 ,或 x ? y ? 1 ? 0 。
4 4. 解:设直线为 y ? 4 ? k ( x ? 5), 交 x 轴于点 ( ? 5, 0) ,交 y 轴于点 (0,5k ? 4) , k

1 4 16 S ? ? ? 5 ? 5k ? 4 ? 5, 40 ? ? 25k ? 10 2 k k

得 25k 2 ? 30k ? 16 ? 0 ,或 25k 2 ? 50k ? 16 ? 0
2 8 解得 k ? , 或 k ? 5 5

? 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 ,或 8 x ? 5 y ? 20 ? 0 为所求。

第三章 直线和方程 [综合训练 B 组] 一、选择题
3 3 1.B 线段 AB 的中点为 (2, ), 垂直平分线的 k ? 2 ,y ? ? 2( x ? 2), 4 x ? 2 y ? 5 ? 0 2 2 ?2 ? 3 m ? 2 1 2.A k AB ? kBC , ? ,m ? 1 3? 2 2 ?3 2

3.B 令 x ? 0, 则 y ? ?b2

?x ? 3 ? 0 4.C 由 kx ? y ? 1 ? 3k 得 k ( x ? 3) ? y ? 1 对于任何 k ? R 都成立,则 ? ? y ?1 ? 0
5.B
cos ? ? sin ? ? sin ? ? (? cos ? ) ? 0

6.D 把 3x ? y ? 3 ? 0 变化为 6 x ? 2 y ? 6 ? 0 ,则 d ?

1 ? (?6) 62 ? 22

?

7 10 20

8

3 k PA ? 2, k PB ? , kl ? k PA ,或kl ? k PB 4 二、填空题

7.C

1. 2

方程 x ? y ? 1 所表示的图形是一个正方形,其边长为 2

2. 7 x ? 24 y ? 70 ? 0 ,或 7 x ? 24 y ? 80 ? 0 设直线为 7 x ? 24 y ? c ? 0, d ? 3. 3 4.
44 5

c?5 242 ? 72

? 3, c ? 70, 或 ? 80
15 5

a 2 ? b 2 的最小值为原点到直线 3x ? 4 y ? 15的距离: d ?

点 (0, 2) 与点 (4, 0) 关于 y ? 1 ? 2( x ? 2) 对称,则点 (7, 3) 与点 (m, n)

23 m?7 ? ?n ? 3 ?m ? 5 ? 2 ? 1 ? 2( 2 ? 2) ? ? 也关于 y ? 1 ? 2( x ? 2) 对称,则 ? ,得 ? ? n?3 ? ? 1 ? n ? 21 ?m ? 7 ? 2 5 ? ?
1 1 5. ( , ) k k

ax ? by ? 1 变化为 ax ? (k ? a) y ? 1, a( x ? y) ? ky ? 1 ? 0,

?x ? y ? 0 对于任何 a ? R 都成立,则 ? ?ky ? 1 ? 0
三、解答题 1.解:设直线为 y ? 2 ? k ( x ? 2), 交 x 轴于点 (
?2 ? 2, 0) ,交 y 轴于点 (0, 2k ? 2) , k

1 2 2 S ? ? ? 2 ? 2k ? 2 ? 1, 4 ? ? 2k ? 1 2 k k

得 2k 2 ? 3k ? 2 ? 0 ,或 2k 2 ? 5k ? 2 ? 0
1 解得 k ? ? , 或 k ? ?2 2

? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,或 2 x ? y ? 2 ? 0 为所求。

?4 x ? y ? 6 ? 0 24 18 24 18 2.解:由 ? 得两直线交于 ( ? , ) ,记为 A( ? , ) ,则直线 AP 23 23 23 23 ?3x ? 5 y ? 6 ? 0
垂直于所求直线 l ,即 kl ?
?y ? 4 24 ,或 kl ? 3 5

4 24 x ,或 y ? 1 ? x, 3 5

即 4 x ? 3 y ? 0 ,或 24 x ? 5 y ? 5 ? 0 为所求。
9

1. 证明:? A, B, C 三点共线,?k AC ? k AB
yc ? f (a ) f (b) ? f (a ) ? c?a b?a c?a ? yc ? f (a) ? [ f (b) ? f (a)] b?a c?a [ f (b) ? f (a)] 即 yc ? f (a) ? b?a c?a ? f ? c? 的近似值是: f ?a ? ? ? f ?b? ? f ?a ?? b?a



2. 解:由已知可得直线 CP // AB ,设 CP 的方程为 y ? ?

3 x ? c, (c ? 1) 3



1 3 c ?1 3 x ? 3 过 P ( m, ) ? AB ? ? 3, c ? 3 , y ? ? 2 3 2 1 1? 3

得 第三章 一、选择题 1.A 2.D 3.D

1 3 5 3 ?? m ? 3, m ? 2 3 2

直线和方程
1 3

[提高训练 C 组]

tan ? ? ?

PQ ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 ? (a ? c) 2 ? m 2 (a ? c) 2 ? a ? c 1 ? m 2

A(?2,1), B(4, ?3)

4.A

B(2,5), C(6,2), BC ? 5

5.D 斜率有可能不存在,截距也有可能为 0 6.B 点 F (1,1) 在直线 3x ? y ? 4 ? 0 上,则过点 F (1,1) 且垂直于已知直线的直线为 所求 二、填空题 1. ?2
l1 : y ? 2 x ? 3, l2 : ? x ? ?2 y ? 3, y ? 1 3 1 x ? , k2 ? , k3 ? ?2 2 2 2

2. x ? y ? 7 ? 0

P(3, 4) l 的倾斜角为 450 ? 900 ? 1350 , tan1350 ? ?1

3. 4 x ? y ? 16 ? 0 ,或 x ? 3 y ? 9 ? 0 设 y ? 4 ? k ( x ? 3), y ? 0, x ?
?4 ?4 ? 3; x ? 0, y ? 3k ? 4; ? 3 ? 3k ? 4 ? 12 k k 4 1 3k ? ? 11 ? 0,3k 2 ? 11k ? 4 ? 0, k ? 4, 或k ? ? k 3

10

4. 1

5.二

k ? ?x ? k ?1 ? 0 ?ky ? x ? 2k ? ,? ? ?kx ? y ? k ? 1 ? y ? 2k ? 1 ? 0 ? k ?1 ?

三、解答题 1. 解:过点 M (3,5) 且垂直于 OM 的直线为所求的直线,即
3 3 k ? ? , y ? 5 ? ? ( x ? 3),3x ? 5 y ? 52 ? 0 5 5

2. 解: x ? 1 显然符合条件;当 A(2,3) , B(0, ?5) 在所求直线同侧时, kAB ? 4
? y ? 2 ? 4( x ? 1), 4 x ? y ? 2 ? 0 4 x ? y ? 2 ? 0 ,或 x ? 1

3. 解:设 P(2t , t ) , 则 PA ? PB ? (2t ? 1) 2 ? (t ? 1) 2 ? (2t ? 2) 2 ? (t ? 2) 2 ? 10t 2 ? 14t ? 10
2 2

当t ?

7 7 7 2 2 时, PA ? PB 取得最小值,即 P ( , ) 5 10 10

4. 解: f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? (0 ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 ? (0 ? 2) 2 可看作点 ( x, 0) 到点 (1,1) 和点 (2, 2) 的距离之和,作点 (1,1) 关于 x 轴对称的点 (1, ?1)
? f ( x) min ? 12 ? 32 ? 10

11


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