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常用逻辑用语复习小结(精华)


常用逻辑用语复习小结
常用逻辑用语知识是进行数学推理和思维必不可少 的基本知识 .通过本章的学习 ,使 我们体会到 逻辑用语的 严谨性、准确性及其中蕴含的一些思维规律,甚至有些同 学会认为我们好像是在 “咬文嚼字” , 而且有些思维是形 式化的在进行,其实这种训练可以有助于我们正确理解 数学概念、合理论证数学结论、准确表达数学内容.

常用逻辑用语知识的学习,我们要充分品味逻辑用 语的严谨性、准确性和其中蕴含的思维规律,但又不要 刻意追求那些形式化又无实际意义的东西的推敲, 贵在 思维的熏陶。
2

常用逻辑用语复习小结
本章知识结构:

重要考点
命题及 其关系

常用逻辑用语

知道命题的特征 . 能准确写出命题 的否定.
全称量词 存在量词

充分条件 必要条件 充要条件

简单的逻辑联结 词:且、或、非

四种命题:原命题、逆命题、 否命题、逆否命题. 1.原命题与逆否命题同真同假.

2. p ? q 说 p 与 q 互为充 要条件 . 充要条件的探求 2.证明一个命题,可以考虑证它 是学好数学的基本功. 3
的逆否命题来间接证明.

1. p ? q 说 p 是 q 的充分 条件, q 是 p 的必要条件.

四种命题形式及其关系
原命题 若p,则q 互 否 否命题 若? p,则? q 互逆 互为逆否 逆命题 若q,则p 互 否 逆否命题 若? q,则? p

同真同假
互逆

注:(1) “互为”的; (2)原命题与其逆否命题同真同假. (3)逆命题与否命题同真同假.
4

二、充要条件、必要条件的判定
对于充分条件和必要条件,要能够正确地理解和判断 (1)从概念的角度去理解. ①若p?q,则称p是q的充分条件,q是p的必要条件. ②若p?q,则p是q的充要条件. ⑧若p? q,且q ?p,则称p是q的充分不必要条件. ④若p? q,且q? p,则称p是q的必要不充分条件. ⑤若p? q,且q ?p,则称p是q的既不充分也不必要条件 (2)从命题的角度去理解. 设原命题为“若p,则q”,则 ①若原命题为真,则p是q的 充分条件 . ②若逆命题为真,则p是q的 必要条件 . ③若原命题和逆命题都为真,则p是q的 充要条件 . ④若原命题为真而逆命题为假,则p是q的 充分不必要条件 . ⑤若原命题为假而逆命题为真,则p是q的 必要不充分件 . 5 ⑥若原命题和逆命题都为假,则p是q的 既不充分也不必要条件 .

(3)从集合的角度去理解. 若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即 A={x|p(x)},B={x|q(x)),则 ①若A?B,则p是q的 充分条件 . ②若B ? A,则p是q的 必要条件 . ③若A=B,则p是q的 充要条件 . 充分不必要条件 ④若A ? B且B ?A,则p是q的 . 必要不充分条件 ⑤若B ? A且A ? B,则p是q的 . ⑥若A ?B且B ? A,则p是q的 既不充分也不必要条件 .

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同步练习
1. A

2.

C
3. B

7

4.设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a<0;q:实数x满足 x2-x-6≤0或x2+2x-8>0,且?P是?q的必要不充分条件, 求a的取值范围. 分析:本题可依据四种命题间的关系进行等价转化. 解:由?P是? q的必要不充分条件,转化成它的逆否命题 q是P的必要不充分条件,即P是q的充分不必要条件, 也就是p?q且q ?p. 化简条件p得,A={x|3a<x<a,a<0} 化简条件q得,B={x|x<-4或x≥-2}

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1.逻辑联结词

? “或” A ? B ? x x ? A或x ? B ? “且”A ? B ? x ? A且x ? B ? “非” A ? ?x x ?U且x ? A?

?

?

?

?

注:⑴“p 或 q” ─ 只要 p、 q 中有一个为真 就为真.(p、q 同时为假才为假.) ⑵“p 且 q”─ p、q 同时为真才为真.

⑶“? p”─ p 的全盘否定, p 与?p 一真一假.

2.全称命题 p: ?x ? M , p( x) .

它的否定?p: ?x ? M , ?p( x) .

即“全称命题”的否定是“特称命题” ,反过来也一样. 另外,判断全称命题为假,只要找一个反例即可; 9

特别注意对一些词语的否定
词语
等于 大于 小于 是

否定
不等于 不大于 不小于 不是

词语
任意的 所有的 且 都是

否定
某个 某些 或 不都是

至多有一个 至少有两个 至多有n个 至少有(n+1)个 至少有一个 一个都没有 至少有n个 至多有(n-1)个

“非 p”─ p 的全盘否定.特别注意!
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练习一 : 1. 有下列四个命题 : ①“ 若 | x | ?3 ,则 x ? 3或x ? ?3 ”的逆命题 ; ②命题“ a、b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是 “a+b 不是偶数,则 a、b 都不是偶数” ; ③若有命题 p:7≥7,q:ln2 >0, 则 p 且 q 是真命题; ④若一个命题的否命题为真, 则它的逆命题一定是真 . 其 中真命题为 ( D ) (A)①④ (B)②③ (C)②④ (D)③④ 2. 命题: “ 若 x2 ? x ? 2 ? 0 ,则 x≠–1 且 x≠2” 的否命题是_______. 3. 已知 x, y ? R ,且 x ? y ? 2 ,求证: x, y 中至少有一个大于 1.
11

若 x ? x ? 2 ? 0 , 则 x ? ?1 或 x ? 2 .
2

3答案

3.已知 x, y ? R ,且 x ? y ? 2 , 大于 1.

求证: x, y 中至少有一个

法一:假设 x, y 均不大于 1,即 x ≤1且y ≤1, 则x ? y ≤ 2 ,这说明原命题的逆否命题成立 ∴原命题成立.

法二:假设 x, y 均不大于 1,即 x ≤1且y ≤1, 则x ? y ≤ 2 ,这与已知条件 x ? y ? 2 矛盾 ? x, y 中至少有一个大于 1

12

练习1.设0 < a, b, c < 1, 求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于1/4
1 1 1 证:设(1 ? a)b > , (1 ? b)c > , (1 ? c)a > 4 4 4 1 ① 则三式相乘:(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a >
64 2 ? (1 ? a ) ? a ? 1 又∵0 < a, b, c < 1 ∴ 0 ? (1 ? a )a ≤ ? ? ? 2 ? ? 4 1 1 同理: (1 ? b)b ≤ (1 ? c )c ≤ 4 4 1

以上三式相乘:(1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤ 与①矛盾∴结论成立

64

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练习2

练习2.已知a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0, abc > 0, 求证:a, b, c > 0

证:设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c > ?a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 若a = 0,则与abc > 0矛盾, ∴必有a > 0 同理可证:b > 0, c > 0

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幻灯片切换

练习二 1.设甲、 乙、 丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙

的充分条件但不是乙的必要条件,那么丙是甲的( A ) (A)充分条件不必要条件 (B)必要条件不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 2.若不等式 x ? 1 < a 成立的充分条件是 0 ? x ? 4 ,则 a 的取值范围


a≥3 .

3. 设集合 U ? {( x, y) x ? R, y ? R}, A ? {( x, y) 2x ? y ? m ? 0},

B ? {( x, y) x ? y ? n ≤ 0??
求证: “点 P(2,3)∈A∩(CUB)”的充要条件是“m>-1 且 n<5”

15

3答案

3. 设集合 U ? {( x, y) x ? R, y ? R}, A ? {( x, y) 2x ? y ? m ? 0},

B ? {( x, y) x ? y ? n ≤ 0??
求证: “点 P(2,3)∈A∩(CUB)”的充要条件是“m>-1 且 n<5”.

证明: ∵点 P(2,3)∈A∩(CUB) ? P(2,3)∈A 且 P(2,3)∈CUB

?2 ? 2 ? 3 ? m ? 0 即 m>-1 且 n<5 ?? ?2 ? 3 ? n ? 0
∴“点 P(2,3)∈A∩(CUB)”的充要条件是“m>-1 且 n<5”

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练习三: 1. 已知命题 p: 方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的根是 x=2; 命题 q: 方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的根是 x=1,则命题 p或q 为____________.
方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的根一定是 x=2 或一定是 x=1 2. 写 出 命 题 “? a 、 b 、 c ? R , 若 x ? a 2 ? 2b ? 1 , y ? b 2 ? 2c ? 1 , z ? c 2 ? 2a ? 1 ,则 x 、 y 、 z 中至少有一个不

小于 0”的否定为____________________.
2 2 b ? R x ? a ? 2 b ? 1 、 、 ,若 , c y ? b ? 2c ? 1 , ?a z ? c 2 ? 2a ? 1 ,则 x 、 y 、 z 三个都小于 0” 1 2 a) 的定义域为 R;命 3.设命题 p:函数 f ( x) ? lg( ax ? x ? 16

题 q:不等式 2 x ? 1 ? 1 ? ax 对一切正实数均成立 .如果命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,求实数 a 的取值范围.
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3答案

3.解:命题 p 为真命题 ? 函数 f ( x ) ? lg( ax 2 ? x ?

1 a )的定义域为R 16

?a ? 0 1 ? ? a ? 2. ? ax 2 ? x ? a ? 0对任意实数x均成立 ? ? 1 2 16 1? a ? 0 ? ? 4

? 命题p为真命题 ? a ? 2. 又 ? 命题 q为真命题 ? 2 x ? 1 ? 1 ? ax对一切正实数均成立
?a? 2x ?1 ?1 2x ? ? x x ( 2 x ? 1 ? 1)
2 x ? 1 ? 1,?

2 对一切正实数x均成立 2x ?1 ?1
2 ? 1 .(8 分 ) 2x ?1 ?1

由 于 x ? 0,?

2 x ? 1 ? 1 ? 2, ?

? 命题q的真命题 ? a ≥ 1.(10分) ∵根据题意知,命题 p 与 q 为有且只有一个是真命题,当命题 p 为真命题且 命题 q 为假命题时 a 不存在;当命题 p 为假命题且命题 q 为真命题时 a 的取 值范围是[1,2].综上,命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题时实数 a 的 取值范围是[1,2](12 分)
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例题应用:
例1.已知关于x的方程 (1?a)x2+(a+2)x?4=0,a?R
求:1) 方程有两个正根的充要条件,并写出它 的一个充分不必要条件和必要不充分条件; 2) 方程至少有一个正根的充要条件。 3) 方程的两个根都大于1的充要条件。

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符号根问题:(抓 ?, x1 ? x2 , x1 ? x2 三方面列不等
式组)
类 别 两正根 两负根 一正一负根

充要条 件

?? ? 0 ? ? x1 ? x2 ? 0 ?x ? x ? 0 ? 1 2

?? ? 0 ? ? x1 ? x2 ? 0 ?x ? x ? 0 ? 1 2

x1 ? x2 ? 0

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区间根问题:(抓? 、顶点横坐标、端点值 列不等式组)
根 的 分 布
图 像 等 价 条 件

x1≥x2>k
y

x1≤x2<k x3<k<x4 x1,x2∈(k1,k2)
y y y

k1<x1<k2, k3<x2<k4

0 k

x

0

k

x

0

k

x

0 k1

k2 x

? ?? ? 0 ? ? f (k ) ? 0 ? b ?k ? ? 2a ?

? ?? ? 0 ? ? f (k ) ? 0 ? b ?? ? k ? 2a

?? ? 0 ? f (k ) ? 0 1 ? f (k ) ? 0 ? ? f (k 2 ) ? 0 ? ?k1 ? ? b ? k2 ? 2a ?

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练习二 1.设甲、 乙、 丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙

的充分条件但不是乙的必要条件,那么丙是甲的( A ) (A)充分条件不必要条件 (B)必要条件不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 2.若不等式 x ? 1 < a 成立的充分条件是 0 ? x ? 4 ,则 a 的取值范围


a≥ .3

3.已知 a ? 0 ,设命题 p : 函数 y ? a x 在 R 上单调递减, q : 不等式: x ? x ? 2a ? 1的解集为 R,若“ p 或 q ”为 真, “ p 且 q ”为假,求 a 的取值范围.

.

22

3答案

已知函数f ( x) ? 4 x ? 2( p ? 2) x ? 2 p ? p ? 1在区间? ?1,1? 上
2 2

至少存在一个实数c,使得f (c) ? 0,求实数p的取值范围。
解析:上述命题的否定为:

在区间??1,1?上所有实数c,使得f (c) ? 0恒成立
4

2

-5

-1 1
-2 -4

5

23

3.已知 a ? 0 ,设命题 p : 函数 y ? a x 在 R 上单调递减 , q : 不等式: x ? x ? 2a ? 1的解集为 R,若“ p 或 q ”为 真, “ p 且 q ”为假,求 a 的取值范围 .

| x ? 2a |? 1 ? x恒成立,数形结合最简 单

至少用三 种方法!

1 0 < a ≤ 或a > 1 2
24

1 x ?1 ? 0, 4.已知 p : 1 ? ?2 , q: 2 x ? 4x ? 3 3 求非 p 与非 q 对应的 x 的集合.

注 :关于含绝对值的不等式的可以根据绝对值的

? x ( x ≥ 0) 定义: x ? ? ,通过分类讨论转化为一 ?? x( x ? 0)
般的不等式来分析. 或者找等价式来转化:
⑴ x ? a(a ? 0) ? ?a ? x ? a ; ⑵ x ? a(a ? 0) ? x ? ?a或x ? a
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