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【备战2014】高考数学 高频考点归类分析 等差、等比数列的相关知识(真题为例)


等差、等比数列的相关知识
包括等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前 n 项和公式或可直接转化为等差、 等比数列的数列。 典型例题: 例 1. (2012 年全国大纲卷文 5 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 1 ? 1 Sn ? 2an?1 则 S n = a , 【 】 A. 2n?1 【答案】B。 【考点】数列的通项公式和求和公式的应用。 【解析】∵ a1 ? 1 Sn ? 2an?1 ,∴ S1 ? 2a2 ,即 2a2 ? 1 a2 ? , , B. ( ) n?1

3 2

C. ( ) n?1

2 3

D.

1 2 n?1

1 。 2

又 ∵ Sn ? 2an?1 , ∴ Sn?1 ? 2an ? n ? 2 ? 。 ∴ Sn ? Sn?1 ? 2an?1 ? 2an , 即

an ? 2an?1 ? 2an 。


an ?1 3 3 ? 。∴当 n ? 2 时, ?an ? 是公比为 的等比数列。 an 2 2
n ?1 n ?1 n ?1

1 1?3? ? ? ? 2 2? 2? ∴ Sn =a1 ? 3 1? 2

?3? =1 ? 1 ? ? ? ?2?

?3? =? ? ?2?

。故选 B。

例 2. (2012 年全国课标卷理 5 分)已知 ? an 为等比 数列, a4 ? a7 ? 2 , a5 a6 ? ?8 ,则

?

a1 ? a10 ? 【



( A) 7
【答案】 D 。 【考点】等比 数列。

( B) 5

(C ) ??

( D) ??

【 解析】 ∵ ? an 为等 比 数列, a4 ? a7 ? 2 , a5 a6 ? a4 a7 ? ?8 ,∴ a4 ? 4, a7 ? ?2 或

?

a4 ? ?2, a7 ? 4 。
由 a4 ? 4, a7 ? ?2 得 a1 ? ?8, a10 ? 1 ,即 a1 ? a10 ? ?7 ; 由 a4 ? ?2, a7 ? 4 得 a1 ? 1, a10 ? ?8 ,即 a1 ? a10 ? ?7 。故选 D 。
1

例 3. (2012 年北京市文 5 分)已知 ? n ? 为等比数列,下面结论中正确的是【 a A. a1 ? a 3 ? 2a 2 >a2 【答案】B。 【考点】等比数列的基本概念,均值不等式。 【解析】本题易用排除法求解:设等比数列 ? n ? 的公比为 q ,则 a B. a12 ? a 32 ? 2a 2 2 C.若 a1=a3,则 a1=a2



D.若 a3>a1,则 a4

A,当 a1 < 0,q < 0 时, a1 < 0,a 2 > 0,a 3 < 0 ,此时 a1 ? a 3 < 2a 2 ,选项错误。 B. 根据均值不等式,有 a12 ? a 32 ? 2a1a 3 =2a 2 2 ,选项正确。 C. 当 q= ? 1 时,a1=a3,但 a1=a2


选项错误。

D. 当 q < 0 时, a1 > a 3 ? a1q < a 3q ? a 2 < a 4 ,选项错误。 故选 B。

例 4.(2012 年安徽省文 5 分) 公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数, 且 则 a5 ? 【 】

a3 a11 =16,

( A) 1
【答案】 【考点】等比数列。

( B) 2

(C ) ?

( D) ?

【解析】∵等比数列{ an } 的公比为 2,且

a3 a11 =16,∴

a7 4 2 ? 2 a7 ? 16 ,即 a7 ? 16 。 4 2
2

又∵等比数列{ an }各项都是正数,∴ a7 ? 4 。∴ 2 ? a5 ? 4 。∴ a5 ? 1 。故选 A 。 例 5. (2012 年福建省理 5 分) 等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 【 】 A.1 【答案】B。 【考点】等差数列的通项。 【 解 析 】 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d , 根 据 已 知 条 件 得 : ?
?a1+a1+4d=10, ? ? ?a1+3d=7,

B.2

C.3

D.4



2

? ?2a1+4d=10, ? ? ?a1+3d=7,

解得 2d=4,所以 d=2。故选 B。

例 6. (2012 年辽宁省理 5 分)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11= 【 】 (A)58 【答案】B。 【考点】等差数列的通项公式、性质及其前 n 项和公式。 【解析】在等差数列中,∵ a1 ? a11 ? a4 ? a8 ? 16 ,∴ s11 ? (B)88 (C)143 (D)176

11? (a1 ? a11 ) ? 88 。故选 B。 2


例 7. (2012 年辽宁省文 5 分)在等差数列{an}中,已知 a4 ? a8 =16 ,则 a2 ? a10 =【 (A) 12 【答案】B。 【考点】等差数列的通项公式。 【 解 析 】 ∵ (B) 16 (C) 20 (D)24

a4 ? a8 ? (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 7d ) ? 2a1 ? 10d



a2 ? a10 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 9d ) ? 2a1 ? 10d ,
∴ a2 ? a10 ? a4 ? a8 ? 16 。故选 B。 例 8. (2012 年重庆市理 5 分)在等差数列 {a n } 中,a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 {a n } 的前 5 项和 S 5 = 【 】 A.7 【答案】B。 【考点】等差数列的性质。 【分析】利用等差数列的性质,可得 a2 +a4 ? a1 +a5 ? 6 ,再利用等差数列的求和公式,即可 得到结论: ∵等差数列 {a n } 中, a2 ? 1, a4 ? 5 ,∴ a2 +a4 ? a1 +a5 ? 6 , ∴ S5 = B.15 C.20 D.25

5 ? a1 +a5 ? 5 ? 6 = =15 。故选 B。 2 2

例 9. (2 012 年全国课标卷文 5 分)等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q= ▲

3

【答案】 ?2 。 【考点】等比数列。 【解析】∵等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn,∴ S2 =a1 ? a1q,S3 =a1 ? a1q ? a1q 2 。 又∵S3+3S2=0,∴ a1 ? a1q ? a1q 2 ? 3 ? a1 ? a1q ? =0 ,即 q 2 ? 4q ? 4=0 ,解得 q= ? 2 。

1 例 10. (2012 年北京市理 5 分) 已知 ?a n ? 为等差数列, n 为其前 n 项和。 a1 = , 2 ? a 3 , 若 S S 2
则 a2 = ▲ ; Sn = ▲

1 1 【答案】1; n 2 ? n 。 4 4
【考点】等差数列

1 【解析】设等差数列的公差为 d ,根据等差数列通项公式和已知 a1 = , S2 ? a 3 得 2
1 ? ?a 2 =1 ?a 2 = 2 ? d ? ? ?? 1 。 ? 1 ? ? a =a ? d ?d= 2 ? 2 2 ?2 ? a ? a ? ? n ? 1? d 1 1 ∴ Sn = 1 1 ? n= n 2 ? n 。 2 4 4
例 11. (2012 年广东省理 5 分).已知递增的等差数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , a3 ? a2 ? 4 ,则
2

an ?





【答案】 2n- 1 。 【考点】等差数列。
2 【 解 析 】 设 递 增 的 等 差 数 列 ?a n ? 的 公 差 为 d ( d > 0 ), 由 a3 ? a2 ? 4 得

1 + 2d = (1 + d )2 - 4 ,
解得 d =

2 ,舍去负值, d = 2 。

∴ an = 2n - 1。 例 12. (2012 年广东省文 5 分) 若等比数列 {a n } 满足 a 2 a 4 ? 【答案】

1 2 , a1 a3 a5 ? 则 2





1 。 4

【考点】等比数列的性质。
4

【解析】∵ {a n } 是等比数列,∴ a1a5 ? a2 a4 ? a3 2 ?

1 1 2 。∴ a1a3 a5 = 。 2 4

例 13.(2012 年江西省理 5 分) 设数列 {an },{bn } 都是等差数列, a1 ? b1 ? 7 , 3 ? b3 ? 21 , 若 a 则 a5 ? b5 ? ▲ 。

【答案】35。 【考点】等差中项的性质,整体代换的数学思想。 【解析】∵数列 {an },{bn } 都是等差数列,∴数列 ?an ? bn ? 也是等差数列。 ∴ 由 等 差 中 项 的 性 质 , 得

? a5 ? b? ? 5 ?

a1 ?? b12 ? ?

a3? ?, 3即 b

? a5 ? b5 ? ? 7 ? 2 ? 21 ,
解得 a5 ? b5 ? 35 。 例 14. (2012 年江西省文 5 分)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,公比不为 1。若 a1 ? 1 , 且对任意的 n ? N 都有 an+2+an+1 ? 2an ? 0 ,则 S 5 = 【答案】11 【考点】数列递推式,数列的求和。 【解析】设等比数列 ?an ? 的公比为 q 。 ∵ an+2+an+1 ? 2an ? 0 ,∴ an q 2 ? an q ? 2an ? 0 即 q 2 ? q ? 2 ? 0 。 解得 q =-2,或 q = 1(舍去) 。
5 1 ? ?1 ? ? ?2 ? ? ? ? ? 11 。 ∴ S5 = 1? 2





例 15. (2012 年浙江省理 4 分)设公比为 q(q ? 0) 的等比数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n .若

S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 ,则 q ?
【答案】
3 。 2





【考点】等比数列的性质,待定系数法。 【解析】 用待定系数法将 S2 ? 3a2 ? 2 ,S4 ? 3a4 ? 2 两个式子全部转化成用 a1 , 表示的式子: q

5

? a1 ? a1q ? 3a1q ? 2 , ? 2 3 3 ? a1 ? a1q ? a1q ? a1q ? 3a1q ? 2

两式作差得:a1q 2 ? a1q3 ? 3a1q(q 2 ? 1) , 2q 2 ? q ? 3 ? 0 , 即: 解之得:q ? (舍去)。

3 或 q ? ?1 2

例 16. ( 2012 年 辽 宁 省 理 5 分 ) 已 知 等 比 数 列 { an } 为 递 增 数 列 , 且
2 a5 ? a10 , 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 ,则数列{an}的通项公式 an =





【答案】 2 n 。 【考点】等比数 列的通项公式。 【解析】设等比数列{an}的公比为 q 。 ∵ a5 ? a10 ,∴ (a1q ) ? a1q 。∴ a1 ? q , an ? q 。
2

4 2

9

n

又∵ 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 ,∴ 2an (1 ? q ) ? 5an q 。∴ 2(1 ? q ) ? 5q 。
2

2

解得 q ? 2 或 q ?

1 。 2 1 。 2

又∵等比数列{an}为递增数列,∴舍去 q ? ∴ an ? 2 。
n

例 17. ( 2012 年 辽 宁 省 文 5 分 ) 已 知 等 比 数 列 { an } 为 递 增 数 列 . 若 a1 ? 0 , 且

2(an ? an? 2 ) ? 5an?1 ,则数列{an}的公比 q =
【答案】2。 【考点】等比数列的通项公式。



.

【解析】∵ 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 ,∴ 2an (1 ? q ) ? 5an q ,即 2(1 ? q ) ? 5q ,解得 q ? 2 或
2

2

q?

1 。 2
∵数列为递增数列,且 a1 ? 0 ,∴ q ? 1 。∴ q ? 2 。

例 18.(2012 年重庆市文 5 分)首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S 4 ? 【答案】5。 【考点】等比数列的前 n 项和。



6

【分析】 把已知的条件直接代入等比数列的前 n 项和公式, 运算求得结果: 4 ? S

1 ? 24 ? 15 。 1? 2

例 19. (2012 年山东省文 12 分)已知等差数列 {a n } 的前 5 项和为 105,且 a 20 =a 5 . (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m?N* ,将数列 {a n } 中不大于 72m 的项的个数记为 b m .求数列 {b m } 的前 m 项和 Sm .
?5a ? 10d ? 105 ?a ? 7 【答案】解:(Ⅰ)由已知得: ? 1 ,解得 ? 1 。 ?d ? 7 ?a1 ? 9d ? 2(a1 ? 4d)

∴通项公式为 a n ? 7 ? (n ? 1) ? 7 ? 7n 。 (II)由 a n ? 7n ? 72m ,得 n ? 72m ?1 ,即 bm =72m?1 ∵

b m+1 7 2m ?1 = = 49 ,∴ {b m } 是公比为 49 的等 比数列。 b m 7 2m ?1
7(1 ? 49m ) 7 ? (49m ? 1) 。 1 ? 49 48

∴ Sm ?

【考点】等差数列和等 比数列的性质。 【解析】 (Ⅰ)根据已知条件不求出 a1 和 d 即可求出数列 ?a n ? 的通项公式。 (Ⅱ)由(Ⅰ)和题设得不等式 a n ? 7n ? 72m ,解出后根据条件得到 {b m } 是公比为 49 的等 比数列,再求和 Sm 。 例 20. (2012 年湖北省理 12 分)已知等差数列 ? an ? 前三项的和为-3,前三项的积为 8. (Ⅰ)求等差数列 ? an ? 的通项公式; (II)若 a2 ,a3 ,a1 成等比数列,求数列 an 的前 n 项的和。 【答案】解: (Ⅰ)设等差数列 ? an ? 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,
?3a1 ? 3d ? ?3, ? a ? 2, ? a ? ?4, 由题意得 ? 解得 ? 1 或? 1 ? d ? ?3, ? d ? 3. ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8.

? ?

∴ 由 等 差 数 列 通 项 公 式 可 得 an ? 2 ? 3 n ? 1 ) ? 3 , 或 ( ? n ? 5
an ? ? 4 ? n 3 ( ?1 ) ? 3 ? 7 n 。

∴等差数列 ? an ? 的通项公式为 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 。 (Ⅱ)当 an ? ?3n ? 5 时, a2 , a3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a2 , a3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条
7

件。
??3n ? 7, n ? 1, 2, ∴ | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3.

记数列 {| an |} 的前 n 项和为 S n , 当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当
Sn ? S2 ? | a ? a ??? an ? 5 | 3

n?3
? (| ? 4 n


3? |


3?
|

?5?

(n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 。 2 2 2

当 n ? 2 时,满足此式。
n ? 1, ?4, ? 综上, Sn ? ? 3 2 11 ? 2 n ? 2 n ? 10, n ? 1. ?

【考点】等差等比数列的通项公式,和 前 n 项和公式及基本运算。 【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ? an ? 的公差为 d ,根据等差数列 ? an ? 前三项的和为-3,前三项的 积为 8 列方程组求解即可。 (II)对(Ⅰ)的结果验证符合 a2 ,a3 ,a1 成等比数列的数列,应用等差数列前 n 项 和公式分 n ? 1 , n ? 2 , n ? 3 分别求解即可。 例 21. (2012 年湖南省理 12 分)已知数列{an}的各项均为正数,记 A(n)=a1+a2+……+an,

B(n)=a2+a3+……+an+1,C(n)=a3+a4+……+an+2,n=1,2,…… [来^&源:中教网@~%]
(Ⅰ)若 a1=1,a2=5,且对任意 n∈N﹡,三个数 A(n) B(n) C(n)组成等差数列,求 , , 数列{ an }的通项公式. (Ⅱ)证明:数列{ an }是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N ,三个数 A (n) B(n) C(n)组成公比为 q 的等比数列. , , 【答案】解: (Ⅰ)∵对任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 是等差数列, ∴
?

?

B(n) ? A(n) ? C (n) ? B(n)





an?1 ? a ?1an? ? a

2



2

an? 2 ? an?1 ? a2 ? a1 。
∵a1=1,a2=5,∴ an ? 2 ? an ?1 ? a2 ? a1 ? 5 ? 1 ? 4 。 ∴ 数 列

? an ?

是 首 项 为 1 , 公 差 为 4 的 等 差 数 列 , 即

8

an ? 1 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 3 。
(Ⅱ) (1)必要性:若数列 ? an ? 是公比为q的等比数列,则对任意 n ? N ,有
?

an?1 ? an q 。
由 an ? 0 知, A(n), B(n), C (n) 均大于0,于是

B(n) a2 ? a3 ? ... ? an ?1 q(a1 ? a2 ? ... ? an ) ? ? ? q, A(n) a1 ? a2 ? ... ? an a1 ? a2 ? ... ? an C (n) a3 ? a4 ? ... ? an ? 2 q(a2 ? a3 ? ... ? an ?1) ? ? ?q, B(n) a2 ? a3 ? ... ? an ?1 a2 ? a3 ? ... ? an ?1


B ( n) C ( n) = =q。 A( n) B ( n)

∴三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列。 (2)充分性:若对于任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为
?

q 的等比数列,
则 B(n) ? qA(n), C (n) ? qB(n) 。 ∴ C (n) ? B(n) ? q ? B(n) ? A(n) ? , 得 an? 2 ? a2 ? q(an?1 ? a1 ), 即 an ? 2 ? qan ?1 ? a2 ? a1 。 由 n ? 1 有 B(1) ? qA(1), 即 a2 ? qa1 ,从而 an ? 2 ? qan ?1 ? 0 。 ∵ an ? 0 ,∴

an ? 2 a2 ? ?q。 an ?1 a1

∴数列 ? an ? 是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列。 综上所述,数列 ? an ? 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对 任意 n∈N﹡,三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列。 【考点】等差数列、等比数列的定义、性质,充要条件的证明。 【解析】 (Ⅰ)由等差数列定义可得。 (Ⅱ)从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易得证。

9

例 22. (2012 年湖南省文 13 分)某公司一下属企业从事某种高科技 产品的生产.该企业第 一年年初 有资金 2000 万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资 金年增长率与第一年的相同 .公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将 剩余资金全部 投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的 剩余资金为 an 万元. (Ⅰ)用 d 表示 a1,a2,并写出 an ?1 与 an 的关系式; (Ⅱ)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴 资金 d 的值(用 m 表示). 【 答 案 】 解 : ( Ⅰ ) 由 题 意 得 a1 ? 2000(1 ? 50%) ? d ? 3000 ? d ,

a2 ? a1 (1 ? 50%) ? d ?

3 a1 ? d , 2

3 an ? d 。 2 3 3 2 3 3 3 (Ⅱ) (Ⅰ) an ? an ?1 ? d ? ( ) an ? 2 ? d ? d ? ( an ?2 ? d ) ? d ?? 由 得 2 2 2 2 2 an ?1 ? an (1 ? 50%) ? d ?
3 3 ? 3 3 ? ? ( ) n ?1 a1 ? d ?1 ? ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ?2 ? 。 2 2 ? 2 2 ?
整 理 得

3 3 ? 3 ? an ? ( ) n ?1 (3000 ? d ) ? 2d ?( ) n ?1 ? 1? ? ( )n ?1 (3000 ? 3d ) ? 2d 。 2 2 ? 2 ?
n ?1 由题意, an ? 4000 ,∴ ( ) (3000 ? 3d ) ? 2d ? 4000 ,

3 2

? 3 n ? ?( 2 ) ? 2 ? ?1000 1000(3n ? 2n ?1 ) ? ? 解得 d ? 。 ? 3 n 3n ? 2n ( ) ?1 2
∴该企业每年上缴资金 d 的值为缴 企业的剩余资金为 4000 元。 【考点】递推数列问题在实际问题中的应用。 【解析】 (Ⅰ)建立数学模型,得出 an ?1 与 an 的关系式 an ?1 ? (Ⅱ)把(Ⅰ)中的 an ?1 ?

1000(3n ? 2n ?1 ) 时, 经过 m(m ? 3) 年 3n ? 2n

3 an ? d 。 2

3 an ? d 迭代,即可以解决。 2

10

例 23. (2012 年重庆市文 13 分)已知 {an } 为 等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式( 6 分) ; (Ⅱ)记 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ? 2 成 等比数列,求正整数 k 的值(7 分) 。 【答案】解: (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d , 由题意知 ?

? 2a1 ? 2d ? 8 ,解得 a1 ? 2, d ? 2 。 ? 2a1 ? 4d ? 12

∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n 。 ( Ⅱ)由(Ⅰ)可得 Sn ?

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) , 2 2
2 k

∵ a1 , ak , Sk ? 2 成等比数列,∴ a
2

? a1Sk ? 2 ,

即 (2k ) ? 2(k ? 2)(k ? 3) ,即 k ? 5k ? 6 ? 0 [世。纪教育网]
2

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去) 。 ∴k ? 6。 【考点】等比数列的性质,等差数列的通项和前 n 项和公式。 【分析】 (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差等于 d ,则由 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, 可得关于 a1 和

d 的二元一次方程组,解出即可求得数列 {an } 的通项公式。
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可得 {an } 的前 n 项和为 Sn ? n(1 ? n) ,再由 a1 , ak , Sk ? 2 成等比数 列,得 a
2 k

? a1Sk ? 2 a 即可求得正整数 k 的值。

例 24. (2012 年陕西省文 12 分)已知等比数列 ? an ? 的公比为 q ? ? (I)若 a3 ?

1 . 2

1 ,求数列 ? an ? 的前 n 项和; 4

(Ⅱ)证明:对任意 k ? N ? , ak , ak +2 , ak +1 成等差数列 【答案】解: (1)由通项公式可得 a3 ? a1 (? ) ?
2

1 2

1 ,得 a1 ? 1 。 4

∴ 由 等 比 数 列 求 和 公 式 得 数 列

? an ?

的 前 n 项 和 为

11

1 ? ? 1? ?1 ? (? ) n ? 2 ? (? 1 ) n ?1 2 ? 2 。 Sn ? ? ? 1 3 1 ? (? ) 2
(Ⅱ)证明:∵ k ? N ? , ∴ 2ak ? 2 ? (ak ? ak ?1 ) ? 2a1q
k ?1

? (a1q k ?1 ? a1q k )

1 1 ? a1q k ?1 (2q 2 ? q ? 1) ? a1q k ?1 (2(? )2 ? (? ) ? 1) ? 0 , 2 2
即 2ak ? 2 =ak ? ak ?1 。 ∴对任意 k ? N ? , ak , ak +2 , ak +1 成等差数列

【考点】等比数列的概念、通项公式、求和公式及其性质,等差数列的确定。 【解析】 (I)由 a3 ? 求得结果。 ( Ⅱ ) 对 任 意 k ? N ? , 化 简 2ak ? 2 ? (ak ? ak ?1 ) 可 得 2ak ? 2 ? (ak ? ak ?1 ) =0 , 故

1 1 ,以及 q ? ? 可得 a1 ? 1 ,代入等比数列的前 n 项和公式,运算 4 2

ak , ak + 2, ak + 1 成等差数列。
例 25.(2012 年陕西省理 12 分)设 ? an ? 的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 S n ,且

a5 , a3 , a4 成等差数列.
(1 )求数列 ? an ? 的公比; (2)证明:对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列.

【答案】解: (1)设数列 ? an ? 的公比为 q ( q ? 0, q ? 1 ) , 由 a5 , a3 , a4 成等差数列,得 2a3 ? a5 ? a4 ,即 2a1q ? a1q ? a1q 。
2 4 3

由 a1 ? 0, q ? 0 得 q ? q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? ?2,
2

q2 ? 1 。

∵ ? an ? 的公比不为 1,∴ q2 ? 1 舍去。 ∴ q ? ?2 。

12

(2)证明:∵对任意 k ? N ? , 2 S k ?

2a1 (1 ? q k ) , 1? q

Sk ? 2 ? Sk ?1 ?

a1 (1 ? q k ? 2 ) a1 (1 ? q k ?1 ) a1 (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) , ? ? 1? q 1? q 1? q

2a1 (1 ? q k ) a1 (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) ∴ 2 S k ? ( S k ? 2 ? S k ?1 ) ? ? 1? q 1? q

?
a1q k 2 (q ? q ? 2) ? 0 1? q

a1 [2(1 ? q k ) ? (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) 1? q

?

∴对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列。

【考点】等差等比数列的概念、通项公式、求和公式及其性质。 【解析】 (1)设数列 ? an ? 的公比为 q ( q ? 0, q ? 1 ) ,利用 a5 , a3 , a4 成等差数列结合通项 公式,可得 2a1q ? a1q ? a1q ,由此即可求得数列 ? an ? 的公比。
2 4 3

(2)对任意 k ? N ? ,可证得 2Sk ? ( Sk ? 2 ? Sk ?1 ) ? 0 ,从而得证。 另解:对任意 k ? N ? ,

Sk ? 2 ? Sk ?1 ? 2Sk ? ( Sk ? 2 ? Sk ) ? ( Sk ?1 ? Sk ) ? 2ak ?1 ? ak ?1 ? (?2) ? 0
所以,对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

? ak ?1 ? ak ? 2 ? ak ?1

Sk , Sk ?1 成等差数列。

例 26.(2012 年江苏省 16 分)已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足:

a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

, n ? N *,

( 1)设 bn ?1

?? b ? b ? ? 1 ? n , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? an ?? an ? ?

2

? ? ? 是等差数列; ? ?

(2)设 bn ?1 ?

2?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

13

【答案】解: (1)∵ bn ?1 ? 1 ?

bn an ? bn = ,∴ an ?1 ? an an 2 ? bn 2

bn ?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2




2

?b ? bn ?1 ? 1? ? n ? an?1 ? an ?

2





2 ? 2 ? ? bn ?1 ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ? N *? ? ? an ?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? an ? ? ? 2 2



?? b ? 2 ? ? ? ∴数列 ?? n ? ? 是以 1 为公差的等差数列。 ?? an ? ? ? ?
(2)∵ an > 0,bn > 0 ,∴ ∴ 1 < an ?1 ?

? an ? bn ?
2

2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ? 。
2

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2。 (﹡)

设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 an > 0 知 q > 0 ,下面用反证法证明 q=1 若 q > 1, 则 a1 = (﹡)矛盾。 若 0 < q < 1, 则 a1 = 矛盾。 ∴综上所述, q=1 。∴ an ? a1 ? n ? N *? ,∴ 1 < a1 ? 2 。 又∵ bn ?1 ? 2 ?

a2 2 时, an?1 ? a1q n > 2 ,与 < a2 ? 2 ,∴当 n > log q a1 q

a2 1 a ∴当 n > log q 时, n?1 ? a1q n < 1 ,(﹡) 与 > a2 > 1 , q a1

bn 2 2 = ? bn ? n ? N *? , {bn } 是公比是 ∴ 的等比数列。 an a1 a1 2 > 1 ,于是 b1 < b2 < b3 。 a1
即 a1 ?

若 a1 ? 2 ,则

又由 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

a1 ? bn a12 ? bn 2

,得 bn =

a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1



∴ b1,b2,b3 中至少有两项相同,与 b1 < b2 < b3 矛盾。∴ a1 = 2 。

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2?
∴ bn =

? 2? ? 2?
2

2?
2

? 2?

2

?1

= 2。

∴ a1 =b2 = 2 。 【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法。 【解析】 (1)根据题设 a n ?1 ?
2 2

a n ? bn a n ? bn
2 2

和 bn ?1 ? 1 ?

bn ?b ? b ,求出 n ?1 ? 1 ? ? n ? ,从而 an?1 an ? an ?

2

?b ? ?b ? 证明 ? n ?1 ? ? ? n ? ? 1 而得证。 ? an ?1 ? ? an ?
(2)根据基本不等式得到 1 < an ?1 ? 的公比 q=1 。 从而得到 an ? a1 ? n ? N *? 的结论,再由 bn ?1 ? 2 ?

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 ,用反证法证明等比数列 {an }

bn 2 2 的等比 = ? bn 知 {bn } 是公比是 an a1 a1

数列。最后用反证法求出 a1 =b2 = 2 。

例 27.(2012 年上海市理 4 分)有一列正方体,棱长组成以 1 为首项, 列,体积分别记为 V1 ,V2 ,?,Vn ,? ,则 lim (V1 ? V2 ? ? ? Vn ) ?
n ??

1 为公比的等比数 2
.



【答案】

8 。 7

【考点】无穷递缩等比数列的极限,等比数列的通项公式。 【解析】由正方体的棱长组成以 1 为首项, 一个以 1 为首项,

1 为公比的等比数列,可知它们的体积则组成了 2
1

1 8 V 为公比的等比数列,因此, lim (V1 ? V2 ? ? ? Vn ) ? 1 ? 。 n ?? 7 1? 8 8

15


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