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2016-2017学年高中数学人教A版选修4-5学业分层测评3 三个正数的算术几何平均不等式


学业分层测评(三) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.已知正数 x,y,z, 且 x+y+z=6,则 lg x+lg y+lg z 的取值范围是( A.(-∞,lg 6] C.[lg 6,+∞) 【解析】 ∴xyz≤8. ∴lg x+lg y+lg z =lg(xyz)≤lg 8=3lg 2. 【答案】 B 3 xx 4 1 4 x x 4 x· = 2 , x + 2= + + 2≥3 x x 2 2 x 2· 2· x2 ) B.(-∞,3lg 2] D.[3lg 2,+∞) ) 3 ∵6=x+y+z≥3 xyz, 1 2.已知 x∈R+,有不等式:x+ x≥2 a =3,?.启发我们可能推广结论为:x+xn≥n+1(n∈N+),则 a 的值为( A.nn 【解析】 nn=a,故选 A. 【答案】 A ) B.2n a x+ xn= C.n2 D.2n+1 a +xn ,要使和式的积为定值,则必须 3.设 0<x<1,则 x(1-x)2 的最大值为( 1 A.8 B.1 18 C. 3 3 4 D.27 【解析】 ∵0<x<1, ∴0<1-x<1, 1 ∴x(1-x)2=2· 2x· (1-x)· (1-x) 1?2x+?1-x?+?1-x??3 4 ?= . ≤2? 3 ? ? 27 1 当且仅当 x=3时,等号成立. 【答案】 D a2+b2+c2 ,则( 3 ) a+b+c 3 4.已知 a,b,c∈R+,x= 3 ,y= abc,z= 【导学号:32750016】 A.x≤y≤z C.y≤z≤x B.y≤x≤z D.z≤y≤x 2 2 2 a+b+c 3 2 a +b +c 【解析】 由 a, b, c 大于 0, 易知 3 ≥ abc, 即 x≥y.又 z = , 3 ?a+b+c?2 x2= , 9 a2+b2+c2+2?ab+bc+ca? 3?a2+b2+c2? a2+b2+c2 且x = ≤ = , 9 9 3 2 ∴x2≤z2,则 x≤z, 因此 z≥x≥y. 【答案】 B ) 5.设 x,y,z>0,且 x+3y+4z=6,则 x2y3z 的最大值为( A.2 C.8 【解析】 B.7 D.1 x x 6 ∵6=x+3y+4z=2+2+y+y+y+4z≥6 x2y3z, x ∴x2y3z≤1,当2=y=4z 时,取“=”, 1 即 x=2,y=1,z=4时,x2y3z 取得最大值 1. 【答案】 二、填空题 a+b 6.若记号“*”表示求两个实数 a 与 b 的算术平均的运算,即 a*b= 2 , 则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意 3 个实数 a,b,c 都能成立的一个 D 等式可以是________. 【解析】 b+c 2a+b+c 由题意知 a+(b*c)=a+ 2 = , 2 ?a+b?+?a+c? 2a+b+c = , 2 2 (a+b)*(a+c)= 所以 a+(b*c)=(a+b)*(a+c). 【答案】 a+(b*c)=(a+b)*(a+c) 1 的最小值为________. ?a-2??b-3? 7.若 a>2,b>3,则 a+b+ 【解析】 则 a+b+ 3 ∵a>2,b>3,∴a-2>0,b-3>0, 1 1 =(a-2)+(b-3)+ +5 ?a-2??b-3? ?a-2??b-3? 1 +5=8. ?a-2??b-3? ≥3 ?a-2?×?b-3?× 当且仅当 a-2=b-3= 【答案】 8 1 ,即 a=3,b=4 时等号成立. ?a-2??b-3? 8. 已知 a>0, b>0, c>0, 且 a+b+c=1, 对于下列不等式: ①abc≤ 1 ≥27;③a2+b2+c2≥3. 其中正确的不等式序号是________. 【解析】 ∵a,b,c∈(0,+∞), 1 1 ; ② 27 abc 3 ∴1=a+b+c≥3 abc, 1 1 ?1? 0<abc≤?3? =27,abc≥27, ? ? 从而①正确,②也正确.又 a+b+c=1, ∴a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=1, 1 因此 1≤3(a2+b2+c2),即 a2+b2+c2≥3,③正确. 【答案】 三、解答题 ①②③ 3 1 1 1 2 9.已知 a,b,c 均为正数,证明:a2+b2+c2+(a+b+c) ≥6 3,并确 定 a,b,c 为何值时,等号成立. 【证明】 c ≥3(abc) , 1 1 1 3 + + ≥ 3( abc ) . a b c ?1 1 1?2 所以?a+b+ c? ≥9(abc) 3. ? ? 2 1 2 2 3 因为 a,b,c 均为正数,由算术几何平均不等式,得 a2+b2+ ① ② ?1 1 1?2 故 a2+b2+c2+?a+b+c? ? ? ≥3(abc) +9(abc) . 又 3(abc) +9(abc) ≥2 27=6 3, ③ 所以原不等式成立. 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立. 2 2 3 2 3 2 3 2 3 当且仅当 3(abc)3=9(abc) 3时,③式等号成立. 4 即当且仅当 a=b=c= 3时,原式等号成立. 10.已知 x,y,z∈R+,x+y+z=3. 1 1 1 (1)求 x+ y+ z 的最小值; (2)证明:3≤x2+y2+z2<9. 【解】 1 1 1 3 3 (1)因为 x+y+z≥3 xyz>0, x+ y+ z ≥ >0, 3 xyz 2 - 1 1 1 ?1 1 1? 所以(x+y+z)?x+y + z ?≥9,即x+y+ z ≥3, ? ? 1 1 1 当且仅当 x=y=z=1 时,x= y= z 取最小值 3. (2)证明:x2+y2+z2= x2+y2+z2+?x2+y2?+?y2+z2?+?z2+x2? 3 x2+y2+z2+2?xy+yz+zx? ≥ 3 = ?x+y+z?

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