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1.2.2函数的表示法第一课时


1.2.2

函数的表示法

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1.掌握函数的三种表示方法:列表法、图象 法、解析法,体会三种表示方法的特点. 2.掌握函数图象的画法及解析式的求法.

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自学导引

表示函数的方法常用的有: (1)解析法——用 数学表达式 表示两 个变量之间的对应关系; (2)图象法——用 图象 表示两个变 量之间的对应关系; (3)列表法——列出 表格 来表示两 个变量之间的对应关系.

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自主探究

任何一个函数都可以用解析法表示 吗? 答:不一定.如某一地区绿化面积 与年份关系等受偶然因素影响较大的函 数关系等无法用解析式表示.

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预习测评 1.已知函数f(x)由下表给出,则f(3)的值 为( )
x 1 2 3 4

f(x)
A.-1

-3

-2

-4
C.-3

-1
D.-4

B.-2

解析:由表可知f(3)=-4,故选D.

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2.下列各图中,不能是函数f(x)图象 的是( )

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解析:结合函数的定义知,对A、B、D,定义 域中每一个x都有唯一函数值与之对应,而对C,对 大于0的x而言,有两个不同值与之对应,不符合函 数定义,故选C. 答案:C

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3.若 f

?1? 1 ? ?= ,则 ?x? 1+x

f(x)=________.

1 1 解析:令 =t,则 x= ,且 t≠0, x t 1 t ∴f(t)= = (t+1≠0), 1 t+1 1+ t x ∴f(x)= (x≠0 且 x≠-1). x+1

x 答案: (x≠0 且 x≠-1) x+1

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4.如图,函数 f(x)的图象是曲 线 OAB,其中点 O,A,B 的坐标 ? 1 ? 分别为(0,0),(1,2),(3,1),则 f? ? ?f?3? ? 的值等于________.
? 1 ? 解析:由题意,f(3)=1,∴f? ? ?f?3? ?

=f(1)=2.

答案:2

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要点阐释
函数的三种表示方法的优缺点比较
优 点 缺 点

一是简明、全面地 概括了变量间的关 系;二是通过解析 解析法 式可以求出任意一 个自变量所对应的 函数值

不够形象、直观、 具体,而且并不是 所有的函数都能用 解析式表示出来

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不需要计算就可以 直接看出与自变量 列表法 的值相对应的函数 值 能形象直观地表示 出函数的变化情况

它只能表示自变量 取较少的有限值的 对应关系
只能近似地求出自 变量的值所对应的 函数值,而且有时 误差较大

图象法

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典例剖析
题型一 函数的表示法

【例 1】 已知完成某项任务的时间 t 与参加完成 b 此项任务的人数 x 之间适合关系式 t=ax+ ,当 x= x 2 时,t=100;当 x=14 时,t=28,且参加此项任务 的人数不能超过 20 人.

(1)写出函数t的解析式; (2)用列表法表示此函数; (3)画出函数t的图象.

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(1)写出函数t的解析式; (2)用列表法表示此函数; (3)画出函数t的图象.
解:(1)由题设条件知:当x=2时,t=100,
b ? ?2a+2=100, 当 x=14 时,t=28 得方程组? ?14a+ b =28. ? 14
?a=1, ? 解此方程组得? ?b=196. ?

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196 所以 t=x+ ,又因为 x≤20,x 为正整数, x

所以函数的定义域是{x|0<x≤20,x∈N*}. (2)x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16, 17,18,19,20,共取20个值,列表如下:
x
t 11

1

2

3

4

5
44.2 16

6
38.7 17

7
35 18

8
32.5 19

9
30.8 20

10
29.6

197 100 68.3 53 12 13 14 15

28.8 28.3 28.1 28 28.1 28.25 28.5

28.9

29.3

29.8

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注:表中的部分数据是近似值. (3)函数t的图象是由20个点组成的一个点列.如 图所示.

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点评:在实际研究一个函数时,通常

是将上述三种表示法结合起来使用,即 解析式→列表→描点,画出图象,然后 再总结出函数的性质.三种方法相互兼 容和补充,各有优缺点,在实际操作 中,仍以解析法为主.

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题型二 作函数的图象
例2、画出函数y=|x|的图象.
解:由绝对值的概念,我们有

y=
图象如下:

x, x≥0, -x, x<0.

y

5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1

2

3

x

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点评:一般地,作函数图象主要 有三步:列表、描点、连线. 作图象时一般应先确定函数的定义 域,再在定义域内化简函数解析式(可 能有的要表示为分段函数),再列表描 出图象,并在画图象的同时注意一些关 键点,如与坐标轴的交点、分段函数的 区间端点等.

1.国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量和对应邮资如下表:

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2.作出下列函数的图象: 1 (1)y= ,x>1; x 2 (2)y=x -4x+3,x∈[1,3].

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解:(1)当x=1时,y=1,所画函数图象如图1

(2)y=x2-4x+3=(x-2)2-1, 且x=1,3时,y=0;当x=2时,y= -1.所画函数图象如图2.

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题型三

求函数解析式

【例3】 求下列函数的解析式: (1)已知f(x)为一次函数,且f[f(x)]= 4x-1,求f(x);

(2)已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x).

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解:(1)(待定系数法)因为f(x)是一次函数.

设f(x)=kx+b(k≠0).
则 f[f(x)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b= ?k=2 ?k2=4 ?k=-2 ? ? ? 4x-1,∴? ,∴? , 1 或? ?kb+b=-1 ?b=1 ? ? ?b=-3 ? 1 ∴f(x)=2x- 或 f(x)=-2x+1. 3 (2)解法一:(换元法)令 x+1=t(t≥1), 则 x=(t-1)2,∴f(t)=(t-1)2+2 ?t-1?2 =t2 -1, ∴f(x)=x2-1(x≥1).

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解法二:(配凑法)

x+2 x=( x+1) -1( x+1≥1). 2 ∴f( x+1)=( x+1) -1( x+1≥1), 即 f(x)=x2-1(x≥1).
点评:求函数解析式的常用方法是待

2

定系数法和换元法.当已知函数的类型 时,可设出其函数解析式,利用待定系 数法求解,这里包含着方程思想的应 用.

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当不知函数类型时,一般可采用换元 法,所谓换元法即将接受对象“+1”换作另 一个字母“t”,然后从中解出x与t的关系,代 入原式中便可求出关于“t”的函数关系,此即 为所求函数解析式,但要注意自变量取值范 围的变化情况. 另外,求函数解析式的方法还有配凑 法、解方程组法等.

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3.已知f(x)是二次函数,且满足 f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求 f(x)的解析式.

1.国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量和对应邮资如下表:

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3.已知f(x)是二次函数,且满足f(0)= 1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式. 解:设所求的二次函数为f(x)=ax2+ bx+c(a≠0). ∵f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax2+bx +1. 又∵f(x+1)-f(x)=2x,对任意x∈R 成立, ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+ 1)=2x.

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即 2ax + a + b = 2x , 由 恒 等 式 性 质 , 得 ?2a=2 ?a=1 ? ? ? ,∴? . ?a+b=0 ?b=-1 ? ? ∴所求二次函数为 f(x)=x2-x+1.

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误区解密 因忽略函数的定义域而出错

【例4】 已知f(x2+2)=x4+4x2,求 f(x)的解析式.
错解:∵f(x2+2)=x4+4x2=(x2+2)2-4, 设t=x2+2,则f(t)=t2-4,∴f(x)=x2-4. 错因分析:本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定 义域.上面的解法,似乎是无懈可击,然而从其结 论,即f(x)=x2-4来看,并未注明f(x)的定义域,那么 按一般理解,就应认为其定义域是全体实数.但是f(x) =x2-4的定义域不是全体实数.

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正解:∵f(x2+2)=x4+4x2=(x2+ 2)2-4, 令t=x2+2(t≥2),则f(t)=t2- 4(t≥2), ∴f(x)=x2-4(x≥2). 纠错心得:采用换元法求函数的解 析式时,一定要注意换元后的自变量的 取值范围.如本题中令t=x2+2后,则 t≥2.

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课堂总结
1.函数的三种表示方法:解析法、列表法、图 象法. 2.画函数图象的方法:(1)列表、描点、连 线;(2)图象变换. 3.求函数解析式的方法有:换元法、配凑法、 待定系数法等.


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