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三角函数与解三角形


任意角的三角函数及诱导公式 知识讲解 1.任意角的概念 旋转开始时的射线 OA 叫做角的始边, OB 叫终边,射线的端点 O 叫做叫 ? 的顶点。 规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。 如果一条射线没有

做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2.终边相同的角、区间角与象限角 3.弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角, 记作 1 rad , 或 1 弧度, 或 1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分. 角 ? 的弧度数的绝对值是: ? ? 所对的弧长, r 是半径。 角度制与弧度制的换算主要抓住 180 ? ? rad 。
?

l ,其中,l 是圆心角 r

a的终边
P(x,y )) O

y

弧度与角度互换公式: 1rad= 180 °
?

1°= ? (rad) 。
180

弧长公式: l ?| ? | r ( ? 是圆心角的弧度数) , 扇形面积公式: S ? 4.三角函数定义

x

1 1 l r ? |? | r2。 2 2

利用单位圆定义任意角的三角函数,设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P ( x, y ) ,那么: (1) y 叫做 ? 的正弦,记做 sin ? ,即 sin ? ? y ; (2) x 叫做 ? 的余弦,记做 cos ? ,即 cos? ? x ; (3) 叫做 ? 的正切,记做 tan ? ,即 tan ? ? 5.三角函数线 6.同角三角函数关系式 (1)平方关系: sin
2

y x

y ( x ? 0) 。 x

? ? cos2 ? ? 1,1 ? tan 2 ? ? sec2 ?,1 ? cot 2 ? ? csc2 ?
sin ? cos ? , cot ? ? cos ? sin ?

(2)倒数关系:sin ? csc ? =1,cos ? sec ? =1,tan ? cot ? =1, (3)商数关系: tan ? ?

几个常用关系式:sinα +cosα ,sinα -cosα ,sinα ·cosα ;(三式之间可以互相表示)

7.诱导公式 可用十个字概括为“奇变偶不变,符号看象限” 。
第 1 页 共 24 页

诱导公式一: sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos ? ,其中 k ? Z 诱导公式二: sin(180 ? ? ) ? ? sin ? ; 诱导公式三: sin(?? ) ? ? sin ? ;

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cos(180 ? ? ) ? ? cos?
cos(?? ) ? cos ?
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诱导公式四: sin(180 ? ? ) ? sin ? ; cos(180 ? ? ) ? ? cos? 诱导公式五: sin(360 ? ? ) ? ? sin ? ; cos(360 ? ? ) ? cos ? -? sin cos -sin ? cos ?

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? ??
sin ? -cos ?

? ??
-sin ? -cos ?

2? ? ?
-sin ? cos ?

2k? ? ? ?k ? Z ?
sin ? cos ?

?
2

??

cos ? sin ?

典例解析 题型 1:象限角 例 1.已知角 ? ? 45? ; (1)在区间 [?720?, 0? ] 内找出所有与角 ? 有相同终边的角 ? ; (2)集合

k k ? ? ? ? M ? ?x | x ? ? 180? ? 45?, k ? Z ? , N ? ? x | x ? ? 180? ? 45?, k ? Z ? 那么两集合的关系是什么? 2 4 ? ? ? ?

例 2.若 sinθ cosθ >0,则θ 在( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 例 3.已知“ ? 是第三象限角,则

C.第一、四象限

D.第二、四象限

? 是第几象限角? 3

题型 2:三角函数定义 例 4.已知角 ? 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求 ? 的四个三角函数值。

例 5.已知角 ? 的终边上一点 P(? 3, m) ,且 sin ? ?

2m ,求 cos ? ,sin ? 的值。 4

题型 3:诱导公式
第 2 页 共 24 页

例 6. ? tan x ? cot x ? cos x ? (
2

)

(C) cos x (D) cot x sin x cos x 熟悉三角公式,化切为弦;以及注意 sin 2 x ? cos 2 x ? 1, tan x ? , cot x ? cos x sin x (A) tan x (B) sin x 例 7.化简:(1)

sin(? ? n? ) ? sin(? ? n? ) ? sin(180 ? ? ) ? sin(?? ) ? tan(360 ? ? ) ; (2) (n ? Z ) 。 sin(? ? n? ) cos(? ? n? ) tan(? ? 180 ) ? cos(?? ) ? cos(180 ? ? )

题型 4:同角三角函数的基本关系式 例 8.已知

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? ?2 tan ? ,试确定使等式成立的角 ? 的集合。 1 ? sin ? 1 ? sin ?

例 9. (1)证明:

2?cos ? ? sin ? ? cos ? sin ? ? ? ; 1 ? sin ? ? cos ? 1 ? sin ? 1 ? cos ?

课堂练习:
第 3 页 共 24 页

1、在 ?ABC 中,若 ?B ? 60? , AC ? 3, AB ? 2、cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为

6 ,则 ?A ?
.

. 75

?

1 2


3. 锐角△ ABC 中, A ≥ B ,且 tan A ? 3 tan B ,则 A ? B 的最大值为 4. 设 sin ? ?

7 3 ? 1 ( ? ? ? ? ), tan(? ? ? ) ? , 则 tan(? ? 2? ) 的值等于__ . 24 5 2 2 ? 5. 在△ABC 中,BC=1, ?B ? ,当△ABC 的面积等于 3 时, tan C ? __ ?2 3 . 3 6. 若△ ABC 的三个内角的正弦值分别等于△ A?B?C ? 的三个内角的余弦值,则△ ABC 的三个内角从大到
小依次可以为 (写出满足题设的一组解) .

? 6

?? ? ,另两角不惟一,但其和为 4 4
7. 在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,给出下列结论: ①若 A>B>C,则 sin A ? sin B ? sin C ; ②若 a ? b ? c, 则cos A ? cos B ? cosC ; ③必存在 A、B、C,使 tan A tan B tan C ? tan A ? tan B ? tan C 成立; ④若 a ? 40, b ? 20, B ? 25? ,则△ABC 必有两解. 其中,真命题的编号为 8、 求证: .(写出所有真命题的编号)①④

cos x 1 ? sin x ? 。 1 ? sin x cos x

思维总结 1.学习本节内容时要注意如下几点: (1)熟练地掌握常用的方法与技巧,在使用三角代换求解有关问 题时要注意有关范围的限制; (2) 要注意差异分析, 又要活用公式, 要善于瞄准解题目标进行有效的变形, 其解题一般思维模式为:发现差异,寻找联系,合理转化。 三角函数的值与点 P 在终边上的位置无关,仅与角的大小有关 . 我们只需计算点到原点的距离

r?

x 2 ? y 2 ,那么 sin ? ?

y x ?y
2 2

, cos ? ?

x x ?y
2 2

, tan ? ?

y 。 x

第 4 页 共 24 页

三角恒等变形及应用 知识讲解 1.两角和与差的三角函数

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 。 1 tan ? tan ?

2.二倍角公式

sin 2? ? 2 sin ? cos ? ;

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ;
tan 2? ? 2 tan ? 。 1 ? tan 2 ?

3.三角函数式的化简 常用方法:①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦,异名化同名,异角化同角;③ 三角公式 的逆用等。 (2)化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量 使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数。 (1)降幂公式

sin ? cos ? ?

1 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 sin 2? ; sin 2 ? ? ; cos ? ? 。 2 2 2

(2)辅助角公式(万能公式)

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 ? sin ? x ? ? ? ,

其中sin ? ?

b a 2 ? b2

, cos ? ?

a a 2 ? b2



4.三角函数的求值类型有三类 (1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换消 去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题; (2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变 角” ,如 ? ? ( ? ? ? ) ? ? , 2? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) 等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意 角的范围的讨论; (3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函 数的单调性求得角。 5.三角等式的证明 (1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右同一 等方法,使等式两端化“异”为“同” ; (2)三角条件等式的证题思路是通过观察,发现已知条件和待证等式间的关系,采用代入法、消参 法或分析法进行证明。 典例解析 题型 1:两角和与差的三角函数
第 5 页 共 24 页

例 1.已知 sin ? ? sin ? ? 1 , cos? ? cos ? ? 0 ,求 cos (? ? ?)的值。

例 2.已知 tan ?, tan ? 是方程x2 ? 5x ? 6 ? 0的两个实根根, 求 2sin2 ?? ? ? ? ? 3sin ?? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos2 ?? ? ? ?的值 。

题型 2:二倍角公式 例 3.化简下列各式: (1)

? 1 1 1 1 ? 3? ?? ? ? cos 2? ? ? ?? , 2? ? ? (2) ? ?, 2 2 2 2 ? 2 ?? ?

cos2 ? ? sin 2 ? 。 ?? ? ? 2?? 2 cot? ? ? ? cos ? ? ? ? ?4 ? ?4 ?

注: (1)在二倍角公式中,两个角的倍数关系,不仅限于 2 ? 是 ? 的二倍,要熟悉多种形式的两个角的倍 数 关 系 , 同 时 还 要 注 意 2?, ? ?, ? ?

?

?

4

4

三 个 角 的 内 在 联 系 的 作 用 ,

?? ? ?? ? ?? ? (2)化简题一定要找准解题的突 c o2? s ? s i? n ? 2? ? ? 2 s i? n ? ? ? c o ? s ? ? ? 是常用的三角变换。 ?2 ? ?4 ? ?4 ?
破口或切入点,其中的降次,消元,切割化弦,异名化同名,异角化同角是常用的化简技巧。 (3)公式变 形 cos ? ?

sin 2? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 , cos 2 ? ? , sin ? ? 。 2 sin ? 2 2

7 sin 2 x ? 2 cos2 x ?? ? 3 17 例 4.若 cos? ? x ? ? , ? ? x ? ? , 求 的值 。 4 1 ? tan x ?4 ? 5 12

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题型 3:辅助角公式

a sin
例 5.已知正实数 a,b 满足

5 ? tan 8? ,求 b 的值 。 ? ? 15 a a cos ? b sin 5 5 5

?

? b cos

?

例 6.若函数 y ? cos(? x ?

?
6

)(? ? 0) 最小正周期为

? ,则 ? ? 5



.

题型 4:三角函数式化简 2 2 例 7.求 sin 20°+cos 50°+sin20°cos50°的值。

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 . 例 8.已知函数 f ( x) ? cos x
(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)设 ? 的第四象限的角,且 tan ? ? ?

?

4 ,求 f (? ) 的值。 3

题型 5:三角函数求值 例 9. 设函数 f(x)= 3 cos cos+sin ? rcos ? x+a(其中 ? >0,a ? R),且 f(x)的图象在 y 轴右侧的第一
2

个高点的横坐标为

x 。 6

(Ⅰ)求ω 的值; (Ⅱ)如果 f(x)在区间 ??

? ? 5? ? , 上的最小值为 3 ,求 a 的值。 ? 3 6 ? ?

第 7 页 共 24 页

例 10.求函数 y =2 cos( x ?

?
4

) cos( x ?

?
4

) + 3 sin 2x 的值域和最小正周期。

题型 6:三角函数综合问题 例 11.已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ? (I)若 a ? b, 求 ? ;

?
2

?? ?

?
2

.

(II)求 a ? b 的最大值。

题型 7:三角函数的应用 例 13.有一块扇形铁板,半径为 R,圆心角为 60°,从这个扇形中切割下一个内接矩形,即矩形的 各个顶点都在扇形的半径或弧上,求这个内接矩形的最大面积. 分析:本题入手要解决好两个问题, (1)内接矩形的放置有两种情况,如图 2-19 所示,应该分别予以处理; (2)求最大值问题这里应构造函数,怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量。

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巩固练习 2 1 已知方程 x +4ax+3a+1=0(a>1)的两根均 tanα 、tanβ ,且α ,β ∈
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(-

? ?

, ),则 tan 2 2 1 A 2
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???
2
B
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的值是( -2

) C
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4 3

D

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1 或-2 2
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2 3

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3 1 ? ,α ∈( ,π ),tan(π -β )= ,则 tan(α -2β )=______ 5 2 2 3 3? 5 ? 3? ? ? 设α ∈( , ), β ∈(0, ), cos(α - )= , sin( +β )= , 则 sin(α +β )=_________ 5 4 13 4 4 4 4
已知 sinα =
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4

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不查表求值:

2 sin130? ? sin100?(1 ? 3 tan 370?) 1 ? cos 10?

.

5

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已知 cos(

sin 2 x ? 2 sin 2 x 3 7? ? 17? +x)= ,( <x< ),求 的值 1 ? tan x 5 4 4 12

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6

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已知α -β =

8 π, 且α ≠kπ (k∈Z) 3

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1 ? cos(? ? ? ) csc

?

2

? sin

?

? 4 sin2 (

?
4

?

?
4

) 的最大值及最大值时的条

2



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7 如右图,扇形 OAB 的半径为 1,中心角 60°,四边形 PQRS 是扇形的内接矩形,当其面积最大时, 求点 P 的位置,并求此最大面积
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B Q P

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O

R

S

A

8

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已知 cosα +sinβ = 3 ,sinα +cosβ 的取值范围是 D,x∈D,求函数 y= log 1
2
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2x ? 3 的最小值, 4 x ? 10

并求取得最小值时 x 的值

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思维总结 从近年高考的考查方向来看,这部分常常以选择题和填空题的形式出现,有时也以大题的形式出现, 分值约占 5% 因此能否掌握好本重点内容,在一定的程度上制约着在高考中成功与否。 1.两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式 在学习时应注意以下 几点: (1)不仅对公式的正用逆用要熟悉,而且对公式的变形应用也要熟悉; (2)善于拆角、拼角
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如 ? ? ?? ? ? ? ? ? , 2? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? , 2? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 等; (3)对公式的逆用公式,变形式也要熟悉,如

cos?? ? ? ? cos ? ? sin ?? ? ? ?sin ? ? cos?, tan?? ? ? ??1 ? tan? tan ? ? ? tan? ? tan ?,

tan?? ? ? ? tan? tan ? ? tan?? ? ? ? ? tan? ? tan ?, tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ? tan? tan ? ? tan?? ? ? ?。

(4)注意倍角的相对性 (5)要时时注意角的范围 (6)化简要求 熟悉常用的方法与技巧,如切化弦,异名化同名,异角化同角等。 2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。 (2)证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余 弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。
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三角函数的图象与性质 知识讲解 性 函 质 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

值域

??1,1?
当 x ? 2k? ?

??1,1?
? k ???
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

R

?
2

时, ymax ? 1 ; 最值 当 x ? 2k? ?

ymax ? 1 ;
当 x ? 2 k? ? ? 既无最大值也无最小值

?
2

k ??? 时, ymin ? ?1. ? k ??? 时, ymin ? ?1. ?
周期性 奇偶性

2?
奇函数 在 ? 2k? ?

2?
偶函数

?
奇函数

? ?

?
2

, 2k? ?

??
2? ?
在 ?2k? ? ? , 2k? ? ? k ??? 上 是 增 函 数 ; 在 在 ? k? ?

? k ??? 上是增函数;在
单调性

? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?

?2k? ,2k? ? ? ?
? k ??? 上是减函数.
对称中心

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? k ??? 上是增函数.

? k ??? 上是减函数.
对称中心 ? k? ,0?? k ??? 对称性 对称轴

对称中心

x ? k? ?

?
2

?k ? ??

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ω x+ ? )的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进
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行图象变换。 利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现 无论哪种变形,请切记 每一个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0=平移| ? |个单位,再将图象上各点的横坐标变为
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原来的

1

?

倍(ω >0),便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 =平移

1

|? |

?

倍(ω >0),再沿 x 轴向左( ? >0)或向右( ? <0

由 y=Asin(ω x+ ? )的图象求其函数式: 给出图象确定解析式 y=Asin(ω x+ ? )的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(-

?

个单位,便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。

? ,0)作为突破 ?

口,要从图象的升降情况找准 第一个零点的位置。 .. 求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意 A、 ? 的正负 利 用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间; 求三角函数的周期的常用方法:
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经过恒等变形化成“ y ? A sin(? x ? ? ) 、 y ? A cos(? x ? ? ) ”的形式,在利用周期公式,另外还有 图像法和定义法。 9.五点法作 y=Asin(ω x+ ? )的简图: 五点取法是设 x=ω x+ ? ,由 x 取 0、

π 3π 、π 、 、2π 来求相应的 x 值及对应的 y 值,再描点作图。 2 2

典例解析 题型 1:三角函数的图象 例 1.函数 y=-xcosx 的部分图象是(



例 2.函数 y=x+sin|x|,x∈[-π ,π ]的大致图象是(



题型 2:三角函数图象的变换

1 π 例 3.试述如何由 y= sin(2x+ )的图象得到 y=sinx 的图象。 3 3

第 12 页 共 24 页

例 4.把曲线 ycosx+2y-1=0 先沿 x 轴向右平移 方程是( ) A. (1-y)sinx+2y-3=0 C. (y+1)sinx+2y+1=0 题型 3:三角函数图象的应用

? 2

个单位,再沿 y 轴向下平移 1 个单位,得到的曲线

B. (y-1)sinx+2y-3=0 D.-(y+1)sinx+2y+1=0
I
300

例 5.已知电流 I 与时间 t 的关系式为 I ? A sin(?t ? ? ) 。 (1)右图是 I ? A sin(?t ? ? ) (ω >0, | ? |?

? ) 2

-

1 900

o

1 180

t

在一个周期内的图象,根据图中数据求 I ? A sin(?t ? ? )
-300

的解析式; (2)如果 t 在任意一段 的最小正整数值是多少?

1 秒的时间内,电流 I ? A sin(?t ? ? ) 都能取得最大值和最小值,那么ω 150

例 6. (1)已知函数 f(x)=Asin(ω x+ ? ) (A>0,ω >0,x∈R)在一个周期内的图象如图所示,求直线

y= 3 与函数 f(x)图象的所有交点的坐标。



(2)在(0,2π )内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围为(



A. (

? ? , 4 2

)∪(π ,

5? ) 4

B. (

? 4
? 4

,π )

C. (

? 5? , 4 4



D. (

,π )∪(

5? 3? , ) 4 2

题型 4:三角函数的定义域、值域 例 7. (1)已知 f(x)的定义域为[0,1] ,求 f(cosx)的定义域;

第 13 页 共 24 页

6 cos 4 x ? 5 cos 2 x ? 1 例 8.已知函数 f(x)= ,求 f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域。 cos 2 x

题型 5:三角函数的单调性 例 9.求下列函数的单调区间: (1)y=

1 π 2x π sin( - ) ; (2)y=-|sin(x+ )|。 2 4 4 3

例 10.函数 y=2

sinx

的单调增区间是( ,2kπ +



A. [2kπ -

? 2 ? 2

? 2

] (k∈Z)

B. [2kπ +

,2kπ +

3? ] (k∈Z) 2

C. [2kπ -π ,2kπ ] (k∈Z) D. [2kπ ,2kπ +π ] (k∈Z)
题型 6:三角函数的奇偶性 例 11.判断下面函数的奇偶性:f(x)=lg(sinx+ 1 ? sin2 x ) 。

例 12.关于 x 的函数 f(x)=sin(x+ ? )有以下命题: ①对任意的 ? ,f(x)都是非奇非偶函数; ②不存在 ? ,使 f(x)既是奇函数,又是偶函数; ③存在 ? ,使 f(x)是奇函数; ④对任意的 ? ,f(x)都不是偶函数。 其中一个假命题的序号是_____.因为当 ? =_____时,该命题的结论不成立。 题型 7:三角函数的周期性 6 6 例 13.求函数 y=sin x+cos x 的最小正周期,并求 x 为何值时,y 有最大值。

第 14 页 共 24 页

例 14.设 f ( x) ? a sin ?x ? b cos?x(? ? 0) 的周期 T ? ? ,最大值 f ( (1)求 ? 、 a 、 b 的值;

?
12

) ? 4,

(2) 若?、、?为方程f ( x) ? 0的两根, ?、、?终边不共线,求tan( ? ? ? )的值 。

题型 8:三角函数的最值 例 15.设 M 和 m 分别表示函数 y=

1 cosx-1 的最大值和最小值,则 M+m 等于( 3
C.-



A.

2 3

B.-

2 3

4 3


D.-2

例 16.函数 y=

1 的最大值是( 2 ? sin x ? cos x
B.

A.
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2 -1 2
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2 +1 2
)
y

C.1-

2 2

D.-1-

2 2

课堂练习 1 函数 y=-x·cosx 的部分图象是(
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y o x

y o x

y
o x

o

x

A
2 A C 3 4 5 0
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B
? +x)是( 2
B
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C
)

D

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函数 f(x)=cos2x+sin( 非奇非偶函数 仅有最大值的偶函数 函数 f(x)=(

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仅有最小值的奇函数 D 既有最大值又有最小值的偶函数
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1 |cosx| ) 在[-π ,π ]上的单调减区间为_________ 3

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设ω >0,若函数 f(x)=2sinω x 在[-

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]上单调递增,则ω 的取值范围是_________ , , 3 4 2 设二次函数 f(x)=x +bx+c(b,c∈R),已知不论α 、β 为何实数恒有 f(sinα )≥0 和 f(2+cosβ )≤
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? ?

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(1)求证 b+c=-1; (2)求证 c≥3; (3)若函数 f(sinα )的最大值为 8,求 b,c 的值 6 用一块长为 a,宽为 b(a>b)的矩形木板,在二面角为α 的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓,试 问应怎样围才能使谷仓的容积最大?并求出谷仓容积的最大值
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7 有一块半径为 R,中心角为 45°的扇形铁皮材料,为了获取面积最大的矩形铁皮,工人师傅常让 矩形的一边在扇形的半径上,然后作其最大内接矩形,试问 工人师傅是怎样选择矩形的四点的?并求 出最大面积值
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设-

? ? ≤x≤ ,求函数 y=log2(1+sinx)+log2(1-sinx)的最大值和最小值 6 4

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是否存在实数 a,使得函数 y=sin x+a·cosx+
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2

5 3 ? a- 在闭区间[0, ]上的最大值是 1?若存 8 2 2

在,求出对应的 a 值;若不存在,试说明理由

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思维总结 1.数形结合是数学中重要的思想方法,在中学阶段,对各类函数的研究都离不开图象,很多函数的 性质都是通过观察图象而得到的。 2.作函数的图象时,首先要确定函数的定义域 。 3.对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根据周期性作 出整个函数的图象。 4.求定义域时,若需先把式子化简,一定要注意变形时 x 的取值范围不能发生变化。 5.求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数,且三角函数的次数为 1 的形 式,否则很容易出现错误。 6.函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的,要比较两三角函数值的大小一般先将 它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小。 7.判断 y=-Asin(ω x+ ? ) (ω >0)的单调区间,只需求 y=Asin(ω x+ ? )的相反区间即可,一般 常用数形结合 而求 y=Asin(-ω x+ ? ) (-ω <0=单调区间时,则需要先将 x 的系数变为正的,再设法
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求之。
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解 三 角 形 知识讲解 (一)正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R (其中 R 表示三角形的外接圆半径) sin A sin B sin C

适用情况: (1)已知两角和一边,求其他边或其他角; (2)已知两边和对角,求其他边或其他角。 变形:① a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C ② sin A ? ③

a b c , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R
④ a : b : c ? sin A : sin B : sin C

a?b?c = 2R sin A ? sin B ? sin C
2

(二)余弦定理: b = a ? c ? 2ac cos B (求边) ,cosB=
2 2

a2 ? c2 ? b2 (求角) 2ac

适用情况: (1)已知三边,求角; (2)已知两边和一角,求其他边或其他角。

1 1 a ? ha ? ? ;② S ? bc sin A ? ? ; 2 2 abc 2 ③ S ? 2R sin A sin B sin C ; ④S ? ; 4R a?b?c ⑤ S ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ;⑥ S ? pr (其中 p ? ,r 为内切圆半径) 2
(三)三角形的面积:① S ? (四)三角形内切圆的半径: r ?

a ? b ? c斜 2S? ,特别地, r直 ? a?b?c 2

(五)△ABC 射影定理: b ? a ? cos C ? c ? cos A ,? (六)三角边角关系: (1)在 ? ABC 中, A ? B ? C ?

? ; sin( A ? B) ? sin C ; cos( A ? B) ? ? cos C
cos
C A? B A? B C ? sin ; sin ? cos 2 2 2 2

(2)边关系:a + b > c,b + c > a,c + a > b,a-b < c,b-c < a,c-a > b; (3)大边对大角: a ? b ? A ? B (七)三角形形状判别 形状 锐角△ 钝角△ 直角△ 等腰△ 等腰 Rt△ 等边△

?cos A ? 0 ? ? (1)角判别: ?cos B ? 0 cos A ? 0 A ? 90 ?cosC ? 0 ?
(2)边判别: 少用 少用

A? B?C

A ? B ? 45?

A? B?C

a 2 ? b2 ? c 2 a ? b ? c

?a 2 ? b2 ? c 2 a?b?c ? a ? b ?

典型例题 (一)考查正弦定理与余弦定理的混合使用 例 1、在△ABC 中,已知A>B>C,且A=2C, b ? 4, a ? c ? 8 ,求 a、c 的长.
第 17 页 共 24 页

例 2、如图所示,在等边三角形中, AB ? a, O 为三角形的中心,过 O 的直线交 AB 于 M ,交 AC 于 N , 求

1 1 ? 的最大值和最小值. 2 OM ON 2

变式 1、在△ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a , b, c ,已知 b 2 ? ac, 且a 2 ? c 2 ? ac ? bc , (1)求∠A的大小; (2)求

b sin B 的值 c

变式 2、在Δ ABC 中,已知 AB ?

4 6 6 ,AC 边上的中线 BD= 5 ,求 sinA 的值 , cos B ? 3 6

变式 3、 在 ?ABC 中,A、 B 为锐角, 角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 且s n i A? , s n i (I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

5 5

B?

1 0 1 0

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。

(二)考查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用 例 3、如图,半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上的一点,OA=2,B 为半圆上任意一点,以 AB 为一边作 等边三角形 ABC。问:点 B 在什么位置时,四边形 OACB 面积最大?

2 2 变式 4、△ABC 中的三 a , b, c 和面积S满足S= c ? (a ? b) ,且 a ? b ? 2 ,求面积S的最大值。

第 18 页 共 24 页

例 4、在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 4 sin 2 (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积.

A? B 7 ? cos 2C ? , a ? b ? 5, c ? 7 . 2 2

变式 5、已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的 面积

例 5、 (2009 浙江) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积; (II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

A 2 5 , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

变式 6、已知向量 m ? (a ? c, b) ,n ? (a ? c, b ? a) ,且 m ? n ? 0 , 其中 A, B, C 是△ABC 的内角,a , b, c 分 别是角 A, B, C 的对边. (1) 求角 C 的大小; (2)求 sin A ? sin B 的取值范围.

(三)考查三角形形状的判断 例 6、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, b=acosC,且△ABC 的最大边长为 12,最小角的正 弦值为

1 。 3

(1) 判断△ABC 的形状; (2)求△ABC 的面积。

第 19 页 共 24 页

变式 7、在△ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C?cos A ? cos B? . (1)判断△ABC 的形状; (2)在上述△ABC 中,若角 C 的对边 c ? 1 ,求该三角形内切圆半径的取值范围。

例 7、在△ABC 中,已知 2a ? b ? c , sin A ? sin B sin C ,试判断△ABC 的形状。
2

a+c 2B 变式 8、在△ABC 中,cos = ,(a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为 2 2c A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 2 2 2 变式9、△ABC中,若sinA=2sinBcosC,sin A=sin B+sin C,试判断△ABC的形状。

课后强化 1.在△ABC 中,已知 a ? xcm, b ? 2cm, B ? 45 ,如果利用正弦定理解三角形有两解,则 x 的取值范围
0

是 (

)

<x< 2 2 A. 2

<x ? 2 2 B. 2

C. x> 2

D. x< 2 )

2.△ABC 中,若 sinA:sinB:sinC=m:(m+1):2m, 则 m 的取值范围是( A. (0,+∞) B. (

1 ,+∞) C. (1,+∞) D. (2,+∞) 2 1 3.在△ABC 中,A 为锐角,lgb+lg( )=lgsinA=-lg 2 , 则△ABC 为( ) c
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 )
0

4.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是( A. b ? 10, A ? 45 , C ? 75
0 0

B. a ? 7, b ? 5, A ? 80

C. a ? 60, b ? 48, C ? 60

0

D. a ? 14, b ? 16, A ? 45
第 20 页 共 24 页

0

5、在△ABC 中,已知 a 4 ? b 4 ? c 4 ? 2c 2 (a 2 ? b 2 ) 则角C=( A. 30
0



B. 60

0

C. 450 或1350

D. 120

0

6、△ ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a , b, c 设向量

p ? (a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) ,若 p / / q ,则角 C 的大小为
(A)

? 6

(B)

? 3

(C)

? 2

(D)

2? 3
) )

8.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为 ( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定
2 2 9.已知△ABC 中, (a 2 ? b 2 ) sin( A ? B) =( a ? b ) sin C 成立的条件是(

A. a ? b C. a ? b 且 ?C ? 900

B. ?C ? 900 D. a ? b 或 ?C ? 900

10、甲船在岛 B 的正南方 A 处,AB=10 千米,甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行,同时乙船自 B 出 发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60°的方向驶去,当甲,乙两船相距最近时,它们所航行的时间是 ( ) A.

150 15 分钟 B. 分钟 7 7

C.21.5 分钟

D.2.15 分钟

11.已知 D、C、B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C、D 两点测得 A 的点仰角分别为α 、β (α >β ) 则 A 点离地面的高 AB 等于( ) A.

a sin ? sin ? sin(? ? ? )

B.

a sin ? sin ? cos(? ? ? )

C.

a cos? cos ? sin(? ? ? )

D.

a cos? cos ? cos(? ? ? )


12、已知△ ABC 中, AB ? a , AC ? b , a ? b ? 0 , S ?ABC ? A.. 30 B . ?150 C. 150
0

15 , a ? 3, b ? 5 ,则 ?BAC ? ( 4
D. 30 或 150
0

13.在 ?ABC 中, A : B ? 1: 2 , C 的平分线 CD 把三角形面积分成 3 : 2 两部分,则 cos A ? A

1 3

B

1 2

C

3 4

D 0 的三个内角的正弦值,则

14、如果 A. B. C. D.

的三个内角的余弦值分别等于 和 和 都是锐角三角形 都是钝角三角形

是钝角三角形, 是锐角三角形,

是锐角三角形 是钝角三角形
第 21 页 共 24 页

15. 在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,则 AB ? BC 的值为( A.79 B.69 C.5 D.-5

)

16、如果

1 ? cos A a ? ,那么△ABC 是 1 ? cos B b

17.已知锐角三角形的边长为 1、3、 a ,则 a 的取值范围是_________ 18、 (2009 湖南)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

AC 的值等于 cos A



. 19.如图,在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15?,向山顶前进 100m 后,又从点 B 测得斜度为 45?, 假设建筑物高 50m, 设山对于地平面的斜度?, 则 cos?= . 20、在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若三角形的面积

AC 的取值范围为

1 S= (a2+b2-c2) ,则∠C 的度数是_______ 4

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21.在△ABC 中,若AB=2,BC=5,面积S△ABC=4,求 sin

B 的值. 2

22.在△ABC 中, a, b, c, 分别为内角A,B,C的对边,若 b ? 2a, B ? A ? 60 ,求A的值.
0

23、在锐角三角形 ABC 中,A=2B, a 、 b 、 c 所对的角分别为 A、B、C,试求

a 的范围。 b

24、在△ABC 中, a ? c ? 2b, A ? C ?

?
3

,求 sinB 的值。

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25、在 ?ABC中,?B ? 45?, AC ? 10, cos C ? (1)求 BC

2 5 , 5

(2)若点 D是AB的中点,求中线CD的长度。

2 26 . 已 知 锐 角 三 角 形 ABC 中 , 边 a、 b 为 方 程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的 两 根 , 角 A 、 B 满 足

2 s i nA ( ? B) ? 3 ? 0 ,求角 C、边 c 及S△ABC。

27.在 ?ABC 中,已知内角 A ?

?
3

,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y .

(1) 求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值.

28、 ?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos 大值。

B?C 取得最大值,并求出这个最 2

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29、在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积.

? . 3

33、在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, △ABC 的外接圆半径 R= 3 ,且满足

cos C 2 sin A ? sin C ? . cos B sin B
(1)求角 B 和边 b 的大小;(2)求△ABC 的面积的最大值。

34、已知在△ABC 中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角 A、B、C 的大小.

35、已知△ABC 中,2 2 (sin A-sin C)=(a-b)sinB,外接圆半径为 2 . (1)求∠C; (2)求△ABC 面积的最大值.

2

2

7 36、在△ABC 中,已知角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,边 c= ,且 tanA+tanB= 3 tanA·tanB- 3 , 2 3 3 又△ABC 的面积为 S△ABC= ,求 a+b 的值。 2

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