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2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word解析版)_九、立体几何(逐题详解)--题目


2014 年全国高考理科数学试题分类汇编
1.【2014 年陕西卷(理 05) 】已知底面边长为 1,侧棱长为 2 则正四棱柱的各顶点均在同 一个球面上,则该球的体积为( )

A.

32? 3

B.4?

C .2?

D.

4? 3

2.【2014 年重庆卷(理 07) 】某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积为 ( A.54 B.60 C.66 D.72
1 1



1

1

1

1
1
侧(左)视图

5 2 4 正视图 3 左视图 俯视图

1
正(主)视图

1
1
俯视图

1

1

3.【2014 年安徽卷(理 07) 】一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为 (A) 21? 3 (B) 18 ? 3 (C) 21

18 (D)


4.【2014 年福建卷(理 02) 】某空间几何体的正视图是三角形, 则该几何体不可能是 ( A. 圆柱 B. 圆锥 C. 四面体 D. 三棱柱

6.【2014 年辽宁卷(理 04) 】已知 m,n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的 是( ) B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n D.若 m / /? , m ? n ,则 n ? ?

A.若 m / /? , n / /? , 则 m / / n C.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /?

8.【2014 年四川卷(理 08) 】如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 O 为线 段 BD 的中点。设点 P 在线段 CC1 上,直线 OP 与平面 A1 BD 所成的角为 ? ,则

sin ? 的取值范围是
A. [

3 ,1] 3

B. [

6 ,1] 3

C. [

6 2 2 , ] 3 3

D. [

2 2 ,1] 3

9.【2014 年辽宁卷(理 07) 】某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 8 ? 2? B. 8 ? ? C. 8 ?



?
2

D. 8 ?

?
4

0 10.【2014 年全国大纲卷(11) 】已知二面角 ? ? l ? ? 为 60 , AB ? ? , AB ? l ,A 为垂

足, CD ? ? , C ? l , ?ACD ? 135 ,则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为(
0



A.

1 4

B.

2 4

C.

3 4

D.

1 2

11.【2014 年全国新课标Ⅰ(理 12) 】如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的 是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为

A.6 2

B.4 2

C .6

D .4

12.【2014 年全国新课标Ⅱ(理 06) 】如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm), 图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯 切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )

A.

17 27

B. 5

9

C. 10

27

D.

1 3

13.【2014 年全国新课标Ⅱ (理 11) 】直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°, M,N 分别是 A1B1, A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( ) A. 1 B. 2 C.

10

5

30 10

D.

2 2

14.【2014 年北京卷(理 07) 】在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A? 2,0,0? , B ? 2,2,0? ,

C ? 0,2,0? ,D 1,1, 2 ,若 S1 ,S 2 ,S3 分别表示三棱锥 D ? ABC 在 xOy , yOz , zOx
坐标平面上的正投影图形的面积,则( ) (A) S1 ? S2 ? S3 (C) S1 ? S3 且 S3 ? S2 (B) S1 ? S2 且 S3 ? S1 (D) S2 ? S3 且 S1 ? S3

?

?

15. 【 2014 年 广 东 卷 ( 理 07 ) 】 若 空 间 中 四 条 两 两 不 同 的 直 线 l1 , l2 , l3 , l4 , 满 足

l1 ? l2 , l2 ? l3 , l3 ? l4 ,则下列结论一定正确的是
A. l1 ? l4 B. l1 / / l4 C. l1 , l4 既不垂直也不平行 D. l1 , l4 的位置关系不确定

16.【2014 年湖北卷(理 05) 】在如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz 中,一个四面体的顶 点坐标分别是(0,0,2) , (2,2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出编号①、②、③、④的四个图, 则该四面体的正视图和俯视图分别为

A.①和②

B.③和①

C. ④和③

D.④和②

17.【2014 年湖北卷(理 08) 】.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出 土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,另相 乘也。又以高乘之,三十六成一。该术相当于给出了有圆锥的底面周长 L 与高 h ,计算其体 积 V 的近似公式 v ? 似公式 v ? A.

1 2 L h. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 ? 近似取为 3.那么近 36


22 7

2 2 L h 相当于将圆锥体积公式中的 ? 近似取为( 75 157 25 B. C. 50 8

D.

355 113

18.【2014 年江西卷(理 05) 】一几何体的直观图如右图,下列给出的四个俯视图中正确的 是

20.【2014 年上海卷(理 16) 】 如图,四个棱长为 1的正方体排成一个正四棱柱, AB 是一 条侧棱,P 则 AB ? AP i (i ? 1, 2 , ? , 8) 是上底面上其余的八个点, i (i ? 1, 2, ?, 8) 的 不同值的个数为 (A) 1. ( ) (D) 8 .

??? ? ??? ?

(B) 2 .(C) 4 .

21.【2014 年浙江卷(理 03) 】某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则此几何体的 表面积是

A.90 cm

2

B.129 cm

2

C.132 cm

2

D.138 cm

2

第 II 部分 22.【2014 年山东卷(理 13) 】三棱锥 P ? ABC 中, D, E 分别为 PB, PC 的中点,记三棱 锥 D ? ABE 的体积为 V1 , P ? ABC 的体积为 V2 ,则

V1 ? V2



23.【2014 年天津卷(理 10) 】一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) ,则该几何体的 体积为_________ m .
3

24. 【2014 年江苏卷 (理 08) 】 设甲、 乙两个圆柱的底面积分别为 S1 , S2 , 体积分别为 V1 , V2 , 若它们的侧面积相等,

S1 9 V ? ,则 1 ? S2 4 V2



25.【2014 年上海卷(理 06) 】若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则其母线与底面夹角的大 小为 (结果用反三角函数值表示).

第 III 部分 26.【2014 年陕西卷(理 17) 】 (本小题满分 12 分) 四面体 ABCD 及其三视图如图所示,过棱 AB 的中点 E 作平行于 AD , BC 的平面分

DC, CA 于点 F , G, H. 别交四面体的棱 BD,

(I)证明:四边形 EFGH 是矩形; (II)求直线 AB 与平面 EFGH 夹角 ? 的正弦值.

27. 【2014 年重庆卷 (理 19) 】 如下图, 四棱锥 P ? ABCD , 底面是以 O 为中心的菱形,PO ? 底面 ABCD ,

AB ? 2, ?BAD ?

?
3

, M 为 BC 上一点,且 BM ?

1 , MP ? AP . 2

(1)求 PO 的长; (2)求二面角 A ? PM ? C 的正弦值。

P D O M A B C

28.【2014 年安徽卷(理 20) 】 (本小题满分 13 分) 如图,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, A1 A ? 底面 ABCD . 四边形 ABCD 为梯形, AD // BC ,且 AD ? 2 BC .过 A1 , C, D 三点的平面记为 ? , BB1 与 ? 的交点为 Q . (Ⅰ)证明: Q 为 BB1 的中点; (Ⅱ)求此四棱柱被平面 ? 所分成上下两部分的体积之比; (Ⅲ)若 A1 A ? 4, CD ? 2 ,梯形 ABCD 的面积为 6 , 求平面 ? 与底面 ABCD 所成二面角大小.

A1 B1 C1

D1

Q

A

D B
C

第(20)题图

29.【2014 年福建卷(理 07) 】在平面四边形 ABCD 中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD,将△ ABD 沿 BD 折起,使得平面 ABD⊥平面 BCD,如图. (1)求证:AB⊥CD; (2)若 M 为 AD 中点,求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值.

30.【2014 年湖南卷(理 19) 】(本小题满分 12 分) 如图 6, 四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的所有棱长都相等,AC ? BD ? O ,A1C1 ? B1 D1 ? O1 , 四边形 ACC1 A1 和四边形 BDD1 B1 均为矩形. (1) 证明: O1O ? 底面 ABCD ; (2)若 ?CBA ? 60 ,求二面角 C1 ? OB1 ? D 的余弦值.
?

A1 B1

O1 C1

D1

A B
图6

O C

D

31.【2014 年辽宁卷(理 19) 】 (本小题满分 12 分) 如图, ?ABC 和 ?BCD 所在平面互相垂直,且 AB ? BC ? BD ? 2 ,

?ABC ? ?DBC ? 1200 ,E、F 分别为 AC、DC 的中点.
(1)求证: EF ? BC ; (2)求二面角 E ? BF ? C 的正弦值.

32.【2014 年全国大纲卷(19) 】 (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上, ?ACB ? 90 ,
0

BC ? 1, AC ? CC1 ? 2 .
(1)证明: AC1 ? A1B ; (2)设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 3 ,求二面角 A 1 ? AB ? C 的大小.

33.【2014 年山东卷(理 17) 】 (本小题满分 12 分) 如 图 , 在 四 棱 柱 ABCD ? A1B1C1D1 中 , 底 面 ABCD 是 等 腰 梯 形 ,

?DAB ? 60? , AB ? 2CD ? 2 , M 是线段 AB 的中点.
D1 A1 C1 B1

D A

C M B

(I)求证: C1M / / 平面A1 ADD1 ;

(II)若 CD1 垂直于平面 ABCD 且 CD1 = 3 ,求平面 C1 D1M 和平面 ABCD 所成的角(锐 角)的余弦值.

34.【2014 年四川卷(理 18) 】三棱锥 A ? BCD 及其侧视图、俯视图如图所示。设 M , N 分别为线段 AD , AB 的中点, P 为线段 BC 上的点,且 MN ? NP 。 (1)证明: P 为线段 BC 的中点; (2)求二面角 A ? NP ? M 的余弦值。

A

N

M D
C

B

P

35.【2014 年天津卷(理 17) 】 (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AD ? AB , AB / / DC , AD ? DC ? AP ? 2 , AB ? 1,点 E 为棱 PC 的中点. ⑴证明: BE ? DC ; ⑵求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值; ⑶若 F 为棱 PC 上一点,满足 BF ? AC ,求二面角 F ? AB ? P 的余弦值.

36.【2014 年全国新课标Ⅰ(理 19) 】(本小题满分 12 分)如图三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧 面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C . (Ⅰ) 证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o ,AB=BC 求二面角 A ? A 1B 1 ? C1 的余弦值.

37.【2014 年全国新课标Ⅱ(理 18) 】 (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积.

38.【2014 年江苏卷(理 16) 】如图,在三棱锥 P 错误!未找到引用源。ABC 中,D,E,F 分别 为棱 PC,AC,AB 的中点。已知 PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5. 求证: (1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC. P

D

A F

E

C

39.【2014 年北京卷(理 17) 】 (本小题 14 分)

B

B, C 分别为 AM , MD 的中点, 如图, 正方形 AMDE 的边长为 2, 在五棱锥 P ? ABCDE
中, F 为棱 PE 的中点,平面 ABF 与棱 PD, PC 分别交于点 G , H . (1)求证: AB // FG ; (2)若 PA ? 底面 ABCDE ,且 AF ? PE ,求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小,并 求线段 PH 的长.

40.【2014 年广东卷(理 18) 】 (本小题满分 13 分)如图 4,四边形 ABCD 为正方形,PD ?
0 平面 ABCD , ?DPC ? 30 , AF ? PC 于点 F , FE / /CD ,交 PD 于点 E .

(1)证明: CF ? 平面ADF (2)求二面角 D ? AF ? E 的余弦值。

A

B

D E P F

C

41. 【2014 年湖北卷 (理 19) 】 如图, 在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E, F , M , N 分 别 是 棱 AB, AD, A1B1 , A1D1 的 中 点 , 点 P, Q 分 别 在 棱 DD1 , BB1 上 移 动 , 且

DP ? BQ ? ? ?0 ? ? ? 2? .

(1)当 ? ? 1 时,证明:直线 BC1 ∥ 平面 EFPQ; (2)是否存在 ? ,使平面 EFPQ与面 PQMN 所成的二面角为直二面角?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

42.【2014年江西卷(理19) 】(本小题满分12分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 为矩形,平面 PAD ? 平面 ABCD . (1)求证: AB ? PD; (2)若 ?BPC ? 90? , PB ? 2, PC ? 2, 问 AB 为 何 值 时 , 四 棱 锥

P ? ABCD 的体积最大?并求此时平面 PBC 与平面 DPC 夹角的余弦值.

43.【2014 年上海卷(理 19) 】(本题满分 12 分) 底面边长为 2 的正三棱锥 P-ABC ,其表面展开图是 三角形 PP 如图. 求 △ PP 1 2P 3, 1 2P 3 的各边长及此三棱锥的 体积 V .
A C P3

P1

B

P2

44.【2014 年浙江卷(理 20) 】 (本小题满分 15 分) 如图,在四棱锥 A ? BCDE 中,平面 ABC ? 平面 BCDE , ?CDE ? ?BED ? 90? ,

AB ? CD ? 2 , DE ? BE ? 1 , AC ? 2 . ⑴证明: DE ? 平面 ACD ; ⑵求二面角 B ? AD ? E 的大小.


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