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必修3+选修1-1综合测试四


必修 3+选修 1-1 综合测试四

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1、函数 f ?x? ? x 2 ? 2x ? 1 在点 T ?1,0? 处的切线方程是( A、 y ? x B、 y ? 1 C、 x ? 0 )

D、 y ? 0 )

2、 设抛物线的顶点在原点, 焦点与椭圆 A、y2=-8x B、y2=-4x

x2 y2 ? ? 1 右焦点重合, 则此抛物线的方程是 ( 6 2

C、y2=8x

D、y2=4x

3、口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球的概率是 0.42,摸 出白球的概率是 0.28,则摸出黑球的概率是( A、0.42 A、充分不必要条件 B、0.28 C、0.7 ) C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 ) D、0.3

4、若 a,b∈ R,则 a>b>0 是 a2>b2 的(

B、必要不充分条件

5、给出如下程序: INPUT x IF x<0 THEN y=-1 ELSE IF x=0 THEN y=0 ELSE y=1 END IF END IF PRINT y END 输入 x=3 时,输出的结果是( ) A..1 B.-1 C.0 D.3 6、命题“对 ?x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”的否定是( A、不存在 x∈ R,x3-x2+1≤0 C、 ?x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 )

B、 ?x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 D、 ?x ? R, x3 ? x2 ? 1 >0

7、某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表:
广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

?x ? a ? 为 9.4, ? ?b ?中的b 据上表得回归方程 y 据此预报广告费用为 6 万元时销售额约为 (
-1-



A、63.6 万元 B、65.5 万元

C、67.7 万元

D、72.0 万元 )

8、运行如右图所示的程序框图,则输出的数是 5 的倍数的概率为( A、
1 5

B、

1 10

C、

1 2

D、

1 20

Y

3? ? 3 9、函数 f ?x ? ? x 3 ? 3x? ? ? x ? ? 的值域是( 2? ? 2
9? ? 9 9? ? 9 ? ? A、 ? ? , ? B、 ?? ,2? C、 ?? 2, ? 8? ? 8 ? ? ? 8 8?

) D、 ?? 2,2?

10、 已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F, A, B 是该抛物线上的两点, 弦 AB 过焦点 F, 且 AB ? 4 |, 则线段 AB 的中点坐标是( )

?1 ? A、 ? ,1? ?2 ?

B、 ?2,1?

1,0? C、 ?

D、 ?3,2?

x2 y2 11、设 F1 , F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点,若在双曲线右支上存在点 P, a b

满 (

足 PF2 ? F1 F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率等于 ) A、2 B、 2 C、
3 2

D、

5 3

12、 已知 F1 , F2 是椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 6 的两个焦点, 点 M 在此椭圆上且 ?F1 MF2 ? 60? , 则 ?MF1 F2 的面积等于( A、 2 ) B、 3 C、2 D、 5

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、从一堆苹果中任取 20 个,并得到它们的质量(单位:克)数据分布表如下: 分组 频数 [90,100) 1 [100,110) 2 [110,120) 3 [120,130) 10 [130,140) 3 [140,150) 1 %. (用数字作答) 。

则这堆苹果中,质量不小于 120 克的苹果数约占苹果总数的 14、样本数据“1,2,3,4,5,6,7”的标准差等于

15、向长为 40 厘米宽为 30 厘米的矩形的外接圆内投入黄豆粒,黄豆粒落到矩形内的概率等 于 .
-2-

x2 y 2 16、 椭圆 ? 右焦点为 F1 、 直线 x=m 过 F2 且与椭圆相交于 A,B 两点, 则 ?F1 AB ? 1 的左、 F2 , 4 3

的面积等于

.

三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、 (本题 10 分)某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上每隔 30min 抽取 一包产品,称其重量,分别记录抽查数据如下: 甲:102, 101, 99, 98, 103, 98, 99; 乙:110, 115, 90, 85, 75, 115, 110。 (Ⅰ )这种抽样方法叫做什么抽样方法? (Ⅱ )将这两组数据用茎叶图表示出来; (Ⅲ )将两组数据比较:说明哪个车间的产品较稳定。

18、 (本题 12 分)已知 P: x ? R 且 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,已知Q: x ? R 且

x?2 ?0. x?3 (Ⅰ )在区间(-4,4)上任取一个实数 x,求命题“P且Q”为真的概率;

(Ⅱ )设在数对 ?a, b ? 中,a ? ?x ? Z | P真?,b ? ?x ? Z | Q真?,求“事件 b ? a ? ?x ‘ | P或Q’ 真?” 发生的概率.

19、 (本题 12 分)一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标示着数字 1、2、3、4,一个质 地均匀的骰子(正方体)的六个面上分别标示数字 1、2、3、4、5、6,先后抛掷一次正四面 体和骰子。 ⑴ 列举出全部基本事件; ⑵ 求被压在底部的两个数字之和小于 5 的概率; ⑶ 求正四面体上被压住的数字不小于骰子上被压住的数字的概率。

-3-

20、 (本题 12 分)如图,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P 在 x 4 轴上的投影,M 为 PD 上一点,且|MD|= |PD|. 5 (Ⅰ )当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (Ⅱ )求过点(3,0)且斜率为 的直线被曲线 C 所截线段的长度. 5

21、 (本题 12 分)已知函数 f ?x? ? x 3 ? ?a ? 1?x 2 ? a?2 ? a?x ? b (a, b ? R) . ⑴ 若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; ⑵ 若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ...

22、 (本题 12 分)直线 l:y=kx+1 与双曲线 C: 2x 2 ? y 2 ? 1 的右支交于不同的两点 A,B. (Ⅰ )求实数 k 的取值范围; (Ⅱ )是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在, 求出 k 的值;若不存在,说明理由.

-4-

必修 3+选修 1-1 综合测试四参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 A 5 A 6 C 7 B 8 A 9 D 10 C 11 D 12 B

二、填空题: 13、70 14、 2 15、

48 25?

16、 3 …………………………2分

17、解: (Ⅰ )因间隔时间相同,故是系统抽样。 (Ⅱ )茎叶图如下: 甲 7 8 9 10 11 乙 5 5 0 0 0 5 5

9 9 8 8 3 2 1

………………………………………6分 (Ⅲ )甲车间:平均值: x1 ? 方差: S1 ?
2

1 (102+101+99+98+103+98+99)=100 7

1 [(102 ? 100 ) 2 ? (101 ? 100 ) 2 ? ? ? (99 ? 100 ) 2 ] ? 3.43 7 1 乙车间:平均值: x2 ? (100+115+90+85+75+115+110)=100 7 1 2 2 2 2 方差: S 2 ? [(110 ? 100 ) ? (115 ? 100 ) ? ? ? (110 ? 100 ) ] ? 228 .59 7
2 2 ? x1 ? x2 , S1 <S2 ,

?甲车间的产品稳定。

………………………………10 分

2 18、解: (Ⅰ )P真 ? x ? 2x ? 3 ? ( 0 x ? R) ? ?3 ? x ? 1 ;

Q真 ?

x?2 ? 0, x ? R ? ?x ? 2? ? ?x ? 3? ? 0, x ? R ? ?2 ? x ? 3 ; x ?3

“P且Q”真 ? P真且Q真 ? ?

?? 3 ? x ? 1, ? ?2 ? x ? 1 . ?? 2 ? x ? 3

区间 ?? 4,4? 的长度为8,区间 ?? 2,1? 的长度为3, 故在区间(-4,4)上任取一个实数 x,命题“P且Q”为真的概率 p ?

3 . …………6 分 8

? 1、 0 , b ? ?1、 0、 1、 2 ,则基本事件 ?a, b ? 共有 12 个: (Ⅱ )在(Ⅰ )的基础上易知, a ? ?2、 (-2,
-1),(-2,0) , (-2,1) , (-2,2) , (-1,-1) , (-1,0) , (-1,1) , (-1,2) , (0, -1) , (0,0) , (0,1) , (0,2) . “P或Q”真 ? P真或Q真 ? ?3 ? x ? 3 , 符合 b ? a ? x (-2,-1) ( , -2,0) , ‘ | P或Q’ 真 的基本事件为: (-1,-1) , (-1,0) , (-1,1) , (0, -1) , (0,0) , (0,1) , (0,2) ,共9个.
-5-

?

?

故事件“ b ? a ? x ‘ | P或Q’ 真 ”发生的概率 p 2 ?

?

?

19、解:⑴ 用数对 ? x, y ? 标示正四面体上和骰子上被压住的两个数字,列举所有基本事件如下:

9 3 ? .…………………………12 分 12 4

?1,1? ?2,1? ?3,1? ?4,1?

?1,2? ?1,3? ?2,2? ?2,3? ?3,2? ?3,3? ?4,2? ?4,3?

?1,4? ?2,4? ?3,4? ?4,4?

?1,5? ?2,5? ?3,5? ?4,5?

?1,6? ?2,6? ?3,6? ?4,6?
…………………………4 分

每个基本事件出现的可能性相同. ⑵ 由⑴ 知基本事件总数 N ? 24.

设“被压在底部的两个数字之和小于 5”为事件 A ,则 A 包括 ? 1,1? 、 ?1,2? 、 ?1,3? 、 ?2,1? 、

?2,2? 、 ?3,1? 等 6 个基本事件,事件 A 发生的概率 p? A? ?

n 6 1 ? ? . ……………8分 N 24 4

⑶ 设“正四面体上被压住的数字不小于骰子上被压住的数字 ”为事件 B ,则 B 包括 ? 1,1? 、 ?2,1? 、

?2,2? 、 ?3,1? 、 ?3,2? 、 ?3,3? 、 ?4,1? 、 ?4,2? 、 ?4,3? 、 ?4,4? 等 10 个基本事件,事件 B 发生
的概率 p ?B ? ?

n 10 5 ? ? . N 24 12

……………………………………12 分

?xp ? x ? 20、解: (Ⅰ )设 M(x,y),P(xp,yp),由已知得 ? 5 ?yp ? y 4 ?
5 x2 y2 因为点P在圆上, ? x 2 ? ( y ) 2 ? 25 ,即 C 的方程为: ? ? 1 。…………………5 分 4 25 16
(Ⅱ ) 过点(3,0)且斜率为 由

4 4 的直线 l 为 y ? ( x ? 3) ,设直线 l 与 C 的交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 5 5

4 ? y ? ( x ? 3) 16 2 ? ? AB ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? ) ? ? 5 2 ?( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ? ? x ? 3 x ? 8 ? 0 ? 2 25 2 ……12 分 x y ? ? ?1 41 41 ? ? 25 16 ? ? 41 ? 25 5 ? x1 ? x2 ? 3, x1 ? x2 ? ?8
21、解:⑴ 已知函数 f ( x ) 的图象过原点,则 f ?0? ? b ? 0 .

f ??x? ? 3x 2 ? 2?a ? 1?x ? a?2 ? a? , 已 知 函 数 f ( x) 的 图 象 在 原 点 处 的 切 线 斜 率 是 ?3 , 则
f ??0? ? a?2 ? a ? ? ?3 , a ? ?1或3 .所以, a ? ?1或3 , b ? 0 .
⑵ f ??x? ? 3x ? 2?a ? 1?x ? a?2 ? a? ? ?x ? a ??3x ? 2 ? a ? ? 3?x ? a ?? x ?
2

………………6 分.

? ?

a ?2? ? , 求 得 方 程 3 ?

-6-

f ? ? x ? ? 0 的两个实根: x1 ? ? a, x 2 ?

a?2 . ………………………………9分. 3 函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上不单调 ...? f ( x ) 在区间 (?1,1) 上至少存在一个极值点 ? ?1 ? x1 ? 1 或

?1 ? x2 ? 1 , 即 ? 1 ? ?a ? 1 或 ? 1 ?

a?2 ?1 , 解 之 ( 合 并 ) 得 a 的 取 值 范 围 : 3
………………………………12 分.

?? 1,5? .
22、解: (Ⅰ )由 ?

? y ? kx ? 1 ?2 x ? y ? 1
2 2

? (k 2 ? 2) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0??①

?k 2 ? 2 ? 0 ? 2 2 ?△? (2k ) ? 8(k ? 2)>0 ? 据题意: ?? 2k >0 ? k2 ? 2 ? 2 >0 ? 2 ?k ? 2
2k ? x ? x ? , 1 2 ? ? 2?k2 ? ?x ? x ? 2 , 1 2 ? k2 ?2 ?

解得-2<k< ?

2

………………………5 分

(Ⅱ )设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2), 则由① 式得:

假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆过双曲线 C 的右焦点 F(

6 ,0) ,则 FA ? FB. 2

即 FA · (x1- FB =0,

6 6 6 6 ) (x2- )+y1y2=0, (x1- ) (x2- )+(kx1+1) (kx2+1)=0, 2 2 2 2
5 6 ) (x1+ x2)+ =0, 2 2

(1+k2 )x1 x2+(k-

∴ (1+k2) ?

2k 5 2 6 +(k- )· + =0,∴ 5k2+2 6k -6=0 2 2?k 2 k ?2 2
2

∴ k=-

6? 6 6? 6 6? 6 或 k= , (舍去) ? (-2,- 2 ) 5 5 5 6? 6 时,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点.…………………12 分 5

∴ k=-

-7-


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