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2017-2018学年高中数学人教B版必修2教师用书:第2章 2-2-1 直线方程的概念与直线的斜率 含答案 精品


2.2 直线的方程 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(重点) 2.理解直线斜率的几何意义;掌握倾斜角与斜率的对应关系.(重点) 3.掌握过两点的直线的斜率公式.(重点) 4.直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用.(难点) 教材整理 1 直线方程的概念 阅读教材 P74 内容,完成下列问题. 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上, 且这条直线上点的坐标都是这个方程 的解,那么这个方程叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线. 如何判断点 P(2,1)是否在直线 y=x-1 上? 【解析】 把点的坐标代入方程,若满足方程,点就在直线上,反之,不在直线上. 教材整理 2 直线的斜率及斜率公式 阅读教材 P75~P75“倒数第 15 行”以上内容,完成下列问题. 1.斜率的定义 一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母 k 表示,即 k=tan α . 2.斜率公式 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k= 线 P1P2 没有斜率. 3.斜率的几何意义 用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于 x 轴正方向的倾斜程度. y2-y1 .当 x1=x2 时,直 x2-x1 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法.( (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.( (3)一个倾斜角 α 不能确定一条直线.( (4)斜率公式与两点的顺序无关.( ) ) ) ) 【解析】 (1)错误.除了倾斜角,还可以用斜率描述直线的倾斜程度. (2)错误.倾斜角不是 90°的直线有且只有一个斜率和它对应. (3)正确.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:一个点 P 和一个倾斜角 α . (4)正确.斜率公式与两点的顺序无关, 即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调 换. 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 教材整理 3 直线的倾斜角 阅读教材 P75“第 15 行”以下内容,完成下列问题. 1.倾斜角的定义 (1)当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成 的角 α 叫做直线 l 的倾斜角. (2)当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0°. 2.倾斜角的范围 直线的倾斜角 α 的取值范围为 0°≤α <180°. 3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点及它的倾斜 角. 如图 2?2?1 所示,直线 l 的倾斜角为( ) 图 2?2?1 A.30° C.120° B.60° D.以上都不对 【解析】 根据倾斜角的定义知,直线 l 的倾斜角为 30°+90°=120°. 【答案】 C 直线的倾斜角 已知直线 l 过原点, l 绕原点按顺时针方向转动 α 角(0°<α <180°)后,恰好 与 y 轴重合,求直线 l 转动前的倾斜角是多少? 【精彩点拨】 画草图 ― → 标记α ― → 找倾斜角与 ― → 求倾斜角 α 的关系 【自主解答】 由题意画出如下草图 由图可知: 当 α 为钝角时,倾斜角为 α -90°, 当 α 为锐角时,倾斜角为 α +90°, 当 α 为直角时,倾斜角为 0°. ?α + ? 综上,直线 l 转动前的倾斜角为? ?α - ? α α , 1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答. 2.求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时 要根据情况分类讨论. 1.设直线 l 过坐标原点, 它的倾斜角为 α , 如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45°, 得到直线 l1,那么 l1 的倾斜角为( A.α +45° B.α -135° C.135°-α D.当 0°≤α <135°时, 倾斜角为 α +45°; 当 135°≤α <180°时, 倾斜角为 α -135° 【解析】 根据题意,画出图形,如图所示: ) 因为 0°≤α <180°,显然 A,B,C 未分类讨论,均不全面, 不合题意.通过画图(如图所示)可知: 当 0°≤α <135°时,l1 的倾斜角为 α +45°; 当 135°≤α <180°时,l1 的倾斜角为 45°+α -180°=α -135°.故选 D. 【答案】 D 直线的斜率 已知坐标平面内三点 A(-1,1),B(1,1),C(2, 3+1). (1)求直线 AB、BC、AC 的斜率和倾斜角; (2)若 D 为△ABC 的边 AB 上一动点,求直线 CD 斜率 k 的变化范围. 【精彩点拨】 (1)利用 k= y2-y1 及 k=tan α 求解; x2-x1 (2)先求出 AC、BC 的斜率,进而求出 k 的范围. 【自主解答】 (1)由斜率公式得 kAB= kAC= 1-1 1- - =0,kBC= 3+1-1 = 3. 2-1 3+1-1 3 = . 2- - 3 倾斜角的取值范围是 0°≤α <180°. 又∵tan 0°=0, ∴AB 的倾斜角为 0°. tan 60°= 3, ∴BC 的倾斜角为 60°. tan 30°= 3 , 3 ∴AC 的倾斜角为 30°. (2)如图,当斜率 k 变化时,直线 CD 绕 C 点旋转,当直线 CD 由 CA 逆时针方向旋转到 CB 时,直线 CD 与 AB 恒有交点,即 D 在线段 AB 上,此时 k 由 kCA 增大到 kCB,所以 k 的取值 范围为? ? 3 ? , 3?. ?3 ? 1.由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式 k=tan α (α ≠90°)解决. 2.由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 y2-y1 k= (x1≠x2)求解. x2-x1 3.涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用斜率公式求解

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