教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集 4.1.1 直角坐标系 1．掌握在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用． 2．对具体问题，能建立适当的坐标系，使所刻画的代数形式具有更简便的结果． [基础·初探] 1．直线坐标系 在直线上，取一个点为原点，并确定一个长度单位和直线的方向，就建立了直线上的坐 标系，即数轴． 数轴上任意一点 P 都可以由惟一的实数 x 确定，x 称为点 P 的坐标． 2．平面直角坐标系 在平面上， 取两条互相垂直的直线的交点为原点， 并确定一个长度单位和这两条直线的 方向， 就建立了平面直角坐标系． 平面上任意一点 P 都可以由惟一的有序实数对(x， y)确定， (x，y)称为点 P 的坐标． 3．空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，取这三条直线的交点为原点，并确定 一个长度单位和这三条直线的方向，就建立了空间直角坐标系． 空间中任意一点 P 都可以由惟一的三元有序实数组(x，y，z)确定，(x，y，z)称为点 P 的坐标． [思考·探究] 1．建立适当的坐标系一般有哪些规则？ 【提示】 (1)如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上． 2．由坐标(x，y)怎样确定点的位置？ 【提示】 在平面直角坐标系中，分别过点 M(x,0)，N(0，y)作 x 轴和 y 轴的垂线，两 条直线的交点 P 即(x，y)所确定的点． [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 1 教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集 疑问 1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问 2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问 3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 建立适当的坐标系刻画点的位置 正方形的边长等于 4，试选择适当的坐标系，表示其顶点与中心的坐标． 【自主解答】 法一 以正方形的一个顶点为原点，两条邻边为坐标轴，且把第四个 顶点放在第一象限，建立平面直角坐标系，如图(1)所示．此时，其四个顶点的坐标分别为 O(0,0)、A(4,0)、B(4,4)、C(0,4)，中心为 M(2,2)． 法二 以正方形的中心为原点， 且使两条坐标轴平行于正方形的边， 建立平面直角坐标 系，如图(2)所示．此时，正方形的顶点坐标分别为 A(2，－2)、B(2,2)、C(－2,2)、D(－2， －2)，中心为 O(0,0)． 法三 以正方形的两条对角线为坐标轴建立直角坐标系，如图(3)所示．此时，正方形 的顶点坐标分别为 A(2 2， 0)、 B(0,2 2)、 C(－2 2， 0)、 D(0， －2 2)， 中心为 O(0,0)． (作 图时只要以图(2)中的原点 O 为圆心，OA 为半径作圆，该圆与坐标轴的四个交点即是图(3) 中正方形的各个顶点) [再练一题] 1．选择适当的坐标系，表示两条直角边长都为 1 的直角三角形的三个顶点的坐标． 【导学号：98990000】 【解】 法一 以直角三角形的两条直角边 AC、BC 所在直线分别为 x 轴、y 轴，建立 如图(1)所示的平面直角坐标系，则 C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)． 法二 以斜边 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴，建立如图(2)所示的平面 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 2 教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集 直角坐标系．则 A(－ 2 2 2 ，0)，B( ，0)，C(0， )． 2 2 2 建立坐标系解决证明问题 用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点，到两腰的距离之差等于一 腰上的高． 【自主解答】 如图，在△ABC 中，AB＝AC， P 为 BC 延长线上一点，PD⊥AB 于 D，PE⊥AC 于 E，CF⊥AB 于 F，以 BC 所在直线为 x 轴， 以 BC 的中垂线为 y 轴， 建立直角坐标系，如图所示， 设 A(0，b)，B(－a,0)，C(a,0)(a＞0，b＞0)，则直线 AB 的方程为 bx－ay＋ab＝0， 直线 AC 的方程为 bx＋ay－ab＝0， 取 P(x0,0)，使 x0＞a，则点 P 到直线 AB、AC 的距离分别为 PD＝ PE＝ |bx0－0＋ab| bx0＋ab ＝ 2 ， a2＋b2 a ＋b2 |bx0＋0－ab| bx0－ab ＝ 2 . a2＋b2 a ＋b2 点 C 到直线 AB 的距离为 CF＝ |ab＋ab| 2ab ＝ 2 ， 2 2 a ＋b a ＋b2 2ab 则 PD－PE＝ a2＋b2 ＝CF. 故所需证明命题成立． [再练一题] 2．已知△ABC 中，AB＝AC，BD、CE 分别为两腰上的高，求证：BD＝CE. 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 3 教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集 【证明】 如图， 以 BC 所在直线为 x 轴， BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系． 设 B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)． 则直线 AC 的方程为 y＝－ x＋h，即：hx＋ay－ah＝0. 直线 AB 的方程为 y＝ x＋h， 即：hx－ay