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【K12教育学习资料】2018_2019学年高中数学4.1.1直角坐标系学案苏教版选修4_4


教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 4.1.1 直角坐标系 1.掌握在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用. 2.对具体问题,能建立适当的坐标系,使所刻画的代数形式具有更简便的结果. [基础·初探] 1.直线坐标系 在直线上,取一个点为原点,并确定一个长度单位和直线的方向,就建立了直线上的坐 标系,即数轴. 数轴上任意一点 P 都可以由惟一的实数 x 确定,x 称为点 P 的坐标. 2.平面直角坐标系 在平面上, 取两条互相垂直的直线的交点为原点, 并确定一个长度单位和这两条直线的 方向, 就建立了平面直角坐标系. 平面上任意一点 P 都可以由惟一的有序实数对(x, y)确定, (x,y)称为点 P 的坐标. 3.空间直角坐标系 在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,取这三条直线的交点为原点,并确定 一个长度单位和这三条直线的方向,就建立了空间直角坐标系. 空间中任意一点 P 都可以由惟一的三元有序实数组(x,y,z)确定,(x,y,z)称为点 P 的坐标. [思考·探究] 1.建立适当的坐标系一般有哪些规则? 【提示】 (1)如果图形有对称中心,可以选择对称中心为坐标原点; (2)如果图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴; (3)使图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上. 2.由坐标(x,y)怎样确定点的位置? 【提示】 在平面直角坐标系中,分别过点 M(x,0),N(0,y)作 x 轴和 y 轴的垂线,两 条直线的交点 P 即(x,y)所确定的点. [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 1 教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 疑问 1:_____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 疑问 2:_____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 疑问 3:_____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 建立适当的坐标系刻画点的位置 正方形的边长等于 4,试选择适当的坐标系,表示其顶点与中心的坐标. 【自主解答】 法一 以正方形的一个顶点为原点,两条邻边为坐标轴,且把第四个 顶点放在第一象限,建立平面直角坐标系,如图(1)所示.此时,其四个顶点的坐标分别为 O(0,0)、A(4,0)、B(4,4)、C(0,4),中心为 M(2,2). 法二 以正方形的中心为原点, 且使两条坐标轴平行于正方形的边, 建立平面直角坐标 系,如图(2)所示.此时,正方形的顶点坐标分别为 A(2,-2)、B(2,2)、C(-2,2)、D(-2, -2),中心为 O(0,0). 法三 以正方形的两条对角线为坐标轴建立直角坐标系,如图(3)所示.此时,正方形 的顶点坐标分别为 A(2 2, 0)、 B(0,2 2)、 C(-2 2, 0)、 D(0, -2 2), 中心为 O(0,0). (作 图时只要以图(2)中的原点 O 为圆心,OA 为半径作圆,该圆与坐标轴的四个交点即是图(3) 中正方形的各个顶点) [再练一题] 1.选择适当的坐标系,表示两条直角边长都为 1 的直角三角形的三个顶点的坐标. 【导学号:98990000】 【解】 法一 以直角三角形的两条直角边 AC、BC 所在直线分别为 x 轴、y 轴,建立 如图(1)所示的平面直角坐标系,则 C(0,0),A(1,0),B(0,1). 法二 以斜边 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴,建立如图(2)所示的平面 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 2 教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 直角坐标系.则 A(- 2 2 2 ,0),B( ,0),C(0, ). 2 2 2 建立坐标系解决证明问题 用解析法证明:等腰三角形底边延长线上一点,到两腰的距离之差等于一 腰上的高. 【自主解答】 如图,在△ABC 中,AB=AC, P 为 BC 延长线上一点,PD⊥AB 于 D,PE⊥AC 于 E,CF⊥AB 于 F,以 BC 所在直线为 x 轴, 以 BC 的中垂线为 y 轴, 建立直角坐标系,如图所示, 设 A(0,b),B(-a,0),C(a,0)(a>0,b>0),则直线 AB 的方程为 bx-ay+ab=0, 直线 AC 的方程为 bx+ay-ab=0, 取 P(x0,0),使 x0>a,则点 P 到直线 AB、AC 的距离分别为 PD= PE= |bx0-0+ab| bx0+ab = 2 , a2+b2 a +b2 |bx0+0-ab| bx0-ab = 2 . a2+b2 a +b2 点 C 到直线 AB 的距离为 CF= |ab+ab| 2ab = 2 , 2 2 a +b a +b2 2ab 则 PD-PE= a2+b2 =CF. 故所需证明命题成立. [再练一题] 2.已知△ABC 中,AB=AC,BD、CE 分别为两腰上的高,求证:BD=CE. 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 3 教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 【证明】 如图, 以 BC 所在直线为 x 轴, BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系. 设 B(-a,0),C(a,0),A(0,h). 则直线 AC 的方程为 y=- x+h,即:hx+ay-ah=0. 直线 AB 的方程为 y= x+h, 即:hx-ay

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