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辽宁省铁岭市六校协作体2013届高三上学期第三次联合考试 数学理


辽宁省铁岭市六校协作体 2013 届高三上学期第三次联合考试 数学理
数学(理科)试卷 命题学校:西丰高中 考试时间:120 分钟 考试说明: (1)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时 间为 120 分钟; (2)第Ⅰ卷和第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上,交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,有只有一项 是符合题目要求的. 1、设集合 A={x|1<x<4},B={x|x 2-2x-3≤0},则 A∩( C RB)= ( ) A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2) 2、设圆 C 与圆 x2+(y-3)2=1 外切,与直线 y =0 相切,则 C 的圆心轨迹为 A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆

y?
3、函数

x , x ? (?? , 0) ? (0, ? ) sin x 的图象可能是下列图象中的 (



4、 “ a ? 1 ”是“函数

f ( x) ?

2x ? a 2 x ? a 在其定义域上为奇函数”的(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 5、已知 3 x ? 2 y ? 6 x
2 2 2 2

D.既不充分也不必要条件

则 m ? x ? y ? 1 的最大值为( )

A.2 6.设 A.5

B.3

C. 4

7 D. 2


S n 是等差数列的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 , S k ? 2 ? S k ? 24 ,则 k ? (
B.6 C.7 D. 8

? 7 . 已 知 两 点 A(1, 0), B (1, 3), O 为 坐 标 原 点 , 点 C 在 第 二 象 限 , 且 ?AOC ? 120 , 设

???? ??? ? ??? ? OC ? ?2OA ? ? OB, (? ? R ), 则? 等于 (
A. ? 1 B.2 C. ? 2 D.1



·1·

8.F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A,B,C 为抛物线上三点.O 为坐标原点,若 F 是△ABC 的重心, △OFA,△OFB,△OFC 的面积分别为 S1,S2,S3 ,则 A. 3 B. 4 C. 6 D. 9
2 S12 + S 2 + S32 的值为:

9.对任意实数 x, y ,定义运算 x ? y ? ax ? by ? cxy ,其中 a, b, c 是常数,等式右边的运算是通常的加 法和乘法运算。已知 1 ? 2 ? 3 , 2 ? 3 ? 4 ,并且有一个非零常数 m ,使得对任意实数 x , 都有

x ? m ? x ,则 m 的值是(
A.- 4 B.4

) C. ?5 D. 6

10.如图,?PAB 所在的平面 ? 和四边形 ABCD 所在的平面 ? 互 相垂直,且 AD ? ? , BC ? ? , AD ? 4 , BC ? 8 , AB ? 6 . 若 tan ?ADP ? 2 tan ?BCP ? 1 ,则动点 P 在平面 ? 内 的轨迹是 A.椭圆的一部分 B.线段 C.双曲线的一部分 D.以上都不是

?
P A B
C

?

D

11.如图所示,点 P 是函数 y ? 2 sin(?x ? ? ) ( x ? R , ? ? 0) 的图象的最高点, M , N 是该图象与

x 轴的交点,若 PM ? PN ? 0 ,则 ? 的值为
? (A) 8 ? (B) 4
3 2

(C) 4

(D) 8

12. 已知函数 g ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 的导函数为 f ( x) , a ? b ? c ? 0 且 f (0) ? f (1) ? 0 , 设

x1 , x2 是方程 f ( x) ? 0 的两根,则 x1 ? x2 的取值范围为
1 4 [ , ) B. 3 9

1 3 [ , ) A. 3 3

[
C.

3 2 , ) 3 3

1 1 [ , ) D. 9 3

·2·

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、 填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分 13.已知一个几何体的三视图及其长度如图所 示,则该几何体的体积为 14.如右图,是一程序框图,则输出结果为 __

.

15.若

a ? ? xdx, b ?
0

1

?

1

0

1 ? x dx, c ?

?

1

0

1 ? x 2 dx

,则 a, b, c 的大小关系是 (



b a , , 满足: 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ln b ≥ a ? c ln c ,则 a 的取值范围是____. b c c 16. 已知正数
三、解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。

? 1 ? P ? ? x ? x ? 3? 2 ? 2 ? , 函数 f ( x) ? log 2 (ax ? 2 x ? 2) 的定义域为 Q 。 17. (1)已知集合 ?1 2 ? P ? Q ? ? , ? , P ? Q ? (?2,3] ?2 3 ? 若 ,求实数 a 的值;
1 ? x?3 f ( x) ? log 2 (ax 2 ? 2 x ? 2) , f ( x) 定义在 R 上且 f ( x ? 3) ? f ( x), 当 2 (2)函数 时,
若 f (35) ? 1 ,求实数 a 的值。 18、 (本题满分 12 分)在 ?ABC 中, A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 a cos C,b cos B,c cos A 成等 差数列。 (1)求 B 的值;(2)求 2 sin A ? cos( A ? C ) 的取值范围。
2

19(本小题满分 12 分)已知数列{ a n }的前 n 项和为 Sn ,数列 {b n } 的前 n 项和为 Tn , {b n } 为等差数
* 列且各项均为正数, a1 ? 1, a n ?1 ? 2Sn ? 1(n ? N ), b1 ? b 2 ? b3 ? 15

(1)求数列{ a n }的通项公式;
1 1 1 ? ?…+ T1 T2 Tn

(2)若 a1 ? b1 , a 2 ? b 2 , a 3 ? b3 成等比数列,求 20. (本题满分 12 分)已知四边



ABCD 满 足 AD ∥ BC ,
·3·

BA ? AD ? DC ?

1 BC ? a ?B AE , B AE ? 面 2 ,E 是 BC 的中点, ?BAE 沿着 AE 翻折成 1 将 使面 1

AECD , F 为 B1 D 的中点.
(Ⅰ )求四棱 (Ⅱ )证明: (Ⅲ )求面

B1 ? AECD 的体积; B1 E ∥面 ACF ;

ADB1 与面 ECB1 所成二面角的余弦值.

21. (本题满分 12 分)已知点 A(0,1) 、B(0,-1) 为一个动点,且直线 PA、PB 的斜率之积为 ,P

1 ? . 2
(I)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (II)设 Q(2,0) ,过点(-1,0)的直线 l 交 C 于 M、N 两点, ?QMN 的面积记为 S,若对满 足条件的任意直线 l ,不等式 S ? ? tan ?MQN 恒成立, 求? 的最小值。

f ( x) ?
22(本题满分 12 分)已知函数

1 2 3 1 x ? ( a 2 ? a ) ln x ? 2ax 2 4 2 ,a?R.

a??
(Ⅰ)当

1 2 时,求函数 f (x) 的极值点;

? (Ⅱ)若函数 f (x) 在导函数 f (x) 的单调区间上也是单调的,求 a 的取值范围;

0?a?
(Ⅲ) 当

1 3 1 1 g ( x) ? f ( x) ? ( a 2 ? a ? 1) ln x ? (a ? ) x 2 ? (2a ? 1) x 8 时,设 4 2 2 ,且 x1 , x2 是函

数 g (x) 的极值点,证明: g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 3 ? 2 ln 2 .

·4·

高三数学(理)答案(2012.11) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 A 5 B 6 A 7 D 8 A 9 B 10 C 11 B 12 C

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.)

13 15 a<b<c

1 2
16

14

5 11

?e,7? .

三、解答题:

2 2 Q ? (?2, ) (?2, ) 2 3 即 ax ? 2 x ? 2 ? 0 解集 3 . 17.【答案】解:解:(1)由条件知

4 ?2 ?? ?a ? 3 ? 2 3 ?2 ? ? 4 ?2, a?? 2 ?a 3 ,∴ 3 .∴ ? 2 ………5 分 ∴ a ? 0 且 ax ? 2 x ? 2 ? 0 的二根为
f (35) ? f (3 ?11 ? 2) ? f (2) ? log 2 (a ? 2 ? 4 ? 2) ? 1 , (2)∵ f ( x) 的周期为 3,
2

所以 a ? 1 ………………………………………………………………………..10 分

18 解⑴由题意得 a cos C ? c cos A ? 2b cos B ,又 a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C ,得

sin( A ? C ) ? 2sin B cos B ,即 sin B ? 2sin B cos B ,在 ?ABC 中, 0 ? B ? ? ,

∴ sin B ? 0 ,∴

cos B ?

1 ? B? 2 ,又 0 ? B ? ? ,∴ 3。

-----6 分

A?C ?


2? 2? 2? , 2sin 2 A ? cos(2 A ? ) ? 1 ? cos 2 A ? cos(2 A ? ) 3 3 3

1 3 3 3 ? ? 1 ? cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? 1 ? sin 2 A ? cos 2 A ? 1 ? 3 sin(2 A ? ) 2 2 2 2 3
0? A?


3 ? 2? ? ? ? ? sin(2 A ? ) ? ? 2A ? ? ? 3 ≤1 , 3 ,∴ 3 3 ,∴ 2

·5·

2 ∴ 2sin A ? cos( A ? C ) 的取值范围是

1 (? ,1 ? 3] 2 .-----12 分

19 【答案】解: (1) a 2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ? 3a1 当 n ? 2 时, a n ?1 ? a n ? (2Sn ? 1) ? (2Sn ?1 ? 1) ? 2a n ………………………………3 分
a n ?1 ? 3a n,即 a n ?1 a ? 3 又a 2 ? 3 2 ? 3 an a1

∴ ∴数列

?a n ? 是首项 a

? 1 ,公比为 3 的等比数列…………………………4 分

n ?1 从而得: a n ? 3

…………………………6 分

(2)设数列

?b n ? 的公差为 d(d ? 0) ∵ T3 ? 15,? b 2 ? 5

2 依题意有 (a 2 ? b 2 ) ? (a1 ? b1 )(a 3 ? b3 ),? 64 ? (5 ? d ? 1)(5 ? d ? 9)

解之得d ? 2或d ? ?10 (舍去)
Tn ? 3n ?

……………………………………8 分



n(n ? 1) ? 2 ? 2n 2 ? 2n 2 ……………………………………10 分

所以

1 1 1 1? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? …+ = ( ? ? …+ ) ? ( ? ? …+ ) T1 T2 Tn 2 ? 1 2 n 3 4 n+ 2 ? ? ?

1? 1 1 ? 1 1 ?? 3 2n ? 3 ?( 1 ? 2 ) ? ? n ? 1 ? n ? 2 ? ? = 4 ? 2(n ? 1)(n ? 2) …………12分 2? ? ??

20 ) AE 的中点 M , 连接 (Ⅰ 取

B1M

BA ? AD ? DC ?
, 因为

1 BC ? a 2 ,

?ABE 为等边三角形,则
所以

B1M ?

3 a 2 ,又因为面 B1 AE ? 面 AECD ,

B1M ? 面 AECD ,……2 分

1 3 ? a3 V? ? a ? a ? a ? sin ? 3 2 3 4 …………4 分 所以

·6·

BD (Ⅱ )连接 ED 交 AC 于 O ,连接 OF ,因为 AECD 为菱形, OE ? OD ,又 F 为 1 的中点,所
以 FO ∥

B1 E ,所以 B1 E ∥面 ACF ……………8 分 ME , MD, MB1 为 x, y, z 轴

(Ⅲ )连接 MD ,分别以

a 3 a 3 3 E ( , 0, 0), C (a, a, 0), A( ? , 0, 0), D(0, a, 0), B1 (0, 0, a) 2 2 2 2 则 2 ??? ? a 3a ???? ???? a a 3a ???? a 3a 3a EC ? ( , , 0), EB1 ? (? , 0, ), AD ? ( , , 0), AB1 ? ( , 0, ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ……10 分

?a 3 ay? ? 0 ? x? ? ?2 2 ? ? 3 3 ?? a x? ? 3 az ? ? 0 ? u ? (1, ? , ) ? 2 ECB1 的法向量 v ? ( x?, y?, z ?) , ? 2 3 3 设面 ,令 x? ? 1 ,则 ?a ? x? ?2 ? ?a x ? ? ADB1 的法向量为 u ? ( x, y, z ) , ? 2 ? 设面


3 ay ? 0 2 ? 3 3 3 az ? 0 v ? (1, ? ,? ) 2 3 3 ……12 ,令 x ? 1 ,则

? ? cos ? u, v ??


1 1 1? ? 3 3 3 ? 1 1 1 1 5 3 1? ? ? 1? ? 3 3 3 3 ,所以二面角的余弦值为 5 ……12 分
( x, y ), 则直线PA, PB的斜率分别是 y ?1 y ?1 , . x x

21 解: (I)设动点 P 的坐标为

y ?1 y ?1 1 ? ?? . x 2 由条件得 x

x2 ? y 2 ? 1( x ? 0). 即 2

x2 ? y 2 ? 1( x ? 0). 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 2
(II)设点 M,N 的坐标分别是 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ).

-----(4 分)

当直线

l垂直于x轴时, x1 ? x 2 ? ?1, y1 ? ? y 2 , y12 ?
·7·

1 . 2

所以 QM ? ( x1 ? 2, y1 ) ? (?3, y1 ), QN ? ( x 2 ? 2, y 2 ) ? (?3,? y1 )

所以

QM ? QN ? 9 ? y12 ?

17 . 2

当直线 l不垂直于x轴时, 设直线l的方程为y ? k ( x ? 1).

? x2 ? ? y 2 ? 1, 得(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0. ?2 ? y ? k ( x ? 1) 由?

4k 2 2k 2 ? 2 x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 所以

???? ???? ? QM ? QN ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? y1 y2 . 所以
因为 y1 ? k ( x1 ? 1), y 2 ? k ( x 2 ? 1).

QM ? QN ? (k 2 ? 1) x1 x 2 ? (k 2 ? 2)( x1 ? x 2 ) ? k 2 ? 4 ?
所以

17 13 17 ? ? . 2 2 2(1 ? 2k ) 2

QM ? QN的最大值是
综上所述

17 . 2 因为 S ? ? tan ?MQN 恒成立

? ???? 1 ???? sin ?MQN | QM | ? | QN | sin ?MQN ? ? cos ?MQN 恒成立 即2
QM ? QN ?
由于

17 13 ? ? 0. 2 2(1 ? 2k 2 )

所以 cos ?MQN ? 0.

所以 QM ? QN ? 2? 恒成立。 所以 22 解: (Ⅰ)f(x)= f’(x)=x -

?的最小值为

17 . 4 ----12 分

1 1 x2lnx+x ( x ? 0 ) 2 16

1 16x2+16x-1 + 1= =0 16x 16x ………1 分

-2- 5 -2+ 5 ∴x1= ,x2= 4 4 -2+ 5 ∵(0, 4

?

单调减

?

-2+ 5 ,+∞)单调增 4
·8·

∴f(x)在 x=

-2+ 5 4

时取极小值………2 分

3 1 x2-2ax+ a2+ a 4 2 ( x ? 0) ………3 分 (Ⅱ)解法一:f’(x)= x 令 g(x)=x2-2ax+ 3 1 a2+ a, △=4a2-3a2-2a=a2-2a,设 g(x)=0 的两根 x1 , x 2 ( x1 ? x 2 ) 4 2

10 当△≤0 时 即 0≤a≤2,f’(x)≥0∴f(x)单调递增,满足题意………4 分 20 当△>0 时 即 a<0 或 a>2 时 3 1 2 (1)若 x1 ? 0 ? x 2 ,则 a2 + a<0 即- <a<0 时, 4 2 3 3 1 a2 + a 2 f (x) 在 (0, x 2 ) 上减, ( x 2 ,??) 上增 f’(x)=x+ 4 -2a x 在(0,+∞)单调增,不合题意………5 分 3 1 a2 + a 4 2 ,f’’(x)=1≥0 x2

∴f’(x)

?3 2 1 ? a ? a?0 2 ?4 ?a ? 0 2 (2)若 x1 ? x 2 ? 0 则 ? ,即 a≤- 时 f(x)在(0,+∞)上单调增,满足题意。6 分 3
?3 2 1 ? a ? a?0 2 ?4 ?a ? 0 (3) 若 0 ? x1 ? x 2 则 ?
2 或 0≤a≤2. ………8 分 3 2ax2-x+1 1 -2ax+1=- . x x 令 g?(x)=0, 2ax2-x 即

即 a>2 时

∴f(x)在(0,x1)单调增,(x1,x2)单调减,(x2,+∞)单调增,不合题意………7 分 综上得 a≤-

(Ⅲ) g(x)=-lnx-ax2+x,g?(x)=- +1=0,当 0<a<

1 时,Δ=1-8a>0,所以,方程 2ax2-x+1=0 的两个不相等的正根 x1,x2, 8

不妨设 x1<x2,则当 x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时,g?(x)<0,当 x∈(x1,x2)时,g?(x)>0, 1 1 所以,g(x)有极小值点 x1 和极大值点 x2,且 x1+x2= ,x1x2= . 2a 2a g(x1)+g(x2)=-lnx1-ax2+x1-lnx2-ax2+x2 1 2 =-(lnx1+lnx2)- =-ln(x1x2)+ 1 1 (x1-1)- (x2-1)+(x1+x2) 2 2

1 1 (x1+x2)+1=ln(2a)+ +1.………10 分 2 4a

1 1 令 h(a)=ln(2a)+ +1,a∈(0, ], 4a 8
·9·

则当 a∈(0,

1 1 1 4a-1 1 )时,h?(a)= - = <0,h(a)在(0, )单调递减 8 a 4a2 4a2 8

所以 h(a)>h(

1 )=3 8

-2ln2,即 g(x1)+g(x2)>3-2ln2. ………12 分

·10·


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