伤城文章网 > 数学 > 2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练8 平面向量线性运算及综合应用问题 理

2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练8 平面向量线性运算及综合应用问题 理


训练 8 平面向量线性运算及综合应用问题
(时间:45 分钟 满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2012·辽宁)已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是 ( A.a∥b C.|a|=|b| B.a⊥b D.a+b=a-b ).

2.已知向量 a,b 满足|a|=|b|=1,|a-b|=1,则|a+b|= ( A.1 B. 2 C. 3 D.2 ).

→ → → 1→ → 3.(2012·厦门质检)在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD= CA+λ CB,则 3 λ = ( A. 2 3 1 B. 3 1 C.- 3 2 D.- 3 ).

4.设△ABC 的三个内角为 A,B,C,向量 m=( 3sin A,sin B),n=(cos B, 3cos A), 若 m·n=1+cos(A+B),则 C= ( A. π 6 π B. 3 2π C. 3 D. 5π 6 ).

5.已知|a|=|b|=2,(a+2b)·(a-b)=-2,则 a 与 b 的夹角为 ( A. π 6 π B. 3 π C. 2 D. 2π 3 ).

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6. 已知向量 a=( 3,1), =(0, b -1), =(k, 3). a-2b 与 c 共线, k=________. c 若 则 7.设向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a| +|b| +|c| 的 值是________. 8.(2012·江苏)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD → → → → 上,若AB·AF= 2,则AE·BF的值是________.
2 2 2

1

三、解答题(本题共 3 小题,共 35 分) 9.(11 分)已知向量 a=(cos x,sin x),b=(-cos x,cos x),c=(-1,0). π (1)若 x= ,求向量 a,c 的夹角; 6 π 9π (2)当 x∈ , 时,求函数 f(x)=2a·b+1 的最大值. 2 8 10.(12 分)已知向量 a=(cos α ,sin α ),b=(cos β ,sin β ),c=(-1,0). (1)求向量 b+c 的长度的最大值; π (2)设 α = ,且 a⊥(b+c),求 cos β 的值. 4 11.(12 分)(2012·青岛二中模拟)已知△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 3sin

Ccos C-cos2C= ,且 c=3.
(1)求角 C; (2)若向量 m=(1,sin A)与 n=(2,sin B)共线,求 a、b 的值. 参考答案 训练 8 平面向量线性运算及综合应用问题 1.B [两边平方求解.由|a+b|=|a-b|,两边平方并化简得 a·b=0,又 a,b 都是非零 向量,所以 a⊥b.] 2.C [如图,∵|a|=|b|=|a-b|=1,

1 2

∴△AOB 为正三角形, ∴|a-b| =a +b -2a·b=2-2a·b=1, 1 ∴a·b= , 2 1 2 2 2 ∴|a+b| =a +b +2a·b=1+1+2× =3, 2
2 2 2

2

∴|a+b|= 3.] → → → → → → 2→ → 2 → → 1→ 2→ → 1→ 3. [由于AD=2DB, CD=CA+AD=CA+ AB=CA+ (CB-CA)= CA+ CB, A 得 结合CD= CA+ 3 3 3 3 3 2 → λ CB,知 λ = .] 3 4.C [依题意得, 3sin Acos B+ 3cos Asin B=1+cos(A+B), 3sin(A+B)=1+cos(A+B), 3sin C+cos C=1, π π 1 π π 7π 2sinC+ =1,sinC+ = .又 <C+ < , 6 6 2 6 6 6 π 5π 2π 因此 C+ = ,C= ,选 C.] 6 6 3 5.B [由(a+2b)·(a-b)=|a| +a·b-2|b| =-2,得 a·b=2,即|a|·|b|cos〈a,b〉
2 2

1 π =2,cos〈a,b〉= .故〈a,b〉= .] 2 3 6.解析 a-2b=( 3,1)-2(0,-1)=( 3,3), 又∵a-2b 与 c 共线,∴a-2b∥c, ∴ 3× 3-3×k=0,解得 k=1. 答案 1 7.解析 由题意:c=-(a+b),又因为(a-b)⊥c,a⊥b,
? ?? a-b? ·? a+b? =0, 可得? ? ?a·b=0
2 2 2

? ?|a|=|b|=1, ?? ? ?a·b=0
2 2

? |c| =(-a-b) =2,所以|a| +|b| +|c| =4. 答案 4 8.解析 以 A 为坐标原点,AB,AD 所在的直线分别为 x,y 轴建立直角坐标系,则 B( 2, → → 0),E( 2,1),D(0,2),C( 2,2).设 F(x,2)(0≤x≤ 2),由AB·AF= 2? 2x= 2 → → ? x=1,所以 F(1,2),AE·BF=( 2,1)·(1- 2,2)= 2. 答案 2

π 9.解 (1)当 x= 时, 6

a·c -cos x cos〈a,c〉= = 2 2 |a|·|c| cos x+sin x× ? -1?
=-cos x=-cos π 5π =cos . 6 6

2

+0

2

5π 因为 0≤〈a,c〉≤π ,所以〈a,c〉= . 6

3

(2)f(x)=2a·b+1=2(-cos x+sin xcos x)+1 π 2 =2sin xcos x-(2cos x-1)=sin 2x-cos 2x= 2sin2x- . 4 π 9π π 3π 因为 x∈ , ,所以 2x- ∈ ,2π , 2 8 4 4 π 2 π 3π 故 sin2x- ∈-1, .所以,当 2x- = , 4 2 4 4 π 即 x= 时,[f(x)]max=1. 2 10.解 (1)b+c=(cos β -1,sin β ),则 |b+c| =(cos β -1) +sin β =2(1-cos β ). ∵-1≤cos β ≤1,∴0≤|b+c| ≤4, 即 0≤|b+c|≤2. 当 cos β =-1 时,有|b+c|=2, 所以向量 b+c 的长度的最大值为 2. (2)由已知可得 b+c=(cos β -1,sin β ),
2 2 2 2

2

a·(b+c)=cos α cos β +sin α sin β -cos α =cos(α -β )-cos α .
∵a⊥(b+c),∴a·(b+c)=0, 即 cos(α -β )=cos α . π π π 由 α = ,得 cos -β =cos , 4 4 4 π π 即 β - =2kπ ± (k∈Z). 4 4 π ∴β =2kπ + 或 β =2kπ (k∈Z), 2 于是 cos β =0 或 cos β =1. 1 2 11.解 (1)∵ 3sin Ccos C-cos C= , 2 ∴ 3 1 π sin 2C- cos 2C=1,即 sin2C- =1, 2 2 6

π π π ∵0<C<π ,∴2C- = ,解得 C= . 6 2 3 (2)∵m 与 n 共线,∴sin B-2sin A=0, 由正弦定理 = ,得 b=2a,① sin A sin B ∵c=3,由余弦定理,得 9=a +b -2abcos
2 2

a

b

π ,② 3

4

联立方程①②,得?

?a= 3, ?b=2 3.

5


搜索更多“2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练8 平面向量线性运算及综合应用问题 理”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com