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2016届高考数学第一轮复习 第十一章 推理证明、算法初步、复数课件 理 北师大版


§11.1 合情推理与演绎推理

(见学生用书 P202) 1.了解合情推理的含义,能利 用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发 现中的作用.

2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式, 并能运用它们进行一些简单的推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 一、合情推理 1.合情推理的含义和分类: 所谓的合情推理,就是合 乎情理的推理,数学中常见的合情推理是 归纳推理 和 类比推理 . 2.归纳推理的定义:根据某类事物的部分对象具有的 某些特征,推出该类事物全部对象都具有这些特征的推理, 或者由 个别事实 概括出 一般结论 的推理,称为归

纳推理.简而言之,归纳推理是由 由 个别 到一般的推理.

部分



整体

,

3.归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某 些相同的性质;②从已知的相同的性质中推出一个明确表 述的一般性命题. 4.类比推理的定义:由两类对象具有某些 类似特征 和其中一类对象的 某些特征 ,推出另一类对象也具有 这种特征的推理称为类比推理.简而言之,类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理.

5.类比推理的一般步骤:①找出两类事物之间的 相 似性 或 一致性 ;②用一类事物的性质去推测另一类 事物的性质,得出一个命题(猜想). 在进行类比推理时要尽量从本质上类比,不要被表面 现象迷惑,否则,只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去 类比,那么就会犯机械类比的错误.例如:在平面内垂直同 一直线的两直线平行,类比在空间内垂直同一平面的两平 面平行,实际上是错误的.

二、演绎推理 1.演绎推理:从一般性的结论出发,推出某个特殊情况 下的结论,我们把这种推理称为演绎推理,也就是从 一般 到 特殊 的推理. 2.演绎推理的一般形式:演绎推理的一般形式是“三段 论”,包括:①大前提——已知的一般性原理;②小前提—— 所研究对象的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊 情况做出的判断(由大前提和小前提做出的判断). 三、合情推理与演绎推理的区别 归纳推理和类比推理是常见的合情推理,从推理的形 式上看,归纳推理是由部分到整体,个别到一般的推理;类 比推理是由特殊到特殊的推理.而演绎推理是由一般到特

殊的推理.从推理的结论来看,合情推理的结论不一定 正确,有待于进一步证明;而演绎推理在大前提、小前提和 推理形式都正确的前提下,得到的结论一定是正确的.

1.下面几种推理过程是演绎推理的是( ). A.两条直线平行,同旁内角互补,由此若∠A,∠B 是两 条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角,则∠A+∠ B=180° B.某校高三(1)班有 55 人,高三(2)班有 54 人,高三(3) 班有 52 人,由此得出高三所有班人数超过 50 人 C.由平面正三角形的性质,推测空间正四面体的性质 D.在数列{an}中,a1=1,an=2(an-1+ 出{an}的通项公式
1 1
-1

)(n≥2),由此归纳

两条直线平行,同旁内角互补——大前提,∠A,∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角——小前 提,∠A+∠B=180°——结论. 故 A 是演绎推理,而 B,D 是归纳推理,C 是类比推理.故 选 A. A

2.按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律,

写出后一种化合物的分子式是( A.C4H9 B.C4H10 C.C4H11

). D.C6H12

根据分子式的变化规律可知后一种化合物的分子 式是 C4H10. B

3.有一段演绎推理是这样的“直线平行于平面,则平行于 平面内所有直线.已知直线 b?平面α,直线 a?平面α,直线 b∥平面α,则直线 b∥直线 a”的结论显然是错误的,这是 因为( ). A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

直线平行于平面,则直线可与平面内的直线平 行、异面.故大前提错误. A

4.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量 , 在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求 出过点 A(-3,4),且法向量为 m=(1,-2)的直线(点法式)方 程为 1?(x+3)+(-2)?(y-4)=0,化简得 x-2y+11=0.类比以 上方法,在空间直角坐标系中,经过点 A(1,2,3),且法向量 为 n=(-1,-2,1)的平面方程为

.

类比直线方程求法得平面方程为(-1)?(x-1)+(2)?(y-2)+1?(z-3)=0,即 x+2y-z-2=0. x+2y-z-2=0

5.已知 cos
3π 1 7

π 1

= ,cos 3 2

π 5

cos

2π 1 5

=4,cos

π 7

cos

2π 7

cos

=8,…. .

根据以上等式,可猜想出的一般结论是

根据等式:cos
2π 7

π 1

= ,cos 3 2

π 5

cos

2π 1 5

=22 ,cos
2π 2 +1

π 7

cos

cos

3π 1 7

=23 ,…,
π 2 +1

可猜想出的一般结论是 cos

cos

…cos

= . 2 +1 2
cos
π 2 +1

π

1

cos

2π 2 +1

…cos

* = ( n ∈ N ) 2 +1 2

π

1

(见学生用书 P203) 1.合情推理(5 年 1 考) 2.演绎推理(5 年 5 考) 1.归纳推理 (2014 年陕西卷)观察分析下表中的数据: 多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10

立方体

6

8

12

猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式 是

.

由图中的数据观察可得 F+V-2=E. F+V-2=E

2.类比推理 (2009 年江苏卷)在平面上,若两个正三角形的边长的 比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4.类似地,在空间中,若 两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比 为

.

两个正四面体的高的比为 1∶2,底面积的比为 1∶ 4,所以这两个正四面体的体积比为 1∶8. 1∶8

(2014 年湖北卷)《算数书》竹简于上世纪八十年代在 湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的 数学典籍,其中记载有求“ 盖”的术:置如其周,令相乘也. 又以高乘之,三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其 体积 V 的近似公式 V≈ L2h,它实际上是将圆锥体积公式中
36 1 2

的圆周率π近似取为 3.那么近似公式 V≈75 L h 相当于 将圆锥体积公式中的π近似取为( A. 7
22

2

). D.113
355

B. 8

25

C. 50

157

设圆锥底面圆的半径为 r,高为 h,依题意,L=2πr, πr h= (2πr) h,
75
2

1 3

2

2

所以 π= π ,即π的近似值为 ,故选 B.
3 75 8

1

8

2

25

B 通过题意找到估算圆周率π的规律,从而求出π近 似值.

(见学生用书 P203) 题型 归纳推理 一 我国的 《洛书》 中记载着世界上最古老的一个幻方: 将 1,2,…,9 填入 3?3 的方格内,使三行、三列、两对角线 的三个数之和都等于 15,如图所示.一般地,将连续的正整 数 1,2,3,…,n2 填入 n?n 个方格中,使得每行、每列、每条 对角线上的数的和相等,这个正方形就叫作 n 阶幻方,

记 n 阶幻方的对角线上数的和为 Nn,如图所示的幻方记 为 N3=15,那么 N12 的值为( ). 492 357 816 A.869 B.870 C.871 D.875

根据图形的数字规律,可以分析 N3=

(1+9 )×9 2

3

=15,所以

N12 的求法也可以按照这样的规律求得.
因为 N3=
(1+9 )×9 2

3

=15,所以 N12=

(1+144 )×144 2

12

=870.

B 根据图象,找到其变化的规律是解决归纳问题的关 键.

集合{1,2,3,…,n}(n≥3)中,每两个相异的数作 乘积,所有这些乘积的和记为 Tn,如:

T3=1?2+1?3+2?3=2?[62-(12+22+32)]=11, T4=1?2+1?3+1?4+2?3+2?4+3?4 =2?[102-(12+22+32+42)]=35, T5=1?2+1?3+1?4+1?5+…+4?5 =2?[152-(12+22+32+42+52)]=85.
则 T7=
1 1

1

.(写出计算结果)

由变化规律可得

T7=1?2+1?3+…+1?7+2?3+…+6?7=2?[282(12+22+…+72)]=322. 322

1

题型 类比推理 二 当 x∈R,|x|<1 时,有如下表达式:1+x+x2+…

+x +…=

n

1

1-

.
0
1 2

两边同时积分得:

1dx+

0

1 2

xdx+

0

1 2

x2dx+…

+

0

1 2

x dx+…=
1 1

n

0 1- 1

1 2

1

dx,
1 1 1

从而得到如下等式: 1?2+2?(2) +3?(2) +…+ +1?(2)n+1+…=ln 2.
2 3

1

请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算:
0 1 2 C ? + C ?( )2+ C ?( )3+…+ 2 2 2 3 2 1 1 1 1 1 1 +1 C ? 1 2

( ) =

n+1

.

本题采用的方法是对等式两边采用积分,通过类比, 0 1 2 2 n 对C +C x+C x +…+C x =(1+x)n 两边进行积分,整理后可求 得结果. 0 1 2 2 n ∵C +C x+C x +…+C x =(1+x)n,两边同时积分得:
C 0 1
1 2

0 2 C 1 d 0

1

+

1 2 C d 0 0
1 2

1

+


2 2 C 0

1

2 d + … +

d =
3

1 + x)

?(2)

1 n+1 1 1 n+1 1 3 n+1 +…+ +1 C ?(2) = +1[(1+2) -1]= +1[(2) -1].
n+1 [( ) -1] +1 2

1

1 1 1 1 2 1 2 0 d,∴C ? + C ?( ) + C 2 2 2 3

1

3

解决类比的问题时,要先能清楚已有事物的属性或 方法,再在原有的基础上类比出新的结果.

在平面几何中,有勾股定理: “设△ABC 的两边 AB、 AC 互相垂直,则 AB2+AC2=BC2” .拓展到空间,类比平面几何的 勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可 以得出的正确结论是“设三棱锥 A—BCD 的三个侧面 ABC、

ACD、ADB 两两相互垂直,则

”.

如图,AO⊥平面 BCD 于点 O,由三个侧面两两互相垂 直可知三条侧棱 AB、AC、AD 两两互相垂直,故 O 为△BCD 的 垂心,在 Rt△DAE 中,AO⊥DE,有 AE2=EO?ED,
1 2 1 1 2 2 △ =4BC ?AE =(2BC?EO)(2

BC?ED)

=S△OBC?S△BCD. 2 2 同理△ =S =S△BCD?S△OBD, △BCD?S△OCD, △
2 2 2 2 故△ + + = . △ △ △ 2 2 2 2 △ + + = △ △ △

题型 演绎推理 三 已知函数 f(x)=ln x+x(x>0),g(x)=xe -1(x>0),证 明:g(x)≥f(x).
x

先构造函数 h(x)=g(x)-f(x),然后证明函数 h(x)在 x>0 上的最小值大于等于 0 即可证明出结论. x 令 h(x)=g(x)-f(x)=xe -ln x-x-1(x>0), 则 h'(x)=(x+1)e - -1=
x

1

+1

(xe -1)=

x

+1

g(x).

∵g'(x)=(x+1)ex>0(x>0), ∴函数 g(x)在(0,+∞)递增, 则 g(x)在(0,+∞)上的零点最多有一个. 又∵g(0)=-1<0,g(1)=e-1>0, ∴存在唯一的 c∈(0,1)使得 g(c)=0,且当 x∈(0,c) 时,g(x)<0;当 x∈(c,+∞)时,g(x)>0. 即当 x∈(0,c)时,h'(x)<0;当 x∈(c,+∞)时,h'(x)>0.

∴h(x)在(0,c)上递减,在(c,+∞)上递增, c 从而 h(x)≥h(c)=ce -ln c-c-1. c 由 g(c)=0 得 ce -1=0 且 ln c+c=0,∴h(c)=0, ∴h(x)≥h(c)=0, 从而证得 g(x)≥f(x).
对命题的证明一定要严格按照三段论式来证明,首 先确定好大前提与小前提 ,如果前提是明显的,则可以省略.

数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知

a1=1,an+1=

+2

Sn(n∈N*).证明:


(1)数列{ }是等比数列; (2)Sn+1=4an.

(1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= 故
+1 +1

+2

Sn,

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即 nSn+1=2(n+1)Sn. =2? .
+1 +1 -1 -1

故{ }是以 2 为公比,1 为首项的等比数列. (2)由(1)可知

=4?

(n≥2), ?Sn-1

∴Sn+1=4(n+1)?

-1 -1

=4?

-1+2 -1

=4an(n≥2). 又∵a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1, ∴对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.

(见精练案 P131) 一、选择题 1.22012 个位上的数字为( A.2 B.4 ). C.6

D.8

由 1 2 3 4 5 6 7 8 2 =2,2 =4,2 =8,2 =16,2 =32,2 =64,2 =128,2 =256,…,观察 4k 4k+1 4k+2 可知,2 的个位数为 6,2 的个位数为 2,2 的个位数为 4,24k+3 的个数为 8,k∈N,又 22012=24?503,所以 22012 的个位数为 6. C

2.“因为指数函数 y=a 是增函数(大前提),而 y=( ) 是指数
3

x

1

x

函数(小前提),所以 y=(3) 是增函数(结论)”,上面推理错 误的原因是( ). A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错

1

x

y=ax 是增函数这个大前提是错误的,从而导致结论
错. A

3.设△ABC 的三边长分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S,内切 圆半径为 r,则 r=
2 + +

.类比这个结论可知:四面体 P—ABC

的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径为 R, 四面体 P—ABC 的体积为 V,则 R 等于( ). A. C.
4 2
1 +2 +3 +4 1 +2 +3 +4

B. D.

3

1 +2 +3 +4 1 +2 +3 +4

因为△ABC 的三边长分别为 a,b,c,△ABC 的面积为

S,内切圆半径为 r,所以 S=2r(a+b+c),类比可得四面体 P— ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径为 R,所以 V=3R(S1+S2+S3+S4),则 R=
B
1 3
1 +2 +3 +4

1

.

4.从 1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…, 可以归纳出( ). A.1-4+9-16+…+(-n)2=(-1)n-1?
( +1) 2 ( +1) 2 ( -1) 2 ( -1) 2

B.1-4+9-16+…+(-1)n+1?n2=(-1)n-1? C.1-4+9-16+…+(-1) ?n =(-1) ? D.1-4+9-16+…+(-1) ?n =(-1) ?
n-1
2

n

2

n-1

n

由归纳法可得 B 正确. B

5.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,则归纳推理 可得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x) 为 f(x)的导函数,则 g(-x)等于( ). A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x)

由(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,可得偶函 数的导数为奇函数,因为 f(x)为偶函数,所以 g(x)为奇函数, 所以 g(-x)=-g(x). D

6.如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当⊥时,其 离心率为 A.
5 -1 2

,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭 ).
5 -1 2

圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率 e=(
5+1 2

B.

C. 5-1 D. 5+1

在“黄金双曲线”中,B(0,b),F(-c,0),A(a,0).

∵⊥,∴?=0, ∴b2=ac.而 b2=c2-a2, ∴c2-a2=ac. 2 2 在等号两边同除以 a 得 e -e-1=0,
又∵e>1,∴e= A
5+1 2

.

二、填空题 7.观察下列等式 13=1 3 3 1 +2 =9 3 3 3 1 +2 +3 =36 13+23+33+43=100 …… 照此规律,第 n 个等式可为

.

根据变化规律可得 1 +2 +…+n =(1+2+…

3

3

3

+n) =

2

2 (n+1) 4
3

2

.
3

1 +2 +…+n =

3

2 (n+1) 4

2

8.二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面 积)S=πr2;三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三 维测度(体积)V= πr3.应用合情推理,若四维空间中,“超球”
3 4

的三维测度 V=8πr3,则其四维测度 W=

.

观察可以发现在二维空间中:二维测度的导数是一 维测度;同样在三维空间中:三维测度的导数是二维测度. 类比可知在四维空间中: 三维测度 V=8πr3,所以其四维测 度 W=2πr4. 2πr4

9.将连续整数 1,2,…,25 填入如图所示的 5 行 5 列的表格 中,使每一行的数字从左到右都成递增数列,则第三列各数 之和的最小值为 ,最大值为

.

因为第 3 列前面有 2 列,共有 10 个数分别小于第 3 列的数,所以最小值为 3+6+9+12+15=45.因为第 3 列后面有 2 列,共有 10 个数分别大于第 3 列的数,所以最大值为 23+20+17+14+11=85. 45 85

三、解答题 10.已知椭圆具有性质:若 M,N 是椭圆 C 上关于原点对称的 两个点,点 P 是椭圆上任意一点,当直线 PM,PN 的斜率都存 在,并记为 kPM,kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 的位置无 关的定值.试对双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)写出具有类似特性 的性质,并加以证明.
2 2

类似的性质:若 M,N 是双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)上 关于原点对称的两个点,点 P 是双曲线上任意一点,当直线 PM,PN 的斜率都存在,并记为 kPM,kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是 与点 P 的位置无关的定值. 证明:设点 M,P 的坐标分别为(m,n),(x,y), 则 N(-m,-n). 因为点 M(m,n)在已知双曲线上, 所以 n = 2 m2-b2. 同理 y = 2 x2-b2.

2 2

2 2

2 2

则 kPM?kPN=

-

-

? + =

+

2 - 2 2

2 - 2 2

= ?

2 - 2 2

2 - 2 2

= (定值).

11.设 f(x)=ax+b,其中 a,b 为实 数,f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n=1,2,3,…,若 f7(x)=128x+381,求 a+b 的值.

由递推式可得 f2(x)=a x+ab+b, f3(x)=a3x+a2b+ab+b, f4(x)=a4x+a3b+a2b+ab+b, … f7(x)=a7x+a6b+…+ab+b=128x+381, 所以 a7=128,即 a=2, 又(a6b+a5b+…+ab+b)=b(1+a+…+a6)

2

=b?

1 -2 7 1 -2

=127b=381,所以 b=3.

故 a+b=5.

12.已知函数 f(x)=ln x+ ,k∈R. (1)若 k=1,求函数 f(x)的单调区间; (2)设 g(x)=xf(x)-k,若对任意的两个实数 x1,x2 满足 0<x1<x2, 总存在 x0>0,使得 g'(x0)=
( 1 )-g ( 2 ) 1 - 2



成立,证明:x0>x1.

(1)当 k=1 时,函数 f(x)=ln x+ (x>0),


1

则 f'(x)= - 2 = 2 . 当 f'(x)<0 时,0<x<1,当 f'(x)>0 时,x>1,则函数 f(x) 的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞). (2)g(x)=xf(x)-k=xln x,g'(x)=ln x+1. 因为对任意的 x1,x2(0<x1<x2)总存在 x0>0,使得

1

1

-1

g'(x0)=

( 1 )-g ( 2 ) 1 - 2

成立,
( 1 )-g ( 2 ) 1 - 2

所以 ln x0+1=

,

即 ln x0+1= 则 ln x0-ln

1 ln 1 - 2 ln 2 1 - 2

,

1 ln 1 - 2 ln 2 x1= -1-ln 1 - 2
ln 1 +1- 1 2

x1

=

2 ln 1 - 2 ln 2 + 2 - 1 2 2 = . 1 -1 1 - 2 1

设φ(t)=ln t+1-t,其中 0<t<1,则φ'(t)= -1>0,因此

φ(t)在区间(0,1)上单调递增,φ(t)<φ(1)=0,又 -1<0.
2

1

所以 ln x0-ln x1>0,即 x0>x1.

§11.2

直接证明、间接证明与数学归纳法

(见学生用书 P205) 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法; 了解分析法和综合法的思考过程、特点. 2.了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反 证法的思考过程、特点.

3.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些 简单的命题. 一、证明 证明分为直接证明与间接证明:直接证明的两种基本 方法是 综合法 、 分析法 ;间接证明的一种基本方法 是 反证法 . 二、直接证明 1.综合法是“ 由因导果 ”,它是从条件出发,顺着 推证,经过一系列的推理,最后导出所证结论的真实性.用

综合法证明命题的逻辑关系:A?B1?B2?…?Bn?B(A 为 已知条件或数学定义、定理、公理,B 为要证的结论). 2.分析法是 “ 执果索因 ” ,它是从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,要把证明的结论 归结为判定一个明显成立的条件 (已知条件、定理、定义、 公理等)为止. 错误地认为分析法是用结论去证前提,实际上分析法 是从结论出发,经过推理证明,得到已证的命题(定义、定 理、公式、公理、法则等).

三、间接证明 1.反证法是先假设 原命题不成立 ,从原命题的反 面出发,经过正确的推理,最后得出 矛盾 .因此说明假 设错误,从而证明了原命题成立. 2.用反证法证明问题的一般步骤: 第一步反设:假定所要证的结论不成立,而设结论的反 面成立(否定结论); 第二步归谬法:将“反设”作为条件,由此出发经过正 确的推理,得出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理及 明显的事实矛盾或自相矛盾(推出矛盾); 第三步存真:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于 “反设”的错误,则原命题结论成立.

反设不恰当.例如:在证明命题“若 a,b,c 均为实数,且

a=x2-2y+ 2 ,b=y2-2z+ 3 ,c=z2-2x+ 6 ,求证:a,b,c 中至少有一
个大于 0”时反面假设为“a,b,c 都小于 0”是错误的. 四、数学归纳法 1.归纳法是由一系列有限的特殊实例得出一般结论的 推理方法叫归纳法.根据推理过程中考察的对象是涉及事 物的全体或部分可分为 完全 归纳法和不完全归纳法. 2.数学归纳法的整题步骤: 第一步:证明当 n 取第一个值 n=n0(n∈N*)时,命题成立;

π

π

π

第二步:假设 n=k (k≥n0,k∈N )时,命题成立,证明 当 n=k+1 时,命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定对于从 n0 开始的所有 正整数 n 都成立. (1)错误地认为第一步都是 n=1 时命题成立.例如:证明 n 2 * 2 >n ,n≥5,n∈N 成立. (2)没有认识到第二步中的“假设 n=k 时命题成立”是 作为条件要来推出“当 n=k+1 时,命题成立”.

*

(3)从 k 到 k+1 时命题中没有注意项与项数的变化,对 项数估算错误.例如:证明 1+2+3+…+ 项数增加了 2k 项,而不是 1 项. 1.在用反证法证明命题 “已知 a、 b、 c∈(0,2),求证 a(2-b)、 b(2-c)、c(2-a)不可能都大于 1”时,要做的假设是( ). A.假设 a(2-b)、b(2-c)、c(2-a)都小于 1 B.假设 a(2-b)、b(2-c)、c(2-a)都大于 1 C.假设 a(2-b)、b(2-c)、c(2-a)都不大于 1 D.假设 a(2-b)、b(2-c)、c(2-a)都不小于 1
1 1 1 2 -1

>2 ,从 k 到 k+1 时的



“不可能都大于 1”的否定是“都大于 1”,故选 B. B

2.已知函数 f(x)=x -cos x,则 f(0.6),f(0),f(-0.5)的大 小关系是( ). A.f(0)<f(0.6)<f(-0.5) B.f(0)<f(-0.5)<f(0.6) C.f(0.6)<f(-0.5)<f(0) D.f(-0.5)<f(0)<f(0.6)

2

因为函数 f(x)=x2-cos x 是偶函数,且在(0,π)上 是增函数, 所以 f(0)<f(0.5)=f(-0.5)<f(0.6). 故选 B. B

3.已知 n 为偶数,用数学归纳法证明 1- + - +…+
2 3 4 1 1 1 1

1 1 1

1

-1

-

=2( +2+ +4+…+2 )时,若已假设 n=k(k≥2 且 k 为偶数)时

命题为真,则还需要用归纳假设再证( ). A.n=k+1 时等式成立 B.n=k+2 时等式成立 C.n=2k+2 时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立

因为条件是 n 为偶数,所以假设 n=k(k≥2 且 k 为 偶数)时命题为真,则下一个要推导的是 n=k+2 时等式成立. B

4.如果 a +b >a +b 成立,则 a,b 应满足的条件 是

.

如果 a +b >a +b 成立,则 a -a >b -

b ,a≥0,b≥0,即(a-b)( - )>0,a≥0,b≥0,所以 a,b
应满足的条件是 a≥0,b≥0 且 a≠b. a≥0,b≥0 且 a≠b

5.对于函数 f(x)=x +ax -x+1,有下列说法: ①该函数必有两个极值点; ②该函数的极大值必大于 1; ③该函数的极小值必小于 1; ④该函数必有三个不同的零点. 其中正确结论的序号为 .(写出所有正确结论序 号)

3

2

因为 f'(x)=3x +2ax-1,且方程 3x +2ax-1=0 有一正 2 一负根,所以①正确.设方程 3x +2ax-1=0 的两根分别为 x1,x2,且 x1<0<x2,根据导数与单调性的关系可知,f(x)在 (x1,x2)上为减函数,又因为 f(0)=1,所以 f(x1)>1,f(x2)<1, 所以②③也正确.当 f(x2)>0 时,该函数只有一个零点,所以 ④不正确.

2

2

①②③
(见学生用书 P206) 1.直接证明(5 年 5 考) 2.间接证明反证法(5 年 1 考)

3.数学归纳法(5 年 1 考) 1.直接证明 (2014 年辽宁卷)已知 a=2 ,b=log2 ,c=log 1 ,则
3
2

-

1 3

1

1 3

(

). A.a>b>c

B.a>c>b

C.c>a>b

D.c>b>a

0<a=2 <2 =1,b=log23<0,c=log 1 3>1,所以选 C.
0

-

1 3

1

1

2

C

2.间接证明 (2014 年山东卷)用反证法证明命题“设 a,b 为实数, 3 则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设是 ( ). A.方程 x3+ax+b=0 没有实根 3 B.方程 x +ax+b=0 至多有一个实根 3 C.方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根

至少有一个实根的否定是没有一个实根,所以选 A. A

(2012 年湖北卷)(1)已知函数 f(x)=rx-x +(1-r)(x>0), 其中 r 为有理数,且 0<r<1.求 f(x)的最小值; (2)试用(1)的结果证明如下命题:设 a1≥0,a2≥0,b1,b2 为正有理数,若 b1+b2=1,则
1 1

r

≤a1b1+a2b2;
2

2

(3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳 .... 法 证明你所推广的命题. . 注:当α为正有理数时,有求导公式(xα)'=αxα-1.

(1)f'(x)=r-rx =r(1-x ),令 f'(x)=0,解得 x=1. 当 0<x<1 时,f'(x)<0,所以 f(x)在(0,1)内是减函数; 当 x>1 时,f'(x)>0,所以 f(x)在(1,+∞)内是增函数. 故函数 f(x)在 x=1 处取得最小值 f(1)=0. (2)由(1)知,当 x∈(0,+∞)时,有 f(x)≥f(1)=0,即 xr ≤rx+(1-r), ① 若 a1,a2 中有一个为 0,则 在①中令 即
1 1 1 1

r-1

r-1

≤a1b1+a2b2 成立;
2

2

若 a1,a2 均不为 0,又 b1+b2=1,可得 b2=1-b1,于是
1 1 1 x= ,r=b1,可得( ) ≤b1? +(1-b1), 2 2 2 1
1 - 1 2 1 1 2

≤a1b1+a2(1-b1),亦即

≤a1b1+a2b2.
2

综上,对 a1≥0,a2≥0,b1,b2 为正有理数且 b1+b2=1, 总有
1 1

≤a1b1+a2b2. ②
2

2

(3)(2)中命题的推广形式为 设 a1,a2,…,an 为非负实数,b1,b2,…,bn 为正有理数. 若 b1+b2+…+bn=1,则
1 1


2

2



≤a1b1+a2b2+…+anbn.


用数学归纳法证明如下: ⅰ当 n=1 时,b1=1,有 a1≤a1,即③成立.

ⅱ假设当 n=k 时,③成立,即若 a1,a2,…,ak 为非负实
数,b1,b2,…,bk 为正有理数,且 b1+b2+…+bk=1,则
1 1 2 2







≤a1b1+a2b2+…+akbk.

当 n=k+1 时,已知 a1,a2,…,ak,ak+1 为非负实 数,b1,b2,…,bk,bk+1 为正有理数, 且 b1+b2+…+bk+bk+1=1,此时 0<bk+1<1,即 1-bk+1>0,于是
1 1


2

2



?

+1 +1

=( …
1 2 2 1 - +1 2

1

2

)

+1 +1

=(

1 1 - +1 1





1 - +1

)

1- +1



+1 +1

.



1

1- +1 1- +1

+

2

+…+




1- +1

=1 由归纳假设可得
1

1 1 - +1 1



2 1 - +1 2



1 - +1

≤a1? ,

1- +1

+a2?

2

1- +1

+…

+ak?



1- +1

=

1 1 + 2 2 +…+ 1- +1
2 +1 +1

从而 ≤(

1 1


2



1 1 + 2 2 +…+ 1- +1

)

1 - +1



+1 +1

.

又因(1-bk+1)+bk+1=1,

由②得( ≤

1 1 + 2 2 +…+ 1- +1

)

1- +1



+1 +1

1 1 + 2 2 +…+ 1- +1
1 1 2

?(1-bk+1)+ak+1bk+1
+1 +1

=a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1,
从而 …
2



≤a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1.

故当 n=k+1 时,③成立. 由ⅰⅱ可知,对一切正整数 n,所推广的命题成立. 本题主要考查利用导数求函数的最值 ,并结合推理, 考查数学归纳法,对考生的归纳推理能力有较高要求.

(见学生用书 P206) 题型 直接证明的综合使用 一 已知 m,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面, 给出四个命题: ①若α∩β=m,n?α,n⊥m,则α⊥β; ②若 m⊥α,m⊥β,则α∥β; ③若 m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β; ④若 m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.

其中是真命题的是( A.①② B.②③

). C.①④ D.②④

对于立体几何命题的判断,可采用多种证明方法, 可以画图进行判断是否成立,也可以从结论出发,来判断条 件是否满足;还可以直接利用综合法来证明. 对于选项 A、 C、 D 通过条件画出对应的直线和平面, 发现结论不一定成立;对于 B 采用综合法可以直接证明结论 是正确的. B 立体几何命题的判断一直是高考命题的一个热点, 不仅考查学生对立体几何基本的公理、定理、性质等的了 解程度,也考查学生的推理和证明的能力.

在实数集 R 中定义一种运算“*”,对任意 a,b∈ R,a*b 为唯一确定的实数,且具有性质: (1)对任意 a∈R,a*0=a; (2)对任意 a,b∈R,a*b=ab+(a*0)+(b*0). 关于函数 f(x)=(ex)* 的性质,有如下说法:①函数 f(x)
e 1

的最小值为 3;②函数 f(x)为偶函数;③函数 f(x)的单调递 增区间为[0,+∞). 其中所有正确说法的个数为( ). A.0 B.1 C.2 D.3

f(x)=(ex)*e =ex?e +ex+e =ex+e +1.
由 e +e ≥2 e ? e =2,知 f(x)≥2+1=3,当且仅当 x=0
x

1

1

1

1

1

1

时“=”成立,故①正确.

f(-x)=e +
正确.
x

-x

1

e - 1

+1=e +e +1=f(x),则 f(x)是偶函数,故②
x

x

1

f'(x)=(e +e +1)'=e -e = e , ∵x≥0,∴f'(x)≥0,且当 x=0 时,f'(x)=0,故③正确. 综上所述,可知选 D.
D

1 e 2 -1

题型 综合法与放缩法的综合应用 二 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S1=2,Sn+1=3Sn+2(n=1,2,3,…). (1)求证:数列{Sn+1}为等比数列; (2)设 bn= 2 ,求证:b1+b2+…+bn<1.




第(1)问对条件 Sn+1=3Sn+2 进行变形,然后利用等比 数列的定义证明{Sn+1}为等比数列;第(2)问,求出数列{bn} 的通项,根据通项的特点,进行放缩,然后利用裂项法证明 不等式. (1)∵Sn+1=3Sn+2,∴Sn+1+1=3(Sn+1), 又∵S1+1=3,∴{Sn+1}是首项为 3,公比为 3 的等比数列, n * 且 Sn=3 -1,n∈N . (2)当 n=1 时,a1=S1=2, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=3n-1(3-1)=2? 3n-1. 故 an=2?3n-1,n∈N*.

∵bn=

2×3 -1
2

(3 -1) 1

<

2×3 -1

b1+b2+…+bn<2+( +(
1 3 -1 -1

(3 -1 -1)(3 -1) 3 -1 -1 3 -1 1 1 1 1

=

1

-

1

(n≥2),∴

3 1 -1 3 2 -1 1

-

)+(

3 2 -1 3 3 -1

-

)+…

-

1

3 -1

)= + -

1 1

2 2 3 -1

<1.

对于不等式的证明,往往可以多种方法并用,不要 机械地套用,要根据实际情况,结合不等式的特点,采用合 理的证明方法.

数列{an}满足 a1=3,且 n≥2 时,an=
1


1

-1

2- -1

.

(1)设 bn= -1,求证:数列{bn}为等比数列,并求数列{an} 的通项; (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,求证:对任意的正整数

n 都有3(1-2 )≤Sn<6.

2

1

5

(1)因为当 n≥2 时,an=
1

-1

2- -1

,则 =


1

2- -1 -1

=

2
-1

-1,又

bn= -1,所以当 n≥2 时,bn=2bn-1,


所以数列{bn}是公比为 2 的等比数列,则 -1=( -1)?
1

1

1

2 ,得 an=

n-1

1

1+2

.
1 1 1 2(1+2 -1 ) 2 1 2 -1

(2)由于 an>2+2 =
1

= an-1, a1,

1

因此 an>2an-1>22 an-2>…>


1

1- 2 1 2 a1+a2+…+an≥3(1+2+…+ -1 )=3? 1 =3(1-2 ),又 12 1 1 1 1 1
2

1

an=1+2 <2 ,
所以从第二项开始放缩:
1 (2) [1-(2) a1+a2+…+an<3+22 +…+2 <3+ 1 11 1 1
2 1 2 1 -1

] 5

=6-(2)n<6.

1

5

因此3(1-2 )≤Sn<6.

2

1

5

题型 间接证明 三 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列.该数 列前 n 项的最大值记为 An,第 n 项之后各项 an+1,an+2,…的最 小值记为 Bn,dn=An-Bn. (1)若{an}为 2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为 4 的 数列(即对任意 n∈N*,an+4=an),写出 d1,d2,d3,d4 的值; (2)设 d 是非负整数.证明:dn=-d(n=1,2,3,…)的充分 必要条件为{an}是公差为 d 的等差数列; (3)证明:若 a1=2,dn=1(n=1,2,3,…),则{an}的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为 1.

第(1)问直接根据题意求得 ;第(2)问用直接法证明, 第(3)问仍采用反证法来证明. (1)d1=d2=1,d3=d4=3. (2)(充分性)因为{an}是公差为 d 的等差数列,且 d≥0, 所以 a1≤a2≤…≤an≤…. 因此 An=an,Bn=an+1,dn=an-an+1=-d(n=1,2,3,…), (必要性)因为 dn=-d≤0(n=1,2,3,…),所以 An=Bn+dn≤

Bn.
又因为 an≤An,an+1≥Bn,所以 an≤an+1. 于是,An=an,Bn=an+1. 因此 an+1-an=Bn-An=-dn=d, 即{an}是公差为 d 的等差数列.

(3)因为 a1=2,d1=1,所以 A1=a1=2,B1=A1-d1=1. 故对任意 n≥1,an≥B1=1. 假设{an}(n≥2)中存在大于 2 的项. 设 m 为满足 am>2 的最小正整数, 则 m≥2,并且对任意 1≤k<m,ak≤2. 又因为 a1=2,所以 Am-1=2,且 Am=am>2. 于是,Bm=Am-dm>2-1=1,Bm-1=min{am,Bm}≥2. 故 dm-1=Am-1-Bm-1≤2-2=0,与 dm-1=1 矛盾. 所以对于任意 n≥1,有 an≤2,即非负整数列{an}的各项 只能为 1 或 2. 因为对任意 n≥1,an≤2=a1,所以 An=2. 故 Bn=An-dn=2-1=1.

因此对于任意正整数 n,存在 m 满足 m>n,且 am=1,即数 列{an}有无穷多项为 1. 反证法证明的关键:(1)准确反设;(2)从否定的结 论正确推理;(3)得出矛盾. 已知函数 f(x)=ln x+x2,设 F(x)=2f(x)-3x2-kx,k ∈R,若函数 F(x)存在两个零点 m,n(0<m<n),且满足 2x0=m+n, 证明:曲线 F(x)在(x0,F(x0))处的切线不能平行于 x 轴.

假设 F(x)在(x0,F(x0))的切线平行于 x 轴,其中 F(x)=2ln x-x2-kx, 又根据题意有 2ln m-m2-km=0,2ln n-n2-kn=0,相减得 2ln -(m+n)(m-n)=k(m-n).
2 2

∵F'(x0)= -2x0-k=0,∴k= -2x0.
0 0

又∵m+n=2x0,k= + -(m+n),
2( - ) 2( -1) ∴ln = + = . +1


4

设 u= ∈(0,1),则 ln u



2( -1) +1

=0(u∈(0,1)).

设 y=ln u-

2( -1) +1

(u∈(0,1)),

则 y'=

1 2( +1)-2( -1) ( +1) -4u ( +1)
2

=

2

( +1)

2

=

( -1)

2 2

( +1)

>0,

∴函数 y=ln u因此 y<y 即 ln <


2( -1) +1

在(0,1)上单调递增,
2( -1) +1

=0,即 ln u-

<0.


=1 2( -1)


2( - ) 2( -1) ,∴ln = = ,无解. + +1 +1


∴F(x)在(x0,F(x0))处的切线不能平行于 x 轴.

题型 数学归纳法 四 设 a>0,函数 f(x)=
1

2 +a

.
1

(1)证明:存在唯一实数 x0∈(0, ),使 f(x0)=x0; (2)定义数列{xn}中 x1=0,xn+1=f(xn)(n∈N*),对(1)中的 x0,求证:对任意正整数 n 都有 x2n-1<x0<x2n.

第(1)问根据零点的存在性定理来判断;第(2)问根 据问题的特点采用数学归纳法来证明. (1) 2 +a =x?x +ax-1=0.
3

1

令 g(x)=x3+ax-1, 因为 g'(x)=3x2+a>0,g(0)=-1<0,g( )= 3 >0, 所以有且只有一个实数 x0∈(0, ),使 f(x0)=x0.
1 1 1

(2)①x1=0,x2= ,所以 x0∈(x1,x2).

1

②假设 x2k-1<x0<x2k(k≥1),由 f(x)= 2 +a 在(x1,x2)上递减,


1

f(x2k-1)>f(x0)>f(x2k)(k≥1),即 x2k>x0>x2k+1(k≥1),

则 f(x2k)<f(x0)<f(x2k+1),所以 x2k+1<x0<x2k+2. 所以 n=k+1 时命题成立. * 所以 x2n-1<x0<x2n 对 n∈N 成立. 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题 的证明方法,它的表述严格而且规范,两个步骤缺一不可. 第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归 纳假设起着 “已知条件” 的作用,在 n=k+1 时一定要运用它.

如 图,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(0<y1<y2<…<yn)是曲线 C:y2=3x(y≥0)上的 n 个点,点 Ai(ai,0)(i=1,2,3,…,n)在 x 轴的正半轴上,且△Ai-1AiPi 是正三角形(A0 是坐标原点). (1)写出 a1,a2,a3; (2)求出点 An(an,0)(n∈N*)的横坐标 an 关于 n 的表达式 并证明.

(1)A0P1 所在的直线方程为 y= 3x, = 3x, 由 2 得 P1(1, 3),则 A1(2,0), = 3x, 同理 A2(6,0),A3(12,0),即 a1=2,a2=6,a3=12. (2)依题意,得 xn=
2 由 =3?xn 得(
2

-1 + 2

,yn= 3?
3 2

- -1 2

,

3?

- -1 2

)2= (an+an-1),即

(an-an-1) =2(an-1+an). 由(1)可猜想:an=n(n+1)(n∈N*). 下面用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,命题显然成立;

②假设当 n=k 时命题成立,即有 ak=k(k+1),则当 n=k+1 2 时,由归纳假设及(ak+1-ak) =2(ak+ak+1),得 2 [ak+1-k(k+1)] =2[k(k+1)+ak+1],即 2 2 2( k +k+1)ak+1+[k(k-1)]?[(k+1)(k+2)]=0, +1 解之得,ak+1=(k+1)(k+2)(ak+1=k(k-1)<ak 不合题意,舍 去),即当 n=k+1 时成立.由①②知,命题成立.

(见精练案 P133) 一、选择题 1.设 a、b、c 表示三条直线,α、β表示两个平面,则下列 命题中不正确的是( ).

⊥ A. ?c⊥β ∥ ⊥ B. ? ?b⊥c 是在内的射影 ∥ C. ? ?c∥α ? ∥ D. ?b⊥α ⊥

对于选项 D,可能还有 b∥α,所以 D 不正确. D

2.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三 个内角的正弦值,则( ). A.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C.△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形 D.△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形

由条件知△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则 △A1B1C1 是锐角三角形.假设△A2B2C2 是锐角三角形, sin 2 = cos 1 = sin( 由 sin 2 = cos 1 = sin( sin 2 = cos 1 = sin( 2 = 得 2 = 2 =
π 2 π 2 π 2 π 2 π

-1 ), -1 ),

2 π 2

-1 ),

-1 , -1 , -1 .

那么 A2+B2+C2= ,这与三角形内角和为 180°相矛盾.
2

π

所以假设不成立,故△A2B2C2 是钝角三角形. D

3.设 a,b∈R,若 b-|a|>0,则下列不等式中正确的是( 2 2 3 3 A.a-b> B.a+b>0 C.a -b >0 D.a +b <0

).

由 b-|a|>0 得 b>|a|.若 a≥0,则有 b>a≥0,所以 a+b>0;若 a<0,则有 b>-a,所以 a+b>0.综上恒有 a+b>0. B

4.不相等的三个正数 a,b,c 成等差数列,并且 x 是 a,b 的 等比中项,y 是 b,c 的等比中项,则 x2,b2,y2 三个数( ). A.成等比数列而非等差数列 B.成等差数列而非等比数列 C.既成等差数列又成等比数列 D.既非等差数列又非等比数列

+ = 2, 由已知条件,可得 2 = ab, ② 2 = bc. ③ 由②③得 = =
2 2



, 2 2 代入①,得 + =2b, ,

即 x2+y2=2b2. 2 2 2 故 x ,b ,y 成等差数列. B

5.已知数列{an}中,a1=1,an+1= 2 + ,猜想 an=( A.2cos C.2cos
π 3?2 π 3?2 +1

).

B.2cos

π 3?2 -1 π 3?2

D.2sin

由 a1=1,可求得 a2= 3,代入检验可知 A、C、D 不正 确,所以选 B. B

6.对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足 '( )≤0,则必有 ( ). A.f(0)+f(2)>2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C.f(0)+f(2)<2f(1) D.f(0)+f(2)≥2f(1)

1-

当 x<1 时,f'(x)<0,函数 f(x)递减; 当 x>1 时,f'(x)>0,函数 f(x)递增. 即当 x=1 时,函数取得极小值同时也是最小值 f(1),所 以 f(0)>f(1),f(2)>f(1),即 f(0)+f(2)>2f(1). A

二、填空题 7.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数 f(x)在 [0,1]上有意义,且 f(0)=f(1),如果对于不同的 x1,x2∈ [0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证:|f(x1)-f(x2)|< .
2 1

那么他的反设应该是

.

?x1,x2∈[0,1],使得|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,则

|f(x1)-f(x2)|≥2
8.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n?1?3?…? (2n-1),从 k 到 k+1,左边需要增乘的代数式为

1

.

当 n=k 时,左边=(k+1)(k+2)…(k+k). 当 n=k+1 时,左边=(k+2)(k+3)… (k+k)(k+1+k)(k+1+k+1) =(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2) =2(2k+1)[(k+1)(k+2)…(k+k)], 所以应乘 2(2k+1). 2(2k+1)

9.2?4?6?8?10 与

1

3

5

7

9

1 11

中较大值的是

.

( ? ? ? ? )2<( ? ? ? ? )( ? ? ? ?
2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 3 5 7 9 10 11

1

3

5

7

9

1

3

5

7

9

2

4

6

8

)= .
11 1 11

1

三、解答题 10.已知数列{an}的前 n 项和为

Sn,a1=2,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,….
(1)证明:数列{ (2)设 bn=
3 +3 +1

1

Sn}是等差数列,并求 Sn;
5 12

2 ,求证:b1+b2+…+bn< .

(1)由 Sn=n an-n(n-1), 2 知当 n≥2 时,Sn=n (Sn-Sn-1)-n(n-1), 2 2 即(n -1)Sn-n Sn-1=n(n-1),

2



+1

Sn-



-1

Sn-1=1,对 n≥2 成立.

又∵

1+1

∴{


1 +1

S1=1,
2 1

+1

Sn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列.
1 1 1

Sn=1+(n-1)?1,∴Sn= +1.
1 1 1 1 1 1 1 1 1

(2)bn= 3 +3 = = ( - ), 2 ( +1)( +3) 2 +1 +3

∴b1+b2+…+bn=2(2-4+3-5+…+ - +2+ +1- +3)

=2(6- +2- +3)<12 .

1 5

1

1

5

11.设 n 为正整数,f(n)=1+2+3+…+ ,判断 f(2 )与 小关系,并证明.

1 1

1

n

+2 2

的大

f(2)=2,f(4)>2,所以猜想 f(2n)≥
下面用数学归纳法证明:
3

3

+2 2

.

①当 n=1 时,f(2)=2;当 n=2 时,f(4)>2. ②假设当 n=k 时,f(2k)≥
则当 n=k+1 时,
k+1

+2 2

,
1 +2 2

f(2 )=1+2+3+…+2 +2 +1+…+2 +2 ≥ = 2 +2
1 +3 2

1 1

1

1

+2k?

,
+2 2

所以当 n=k+1 时结论也成立. 综合①②可知 f(2n)≥

.

12.已知椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,短 轴两个端点为 A、B,且四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形. (1)求椭圆方程; (2)若 C、D 分别是椭圆长轴的左、右端点,动点 M 满足 MD ⊥CD,连接 CM,交椭圆于点 P,证明:? 为定值.

2 2

(1)∵a=2,b=c,a =b +c ,∴b =2,∴椭圆方程为
2 2 4

2

2

2

2

+ 2 =1.
(2)点 C(-2,0),D(2,0),设点 M(2,y0),P(x1,y1),则

=(x1,y1),=(2,y0), 直线 CM:
-2 -0 4

=

0
2

,即 y= 40 x+2y0,
2 0



1

2 2 代入椭圆 x +2y =4,得(1+ )x2+ 0 x+ 0 -4=0,
2

1 2

1 2

8

∵-2x1=

2 -8 ) 4(0 2 +8 0

,∴x1=8
0

2 -8 ) 2(0 2 +8 0

0 ,∴y1= 2 +8 , 0

8

∴=(-

2 -8 ) 2(0 2 +8 0

0 , 2 +8 ),

∴ ?=-

2 -8 ) 4( 0 2 +8 0

+ 2 +8=
0

2 8 0

2 +32 4 0 2 +8 0

=4(定值).

§11.3 算 法 初 步

(见学生用书 P209) 1.算法的含义、程序框图 (1)了解算法的含义、了解算法的思想.

(2)理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分 支、循环. 2.基本语句 理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋 值语句、条件语句、循环语句的含义. 一、算法的含义、程序框图 1.算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的 程序或步骤,这些程序或步骤必须是确定的和能执行的,而 且能够在有限步之内完成,所以算法的三个特性是: 确定 性 、 可行性 、 有限性 .

2.算法的三种描述语言:自然语言、 程序设计语言

程序框图



.

3.程序框图又称流程图,是一种用 程序框 、 流 程线 及文字说明来表示算法的图形.基本的程序框有:起 止(终端)框、 输入 框、 输出 框、 处理 框、 判断 框.
条件结构 循环结构 (选择结构) 由若干个依次执行 算法的流程根据条件是否 从某处开始,按照一定 的步骤组成,这是任 成立有不同的流向,条件 的条件反复执行某些步 何一个算法都离不 结构就是处理这种过程的 骤的情况,反复执行的 开的基本结构 结构 步骤称为循环体 顺序结构

4.三种基本逻辑结构
名称 内容 定 义

程 序 框 图

(1)赋值号左边只能是变量(不是表达式),在一个赋值 语句中只能给一个变量赋值.例如:x=y=2 是错误的. (2)对条件结构来说,无论判断框中的条件是否成立,都 只能执行两个分支中的一个,不能同时执行两个分支. (3)对循环结构来说,容易出错的地方:①判断条件把握 不准;②循环次数搞不清楚;③初始条件容易代错;④终止条 件把握不清.

二、基本语句 1.三种基本语句的一般格式与功能 语句 一般格式 输入语句 INPUT“提示内容”;变量 输出语句 PRINT“提示内容”;表达式 赋值语句 2.条件语句 条件语句与程序框图中的 条件语句的格式 (人教 A 版) 变量=表达式

功能 输入信息 输出结果 将表达式的值 赋给变量

条件结构 相对应.

IF 条件 THEN 语句体 END IF 或 IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF (北师大版) If 条件 Then 语句 1 Else 语句 2

End If 3.循环语句 算法中的 循环结构 是由循环语句来实现的. 循环语句的格式 (人教 A 版) UNTIL 语句 Do 循环体 LOOP UNTIL 条件 WHILE 语句 WHILE 条件 循环体

WEND (北师大版) For 语句 For 循环变量=初始值 To 终值 循环体 Next Do Loop 语句 Do 循环体 Loop While 条件为真 三、算法案例 (人教 A 版)

1.辗转相除法是用于求 两个正整数的最大公约数 的一种方法,又叫欧几里得算法. 2.更相减损术的定义:任给两个正整数(若是偶数,先 用 2 化简),以 较大的数减去较小的数 ,接着把所得的差 与较小的数比较,并以大数减去小数.继续这个操作,直到 所得的数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数 的乘积就是所求的最大公约数. 3.秦九韶算法是提出的一种用于计算 一元 n 次多项 式的值 的方法.

4.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系 统,“ 满几进一 ”就是几进制. (北师大版) 1.素因数分解求两个正整数的最大公因数,先确定两 个正整数的 公共素因数 和 公共素因数的指数 ,然 后就可以确定最大公约数. 2.“韩信点兵”问题. 3.二分法求方程的近似解的基本思想:将方程的有解 区间平分为两个小区间,然后判断解在哪个小区间;继续把 有解的区间一分为二进行判断,如此周而复始,直到求出满 足精度要求的近似解.

1.下列语句中,正确的是( A.2=x C.x=x*x*x D.x=y=5

). B.x-y=4

赋值语句中,“=”的含义是将右边的运算结果赋 给左边的变量.正确理解赋值语句,可知应选 C. C

2.右面的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c,要求输出这 三个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面 四个选项中的( ). A.c>x B.x>c C.c>b D.b>c

该算法是求三个数中最大的数,所以 A 是正确的. A

3.660 与 2772 的最大公约数为( ). A.66 B.132 C.33

D.22

(北师大解法)因为 660=2 ?3?5?11,2772=2 ?3 ?7 ?11,所以 660 与 2772 的最大公约数为 22?3?11=132. (人教 A 解法)2772 除以 660 的余数为 132,660 能除尽 132,根据辗转相除法的原理可知 132 就是最大公约数. B

2

2

2

4.执行下图的程序框图,若输入的 x=2,则输出的 y 的值 为

.

第一次 x=2,y=5,第二次 x=5,y=11,第三次 x=11,y=23,符合条件|x-y|>8,故输出 y=23. 23

5.执行如图所示的程序框图,输出的 k 的值为

.

第一次循环:S=1,k=1,此时满足条件,继续循环; 第二次循环:S=3,k=2,此时满足条件,继续循环; 第三次循环:S=11,k=3,此时满足条件,继续循环; 第四次循环:S=2059,k=4,此时不满足条件,结束循环, 所以输出的 k 的值为 4. 4

(见学生用书 P210) 1.算法的含义、程序框图(5 年 5 考) 2 基本语句(5 年 1 考)

3.算法案例(5 年 1 考) 1.顺序结构与条件结构

(2014 年四川卷)执行如图所示的程序框图,如果输入 的 x,y∈R,那么输出的 S 的最大值为( ). A.0 B.1 C.2 D.3

由框图可知当 x=1,y=0 时 S 取最大值 2. C 2.循环结构

2.循环结构 (2014 年新课标全国Ⅰ卷)执行下图的程序框图,若输 入的 a,b,k 分别为 1,2,3,则输出的 M=( ).
20 3 16 5 7 2 15 8

A.

B.

C.

D.

输入 a=1,b=2,k=3,

n=1 时,M=1+2=2,a=2,b=2; n=2 时,M=2+3=3,a=2,b=3; n=3 时,M=2+8= 8 ,a=3,b= 8 ; n=4 时,输出 M= 8 .选 D.
D
15 3 3 15 8 15 2 8 3 8

1 3

3

(2013 年四川卷)某算法的程序框图如图所示,其中输 入的变量 x 在 1,2,3,…,24 这 24 个整数中等可能随机产生.

(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 Pi(i=1,2,3);

(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编 写程序重复运行 n 次后,统计记录了输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数 据. 甲的频数统计表(部分) 运行 输出 y 的值 输出 y 的值 输出 y 的值 次数 n 为 1 的频数 为 2 的频数 为 3 的频数 30 14 6 10 … … … … 2100 1027 376 697

运行 次数 n 30 … 2100

乙的频数统计表(部分) 输出 y 的值 输出 y 的值 为 1 的频数 为 2 的频数 12 11 … … 1051 696

输出 y 的值 为 3 的频数 7 … 353

当 n=2100 时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程 序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判 断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较 大;

(3)将按程序框图正确编写的程序运行 3 次,求输出 y 的值为 2 的次数ξ的分布列及数学期望.

(1)变量 x 是在 1,2,3,…,24 这 24 个整数中随机产 生的一个数,共有 24 种可能. 当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数 中产生时,输出 y 的值为 1,故 P1=2; 当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时,输 出 y 的值为 2,故 P2= ;
3 1 1

当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生时,输出 y 的值为 3,故 P3=6.
1

所以输出 y 的值为 1 的概率为2,输出 y 的值为 2 的概率 为3,输出 y 的值为 3 的概率为6. (2)当 n=2100 时,甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频率如下: 输出 y 的值为 输出 y 的值为 输出 y 的值为 1 的频率 2 的频率 3 的频率 1027 376 697 甲 2100 2100 2100 696 1051 353 乙 2100 2100 2100
1 1

1

比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合 算法要求的可能性较大. (3)随机变量ξ可能的取值为 0,1,2,3.
0 P(ξ=0)=C3 ?(3)0?(3)3=27 , 1 1 2 2 4 1 P(ξ=1)=C3 ?(3) ?(3) =9, 1 2 2 1 2 2 P(ξ=2)=C3 ?(3) ?(3) =9, 3 P(ξ=3)=C3 ?(3)3?(3)0=27 , 1 2 1 1 2 8

故ξ的分布列为

ξ P

0 8 27
8

1 4 9
4 2

2 2 9
1

3 1 27

所以,E(ξ)=0?27 +1?9+2?9+3?27 =1. 即ξ的数学期望为 1. 根据算法的概念我们知道算法实际上是按照一定 步骤处理数学问题的一种方法.因此高中数学中的很多问 题(如公式、定理、方程根的判定、定义的判定、数列的有 关问题等)都可以设计成算法来进行命题,因此算法的命题 既常规又具有综合性,需要我们熟悉高中所学的重要知识 和算法的功能.

(见学生用书 P211) 题型 算法的含义、程序框图 一 执行如图所示的程序框图,输出结果 S=

.

该算法的功能是求值,注意初始条件和终止条件. 第一次循环,i=0,S=-1; 第二次循环,i=2,S=-1+2?2-1=2; 第三次循环,i=4,S=2+2?4-1=9; 第四次循环,i=6,S=9+2?6-1=20; 此时满足条件输出,S=20. 20 这道题是高考常出现的题型,解题时一是要搞清楚 算法的功能,二是要注意初始条件和终止条件.

执行如图所示的程序框图,如果输入的 t∈ [-2,2],则输出的 S 属于( ).

A.[-6,-2] C.[-4,5] D.[-3,6]

B.[-5,-1]

当 t∈[-2,0)时,运行程序如下,t=2t +1∈ (1,9],S=t-3∈(-2,6]; 当 t∈[0,2]时,S=t-3∈[-3,-1], 则 S∈(-2,6]∪[-3,-1]=[-3,6],故选 D. D

2

题型 补充程序框图 二 阅读如下程序框图,如果输出 i=5,那么在空白矩形 框中应填入的语句为( ).

A.S=2*i-2 B.S=2*i-1 C.S=2*i D.S=2*i+4

这类问题一般是把选项代入进去,进行检验即可得 到结果. 若把选项 A 的条件代入,输出的 i=6,所以 A 不对; 把选项 B 的条件代入,输出的 i=6,所以 B 不对;把选项 D 的 条件代入,输出的 i=3,所以 D 不对;只有 C 符合. C 这类问题的处理方法可以代入检验是否满足题意, 要特别注意终止条件的流向.

已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+n,若利用如图所示 的程序框图计算该数列的第 10 项的值,则判断框内的条件 是( ). A.n≤8 B.n≤9 C.n≤10 D.n≤11

通过分析,本程序框图为“当型”循环结构,判断框 内为满足循环的条件. 第 1 次循环,S=S+n=1+1=2,n=1+1=2,此时计算的是该数 列的第二项; 第 2 次循环,S=S+n=2+2=4,n=2+1=3,此时计算的是该数 列的第三项; … 第 9 次循环,n=9+1=10,此时计算的是该数列的第 10 项. 所以,判断条件应为 n≤9 或 n<10,故选 B. B

题型 考查数学原理的框图 三 某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,其中 可以输出的函数是( ). 2 A.f(x)=x

B.f(x)=

1

C.f(x)=ln x+2x-6 D.f(x)=sin x

根据题意可知输出的函数应是奇函数且存在零点. 可以输出的函数应具有的性质:是奇函数且有零 点.A 是偶函数,排除;B 不存在零点,排除;C 不是奇函数,排 除;D 既是奇函数又有零点,因此选 D. D 本题是把函数的基本性质和框图结合在一起,综合 考查学生的识图能力和推理能力.

某算法的程序框图如图所示,则执行该程序后输 出的 S 等于( ).

A.24 C.30 D.32

B.26

该题的算法是求椭圆上的点到上、下焦点的距离之 和.根据椭圆的定义和对称性可知,x=-3 和 x=3 时对应的 d 的和为 10,同理 x=-2 和 x=2 时对应的 d 的和也为 10,x=-1 和 x=1 时对应的 d 的和为 10,x=0 时,d=2,所以输出的 S 为 32. D

(见精练案 P135) 一、选择题 1.执行如图所示的程序框图.若输出 y=- 3,则输入角θ等 于( ).

A. 6

π

B.- 6

π

C. 3

π

D.- 3

π

由题意知 y=

sin,|| <
4

π 4

因为 y=- 3<-1, π π tan, ≤ |θ| < .
2 π π π

,

所以只有 tan θ=- 3,因为 4 ≤|θ|< 2 ,所以θ=- 3 . D

2.计算机执行下面的程序,输出的结果是( (人教 A 版) a=2 b=3 a=a+b b=b * a PRINT a,b END (北师大版) a=2 b=3

).

a=a+b b=b * a 输出 a,b
End A.2,3 B.5,10 C.5,6 D.5,15

由程序可知 a=3+2=5,b=3?5=15.

D

3.运行右图所示框图的相应程序,若输入 a,b 的值分别为 log23 和 log32,则输出 M 的值是( ). A.0 B.1 C.2 D.-1

因为 log23>1>log32,所以 M=ab+1=log23?log32+1=2. C

4.运行下面框图输出的 S 是 254,则①应为( A.n≤5 B.n≤6 C.n≤7 D.n≤8

).

本程序框图计算的是 S=2+2 +…+2 =
n+1 n+1

2

n

2(1-2 ) 1 -2

=2n+1-2,

由 2 -2=254,得 2 =256,解得 n=7,此时 n+1=8,不满足条件, 输出,所以①应为 n≤7. C

5.某程序框图如图所示,现将输出(x,y)值依次记为 (x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),…,若程序运行中输出的一个 数组是(x,-10),则数组中的 x=( ). A.32 B.24 C.18 D.16

运行第一次,输出(1,0),n=3,x=2,y=-2; 运行第二次,输出(2,-2),n=5,x=4,y=-4; 运行第三次,输出(4,-4),n=7,x=8,y=-6; 运行第四次,输出(8,-6),n=9,x=16,y=-8; 运行第五次,输出(16,-8),n=11,x=32,y=-10; 运行第六次,输出(32,-10),n=13,x=64,y=-12. A

6.执行右面的程序框图,若输入 N=2013,则输出的 S 等于 ( ). A.1 B.
2011 2012 2012 2013

C.2013 D.2014

第 1 次循环:k=1,S=S+ 第 2 次循环:k=2,S=S+ 环; 第 3 次循环:k=3,S=S+ 循环; 第 4 次循环:k=4,S=S+ 继续循环; ……
1

1

( +1) 2 1 1 1

= ,满足条件,继续循环;
,满足条件,继续循
1

1

( +1) 2 2×3 1 1

=+

( +1) 2 2×3 3×4 1 1 1 1

=+

+

,满足条件,继续
1

= + + + ,满足条件, ( +1) 2 2×3 3×4 4×5

第 2013 次循环:k=2013,S=S+ ( +1)=2+2×3+3×4+4×5+…

1

1

1

1

1

+2013 ×2014 =2014 ,此时不满足条件,结束循环,所以输出的 S
等于
2013 2014

1

2013

.

D

二、填空题

7.根据给出的算法框图,计算 f(-1)+f(2)=

.

输入-1,满足 x≤0,所以 f(-1)=4?(-1)=-4; 2 输入 2,不满足 x≤0,所以 f(2)=2 =4,即 f(-1)+f(2)=0. 0

8.阅读程序框图,若输入 m=4,n=6,则输出

a=

,i=

.

输入的 m、n 的值分别为 4 和 6,给 i 赋值 1. 执行 a=m?i=4?1=4; 6 不能整除 4,i=1+1=2,a=4?2=8; 6 不能整除 8,i=2+1=3,a=4?3=12; 6 能整除 12,输出 a 和 i 的值分别为 12 和 3. 12 3

9.执行如图所示的程序框图,那么输出的 S 为

.

第 1 次循环:S=2- =3,k=k+1=2,此时满足条件,继续 循环; 第 2 次循环:S=2- = ,k=k+1=3,此时满足条件,继续循
2 2 2 1

2 4

环; 第 3 次循环:S=2- =-2,k=k+1=4,此时满足条件,继续循 环; 第 4 次循环:S=2- =3,k=k+1=5,此时满足条件,继续循 环; 第 5 次循环:S=2- = ,k=k+1=6,此时满足条件,继续循
3 2 4 2

环;

…… 第 2010 次循环:S=2- =2,k=k+1=2011,此时不满足条件, 结束循环,所以输出的 S 为2.
1 2 1 2 1

三、解答题

2 + 2x,x ≥ 2, 10.求函数 y= 的值的算法框图如图所示. 0, < 2 (1)指出算法框图的错误; (2)重新绘制解决该问题的框图.

(1)题目为求分段函数的函数值,输出的函数值的 计算方法取决于输入 x 的值所在的范围,所以必须引入判断 框,应该用选择结构.

(2)

11.已知实数 x∈[0,10],执行如图所示的程序框图,求输出 的 x 不小于 48 的概率.

第一次运行结束后,x=2x+1,n=2; 第二次运行结束后,x=2(2x+1)+1=4x+3,n=3; 第三次运行结束后,x=8x+7,n=4. 因为 4>3,运行结束,8x+7≥48, 所以 8 ≤x≤10,所以概率为80 .
41 39

12.某单位规定年龄在 35 岁以下的为青年员工(含 35 岁), 年龄在 35 岁到 50 岁之间的为中年员工(含 50 岁),50 岁以 上的为老年员工,该单位共有 800 名员工,请你帮助设计一 个算法框图统计各年龄段的人数.

设 800 名员工的年龄依次为 ai(i=1,2,…,800),

§11.4 数系的扩充与复数的引入

(见学生用书 P213) 1.复数的概念 (1)理解复数的基本概念; (2)理解复数相等的充要条件; (3)了解复数的代数表示法及其几何意义. 2.复数的四则运算

(1)会进行复数代数形式的四则运算; (2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 一、复数的有关概念 1.复数的概念:形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 a,b 分别是它的实部和虚部,当 b=0 时,a+bi 为实数;当 b≠0 , a+bi 为虚数;当 a=0 且 b≠0 时,a+bi 为纯虚 数. 2.复平面的概念:建立直角坐标系来表示复数的平面 叫作复平面,x 轴叫作实轴,y 轴叫作虚轴.实轴上的点表示

实数 ;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象限 内的点都表示虚数. 3.复数的相等:a+bi=c+di? a=c 且 b=d (a,b,c,d∈ R). 4.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部相反时,这 两个复数叫作互为共轭复数,复数 z=a+bi 的共轭复数用z 表 示,即 z = a-bi . 5.复数的模:向量的模 r 叫作复数 z=a+bi 的模,记为
? ?

|z|,且|z|=|a+bi|= 2 + 2 .

(1)概念不清导致错误,如:共轭复数的概念记不清、复 数的模的计算公式记错等.例如:z=1+2i,则z =-1-2i,实际 是错误的,应该是z =1-2i. (2)复数的实部和虚部搞错.例如:z=2i 的实部为 2,虚 部为 i 这样的理解是错误的,实际上实部为 0,虚部为 2. 二、复数的运算 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R). 1.复数的加法运算:z1+z2= (a+c)+(b+d)i ; 2.复数的减法运算:z1-z2= (a-c)+(b-d)i ; 3.复数的乘法运算:z1?z2= (ac-bd)+(ad+bc)i ;
? ?

4.复数的除法运算: =
2

1

+ - 2 + 2 2 + 2

+

i(c+di≠0) .

在乘法和除法运算中没有注意要把 i2 化为-1.例 如:z=
1+i (1+i )(1+2i ) 3+3i 1-2i

=

5

=

5

,其结果是错误的,忘记 i =-1.

2

三、复数的几何意义 1.复数 z=a+bi 与复平面内的点 (a,b) 及平面向量 =(a,b)(a,b∈R)是一一对应关系.

2.复数加法的几何意义:若复数 z1,z2 对应的向量 1 ,2 不共线,则复数 z1+z2 是以1 ,2 为两邻边的平 行四边形的对角线所对应的复数. 3.复数减法的几何意义:复数 z1-z2 是连接向量 1 ,2 的终点,并指向被减数的向量2 1 所对应的复数. 没有掌握复数与复平面的点的对应规则.例 如:z=-1+2i 在复平面内的对应点的坐标为(-1,2i),实际是 错误的,应该是(-1,2).

1.已知复数 z=

2

-1+i

,则(

).

A.|z|=2 B.z 的实部为 1 C.z 的虚部为-1 D.z 的共轭复数为 1+i

因为 z=

2

-1+i (-1+i )(-1-i ) (-1) -i 2

=

2× (-1-i )

=

2× (-1-i )
2

=-1-i,

所以|z|=|-1-i|= 2,z 的实部为-1,z 的虚部为-1,z 的 共轭复数为-1+i, 故选 C. C

2.若复数 z 满足 z(1+i)=2i,则在复平面内 z 对应的点的坐 标是( ). A.(1,1) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(-1,-1)

∵z(1+i)=2i,∴z=1+i=

2i

2i (1-i )

(1+i )(1-i )

=

2+2i 2

=1+i,∴在复平

面内 z 对应的点是(1,1),故选 A. A

3.已知 i 是虚数单位,若纯虚数 z 满足(2-i)z=4+2ai,则实 数 a 的值为( ). A.-2 B.2 C.-4 D.4

设 z=mi(m∈R 且 m≠0),则(2-i)z=4+2ai 可化为 = 4, 2mi+m=4+2ai,根据复数的相等有 解得 a=m=4. 2 = 2, D

4.若 a+bi=3+4i(a、b 都是实数,i 为虚数单位),则

25

a+b=

.

因为 a+bi=3+4i,所以(a+bi)(3+4i)=25,所以

25

a=3,b=-4,所以 a+b=-1. -1

5.若复数 z=2i+1+i,其中 i 是虚数单位,则复数 z 的模 为

2

.

由题意得 z=2i+

=2i+ 1+i

2

2 (1 -i )

(1+i )(1-i )

=1+i,则复数 z 的模

|z|= 12 + (-1) = 2.
2

2

(见学生用书 P214) 1.复数的有关概念(5 年 5 考) 2.复数的运算(5 年 5 考) 3.复数的几何意义(5 年 1 考) 1.复数的运算 (2014 年山东卷)已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a-i 与 2+bi 互为共轭复数,则(a+bi)2=( ). A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i

由 a-i 与 2+bi 互为共轭复数,可得 a=2,b=1,则 (a+bi)2=(2+i)2=3+4i. D

2.复数的几何意义 (2014 年新课标全国Ⅱ卷)设复数 z1,z2 在复平面内的对 应点关于虚轴对称,z1=2+i,则 z1z2=( ). A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i

∵z1=2+i,z1 与 z2 关于虚轴对称,∴z2=-2+i, ∴z1z2=-1-4=-5,故选 A.
A

(2014 年陕西卷)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则 |z1|=|z2|”,关于逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依 次如下,正确的是( ). A.真,假,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假

原命题和逆否命题等价,逆命题和否命题等价.设

z1=a+bi,则 z2=a-bi,|z1|= 2 + 2 ,
因为|z2|= 2 + 2 ,所以|z1|=|z2|,原命题为真,逆否 命题也为真,不需判断逆命题的真假即可完成选择.选 B. B

本题把复数的有关概念和命题的知识联系在一起, 综合考查学生对复数的基本知识的了解和掌握程度,命题 形式新颖,综合性强.

(见学生用书 P214) 题型 复数的有关概念 一 设复数 z 满足|z|=|z-1|=1,则复数 z 的实部 为

.

设 z=a+bi(a,b∈R),建立关于 a,b 的方程,求出

a,b.
设 z=a+bi(a,b∈R),则根据题意可知 + = 1, 解得 2 2 (-1) + = 1, = ±
2 2

= 2 ,

1

所以复数 z 的实部为2. 3 , 2
1 2

1

根据题中的条件,必须设出复数的代数形式,建立 有关方程,求出方程即可.

已知 i 为虚数单位,复数 z=2i(2-i)的实部为 a, 虚部为 b,则 logab 等于( ). A.0 B.1 C.2 D.3

因为 z=2i(2-i)=2+4i,所以 a=2,b=4,所以 logab=2. C

设 a 是实数,且 1+i ∈R,则实数 a 等于( A.-1 B.1 C.2 D.-2

1+ i

).

对 1+i 进行化简,然后根据条件建立方程,求出 a 的 值. 因为
1+ i 1+i

1+ i

∈R,所以不妨设

1+ i 1+i

=x,x∈R,则

1+ai=(1+i)x=x+xi,所以有

= 1, 所以 a=1. = ,

B 这类问题的处理方法,一般是先设,然后建立方程, 求出对应的值.

设复数 z= (

2i

-1+i

,则复数 z2 的实部与虚部的和为

). A.0 B.2 C.-2 D.4

z=

2i

-1+i (-1+i )(-1-i )

=

2i (-1-i )

=1-i,∴z2=(1-i)2=-2i,其实部为

0,虚部为-2,和为-2,选 C. C

题型 复数的运算 二 设 i 为虚数单位,则 1+i+i2+i3+…+i10 等于 ( ). A.i B.-i C.2i D.-2i

根据计算的特点,先采用等比数列求和,再根据复 数的有关知识进行运算. 1+i+i +i +…+i =
2 3 10

1-i 11 1-i 3 1 -i

=

1 -i

=i.

A 本题符合等比数列的求和,所以先求和,再根据复 数的知识进行化简.在计算的过程中,一定要根据算式的特 点来进行运算.

已知二项式(1-2i) ,则展开式的第 4 项 为

6

.

3 T4=C6 (-2i)3=160i.

160i

题型 复数的几何意义 三

如图,在复平面内,若复数 z1,z2 对应的向量分别是,, 且每个小正方形的边长为 1,则复数 等于(
2 1

).

A.-13 +13 i B.13 -13 i C.-13 -13 i D.13 +13 i
1 8 1 8

1

8

1

8

根据复数的几何意义写出复数 z1,z2,然后进行复数 运算. 由题意可知 z1=1+2i,z2=3-2i,所以
1 1+2i (1+2i )(3+2i ) 2 3-2i

=

=

13

=-13 +13 i.

1

8

A 了解复数的几何意义是解决本题的关键.

在复平面内,O 是原点,向量对应的复数是 2-i(其中 i 是虚数单位),如果点 A 关于实轴的对称点为点

B,则向量对应的复数是(

).

A.-2-i B.-2+i C.2+i D.1-2i

向量对应的复数是 2-i,所以点 A 的坐标为 (2,-1),因为点 A 关于实轴的对称点为点 B,所以点 B 的坐标 为(2,1),所以向量对应的复数是 2+i. C

(见精练案 P137) 一、选择题 1.复数 z=(3-2i)i 的共轭复数等于( A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i ). D.2+3i

由 z=(3-2i)i 可得 z=2+3i,所以共轭复数=2-3i. C

2.在复平面内,复数

2 -i

1+i

对应的点位于(

).

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2-i (2-i )(1-i ) 1-3i 1 3 1+i (1+i )(1-i )

=

=

2

=2-2i,所以对应的点在第四象限.

D

3.i 为虚数单位,复数 的虚部是( A. B.2 1 1 2

1

C.- i D. i
2 2

1

1 -i 1

).

1

1-i (1-i )(1+i )

=

1+i

=

1+i 1 1 2

=2+2i,所以虚部是2.

1

A

4.复数 1+i (i 为虚数单位)的模是( A. 5 B.2 2C.5 D.8

3i -1

).

3i -1 (3i -1)(1-i ) 2+4i 1+i

=

(1+i )(1-i )

=

2

=1+2i,

所以| 1+i |=|1+2i|= 5. A

3i -1

5.已知 i 是虚数单位,a,b∈R,则 “a=b=1” 是 “(a+bi)2=2i” 的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

“a=b=1”可推出“(a+bi)2=2i”,但“(a+bi)2=2i” 推不出“a=b=1”,所以选 A. A

6.已知集合 A={x|x=a+(a2-1)i}(a∈R,i 是虚数单位),若 A?R,则 a 等于( ). A.1 B.-1 C.±1 D.0

若 A?R,则 a2-1=0,得 a=±1. C

二、填空题 7.已知 i 是虚数单位,复数 z=(x2-1)+(x+1)i 是纯虚数,则实 数 x 的值为

.

由题意知 x2-1=0,x+1≠0,解得 x=1. 1

8.设 i 是虚数单位,则复数(1-i) -

2

4+2i 1-2i

-4i2014=

.

(1-i) -

2

4+2i 1-2i

-4i2014=-2i-

(4+2i )(1+2i ) (1-2i )(1+2i )

+4=-2i-

4+8i+2i -4 5

+4=-2i-2

i+4=4-4i. 4-4i

9.复数 +2+3i在复平面内对应的点到原点的距离
1 -i

1

3-2i



.

1 1 -i 1 2 1 2

+2+3i=

3-2i

1+i

(1-i )(1+i )

-

(2+3i )i 1+i 2+3i

=

2

-i=2-2i,所以对应的点
2 2

1 1

为 A( ,- ),所以|OA|= ( ) + (- ) = .
2 2

1 2 2

1 2 2

三、解答题 10.若复数 z1=-1+2i,z2=cos α+isin α,且 z1? z2 为纯虚数, 求 tan 2α的值.

z1? z2=(-cos α-2sin α)+(-sin α+2cos α)i 为
纯虚数,所以-cos α-2sin α=0,即 tan α=- ,所以 tan 2
1 2

α=

2tan

1-ta n 2 α

=-3.

4

11.已知

-2i i

=b+i(a,b∈R,i 为虚数单位),求 a+b 的值.

由题意知 a-2i=bi+i2=-1+bi,所以 a=-1,b=-2,则

a+b=-3.

12.已知 z∈C,且满足|z| +(z+ z )i=5+2i(其中z 为 z 的共轭
2

?

?

复数). (1)求 z; (2)若 m∈R,w=zi+m,求证:|w|≥1.

(1)设 z=a+bi(a,b∈R),则|z| =a +b ,(z+z )i=2ai,
2 2 2

?

= 1, = 1, 2 + 2 = 5, 由 a +b +2ai=5+2i,得 解得 或 = -2. = 2 2 = 2, 即 z=1+2i 或 z=1-2i. (2)当 z=1+2i
2 2

时,|w|=|zi+m|=|(1+2i)i+m|=|-2+i+m|= (-2) + 1≥1; 当 z=1-2i 时 ,|w|=|zi+m|=|(1-2i)i+m|=|2+i+m|= ( + 2) + 1 ≥ 1. 故|w|≥1.
2

2

单 元 总 结

(见学生用书 P215)

(2013 年新课标全国Ⅰ卷)若复数 z 满足 (3-4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( ). A.-4 B.4 5

C.4

D.

4 5

已知(3-4i)z=|4+3i|,所以

z=

|4+3i | |4+3i |(3+4i ) 5(3+4i ) 3 4 3-4i

=

(3-4i )(3+4i )

=

25

=5+5i,所以复数 z 的虚部为5.

4

D

已知复数 z 的实部与虚部之比为3,且|z|=10,则 等于(
i 2

4

3-4i

).
i 2

A. B.-

C.± D.±
2

i

1 2



设 z=a+bi(a,b∈R),根据条件可得

2 + 2 = 100,



= 3,

4

= 8, = -8, 3-4i i 解得 或 所以 z=8+6i 或 z=-8-6i,则 =±2. = 6, = -6, C

(见学生用书 P216) 1.推理论证能力 推理论证渗透在高中知识的方方面面,特别是常在命 题的判断、不等式的证明、比较大小等相关题中涉及,如: 归纳法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、 数形结合法等.对于培养学生能力和提高学生的数学素养 起着关键性的作用.

已知函数 f(x)=ln(x+1)-x -x. (1)若关于 x 的方程 f(x)=-2x+b 在区间[0,2]上恰有两 个不同的实数根,求实数 b 的取值范围; (2)证明:对任意的正整数 n,不等式 2+4+9+…
3 4 +1 5

2

+ 2 >ln(n+1)都成立.

(1)由 f(x)=- x+b,得 ln(x+1)-x + x-b=0,
2

5

2

3

令φ(x)=ln(x+1)-x +2x-b,则 f(x)=-2x+b 在区间[0,2] 上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0 在区间[0,2]上恰 有两个不同的实数根.

2

3

2 5

φ'(x)= +1-2x+2=
增;

1

3 -(4 +5)( -1) 2( +1)

,

当 x∈[0,1)时,φ'(x)>0,于是φ(x)在[0,1)上单调递 当 x∈(1,2]时,φ'(x)<0,于是φ(x)在(1,2]上单调递 减.

(0) = - ≤ 0, 依题意有 (1) = ln(1 + 1)-1 + 2 -b > 0,解得 ln 3-1 (2) = ln(1 + 2)-4 + 3- ≤ 0, ≤b<ln 2+2. (2)(法一)f(x)=ln(x+1)-x -x 的定义域为{x|x>-1}, 则 f'(x)=
- (2 +3) ( +1)
2

3

1

,
3 2

令 f'(x)=0 得 x=0 或 x=- (舍去),

∴当-1<x<0 时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当 x>0 时,f'(x)<0,f(x)单调递减. ∴f(0)为 f(x)在(-1,+∞)上的最大值.

∴f(x)≤f(0),故 ln(x+1)-x2-x≤0(当且仅当 x=0 时, 等号成立).
对任意正整数 n,取 x= >0,得 ln( +1)< + 2 ,
1 1 1 1 +1 +1

∴ln

故 2+4+9+…+ 2 >ln 2+ln 2+ln 3+…+ln (法二)数学归纳法证明: 当 n=1 时,左边= 不等式成立.
1+1 12

2 3 4 +1

<

.

3

4

+1

=ln(n+1).

=2,右边=ln(1+1)=ln 2,显然 2>ln 2,

假设 n≥k(k∈N*)时,2+4+9+…+ 2 >ln(k+1)成立,则

3 4

+1

n=k+1 时,有 2+4+9+…+ 2 +
做差比 较:ln(k+2)-ln(k+1) +2 ( +1)

3 4

+1

+2

( +1)

2>

+2
2

( +1)

+ln(k+1).
)-[ +1 2 =ln(1+ +1
1 1

2 =ln +1

+2

+2

( +1)

+

1
2

( +1)

].
- (2 +3) +1
*

f(x)=ln(1+x)-x-x2 ,x∈(0,1),
则 f'(x)=
1

<0,
1 1 1 ( +1)
2

∴f(x)在(0,1)上单调递减,∴f(x)<f(0)=0.
取 x= +1(k∈N ),则 ln(1+ +1)-[ +1+ ]<F(0)=0,

即 ln(k+2)-ln(k+1) +2 ( +1) +1

+2
2

( +1)

<0,亦即
3 4

2 +ln(k+1)>ln(k+2),故 n=k+1 时,有 2+ + +… 4 9

+ 2 +
+1

+2
2

( +1)

>

+2
2

( +1)

+ln(k+1)>ln(k+2),不等式成立.
3 4 4 9

综上可知,对任意的正整数 n,不等式 2+ + +…

+ 2 >ln(n+1)都成立.

2.抽象概括能力 要求学生通过具体生动的实例,发现事物的本质或从 给定的大量信息材料中概括出一些结论,并能将其应用于 解决问题或做出新的判断,是对学生的观察能力、分析能力 和推理能力等的综合考查. 若定义在正整数有序对集合上的二元函数 f(x,y) 满足:①f(x,x)=x,②f(x,y)=f(y,x),③ (x+y)f(x,y)=yf(x,x+y),则 f(12,16)的值是( ). A.12 B.16 C.24 D.48

由题意可得 f(12,16)= 4 f(12,4)=4f(4,12)=4?
12

16

f(4,8)=6?4f(4,4)=12?4=48. 8
D

8

(见精练案 P139) 一、选择题 1.设 z1,z2 是复数,则下列命题中的假 命题是( .
? ? A.若|z1-z2|=0,则z1 = z 2 ? ? z1=z 2 ,则z1 =z2 ? ? z1 =z2? z 2

).

B.若

C.若|z1|=|z2|,则 z1?
2 2 D.若|z1|=|z2|,则1 =2

由特殊值法,设 z1=3+4i,z2=4+3i,则满足 2 2 |z1|=|z2|=5,但1 ≠2 ,故选 D. D

2.已知命题“若数列{an}是等比数列,且 an>0,则数列

bn= a1 a2 …an (n∈N*)也是等比数列”.若数列{an}是等差数
列,可类比得关于等差数列的一个性质为( A.bn= B.bn=
1 + 2 +…+ 1 ? 2 ?…?


n

).

是等差数列 是等差数列

C.bn= 1 ?2 ?…? 是等差数列 D.bn=


1 + 2 +…+

是等差数列

设等差数列{an}的公差为 d,则
1 + 2 +…+ 1 + 2 bn= = 2
( -1 )

=a1+2 (n-1),所以数列{bn}是以 a1



为首项, 为公差的等差数列. A

3.如果执行下面的算法语句输出的结果是 2,则输入的 x 值 是( ). (人教 A 版) INPUT x IF x<1 THEN x y=2 +1 ELSE y=x2-x END IF PRINT y

(北师大版) 输入 x If x<1 Then y=2x+1 Else

y=x2-x
End If 输出 y A.0 或 2 B.-1 或 2 C.2 D.0

若 2x+1=2,则 x=0;若 x2-x=2,则 x=2 或 x=-1(舍),所 以输入的 x 值是 0 或 2. A

4.[ ]表示不超过 的最大整数.

S1=[ 1]+[ 2]+[ 3]=3, S2=[ 4]+[ 5]+[ 6]+[ 7]+[ 8]=10, S3=[ 9]+[ 10]+[ 11]+[ 12]+[ 13]+[ 14]+[ 15]=21,
…, 那么 S10=( ). A.100 B.150 C.210 D.250

观察式子规律,可以得出

Sn=[ 2 ]+[ 2 + 1]+[ 2 + 2]+…+[ 2 + 2n]=n(2n+1),
所以 S10=210. C 5.已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足(z-i)(3-i)=10,则 |z|=( ). A. 5 B. 6 C. 10 D. 13

由(z-i)(3-i)=10 得 z= +i=3+2i,所以|z|= 13.
3 -i

10

D

6.对于不等式 2 + n< n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法的 证明过程如下: (1)当 n=1 时, 12 + 1<1+1,不等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N )时,不等式成立,即 2 + k<k+1,则当
*

n=k+1
时, ( + 1) + (k + 1)= 2 + 3k + 2< ( 2 + 3k + 2) + (k + 2)= ( + 2) =(k+1)+1. ).
2 2

所以当 n=k+1 时,不等式成立,则上述证法( A.过程全部正确 B.n=1 验得不正确

C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确

从 n=k 到 n=k+1 的推理没有用到 2 + k<k+1 这个 条件,所以选 D. D

7.设 a,b,c,d,m,n 均为正实 数,p= + ,q= + ? A.p≤q C.p<q


+ ,那么(




).

B.p≥q D.p、q 之间的大小关系不定

q= +



+ = +






+



+ cd.

要比较 p、q 的大小,只要比较 ab+



+

+cd 与

ab+cd+2 的大小,也就是只要比较


+ 与 2

的大小即可.因为 a,b,c,d,m,n 全是正数,故由基本不等式 有

+ ≥2
A

?

=2 成立,所以 p≤q.

8.已知函数 f(x)=3x3+2ax2+bx+c 在 x1 处取得极大值,在 x2 处 取得极小值,满足 x1∈(-1,1),x2∈(1,4),则 2a+b 的取值范 围是( ). A.(-6,-4) B.(-6,-1) C.(-10,-6) D.(-10,-1)

1

1

∵函数 f(x)=3x3+2ax2+bx+c 在 x1 处取得极大值,在 x2 处取得极小值, ∴x1,x2 是导函数 f'(x)=x2+ax+b 的两根. 由于导函数 f'(x)=x2+ax+b 的图象开口朝上且 x1∈ (-1,1),x2∈(1,4),

1

1

'(-1) = 1- + > 0, 则 '(1) = 1 + + < 0, '(4) = 16 + 4 + > 0,

满足约束条件的可行域如图所示, 令 Z=2a+b,则 ZA=-1,ZB=-6,ZC=-10, 故 2a+b 的取值范围是(-10,-1). D

9.执行右图程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S=( ). A.4 B.5 C.6 D.7

x=2,t=2,变量变化情况如下: M S k
1 3 1 2 5 2 2 7 3 D

10.圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线 C 的离心率为 ( ). A.3或2 B.3或 2 C. 或 2
2 1 2 3 2 1 2 3 2

D. 或

|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,所以设 |PF1|=4x,|F1F2|=3x,|PF2|=2x,x>0.若曲线为椭圆,则有 |PF1|+|PF2|=4x+2x=6x=2a,|F1F2|=3x=2c,所以椭圆的离心
率为 = = .若曲线为双曲线,则有
2 6 2 2 3 3 2 3 1

|PF1|-|PF2|=4x-2x=2x=2a,|F1F2|=3x=2c,所以椭圆的离心
率为 = = .所以选 D.
2 2 2

D

11.数列{an}的前 n 项和为 Sn,有下列命题: (1)若数列{an}是递增数列,则数列{Sn}也是递增数列; (2)数列{Sn}是递增数列的充要条件是数列{an}的各项均为 正数; (3)若{an}是等差数列(公差 d≠0),则 S1?S2?…?Sk=0 的充 要条件是 a1?a2?…?ak=0. (4)若{an}是等比数列,则 S1?S2?…?Sk=0(k≥2,k∈N)的充 要条件是 an+an+1=0. 其中,正确命题的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3

数列{an}的前 n 项和为 Sn,故 Sn=a1+a2+…+an,若数列 {an}是递增数列,则数列{Sn}不一定是递增数列,如 an<0 时, 数列{Sn}是递减数列,故(1)不正确. 由数列{Sn}是递增数列,不能推出数列{an}的各项均为 正数,如数列:0,1,2,3,…,满足{Sn}是递增数列,但不满足 数列{an}的各项均为正数,故(2)不正确. 若{an}是等差数列(公差 d≠0),则由 S1?S2?…?Sk=0 不能推出 a1?a2?…?ak=0.例如数列:-3,-1,1,3,满足 S4=0, 但 a1?a2?a3?a4≠0,故(3)不正确. 若{an}是等比数列,则由 S1?S2?…?Sk=0(k≥2,k∈N) 可得数列{an}的公比为-1,故有 an+an+1=0;由 an+an+1=0 可得

数列的{an}公比为-1,可得 S1?S2?…?Sk=0(k≥2,k∈ N),故(4)正确. B

12.已知函数 y=f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,且当 x∈ 0.2 0.2 (-∞,0),f(x)+xf'(x)<0 成立.若 a=(2 )?f(2 ),b=(ln 2)?f(ln 2),c=(log 1 4)?f(log 1 4),则 a,b,c 的大小关系
2 2

1

1

是(

). A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b

因为函数 y=f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,所以 y=f(x)关于 y 轴对称,所以函数 y=xf(x)为奇函数.因为 [xf(x)]'=f(x)+xf'(x),所以当 x∈(-∞,0) 时,[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)<0,函数 y=xf(x)单调递减,当 x ∈(0,+∞)时,函数 y=xf(x)单调递减.因为 1<20.2<2,0<ln 2<1,log 1 4=2,所以 0<ln 2<2 <log 1 4,所以 b>a>c.
2 2

1

0.2

1

B

二、填空题 13.复数 +i (i 为虚数单位)的虚部为 2,则实数
3i -1

a=

.

3i -1 (3i -1)( -i ) (3- )+(3 +1)i +i

=

( +i )( -i ) 3 +1

=

2 +1

.
1

由题意知 1或
1 2

=2,解得 a=1 或 a=2. 2 +1

14.如图,在圆中有结论:“AB 是圆 O 的直径,直线 AC、BD 是 圆 O 过点 A、B 的切线,点 P 是圆 O 上任意一点,CD 是过点 P 2 的切线,则有 PO =PC? PD” ,类比到椭圆: “AB 是椭圆的长轴,F1、 F2 是椭圆的焦点,直线 AC、BD 是椭圆过点 A、B 的切线,P 是 椭圆上任意一点,CD 是过点 P 的切线,则有

.

类比可得 PF1?PF2=PC?PD. PF1?PF2=PC?PD

15.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 为

.

第一次循环,z=1+1=2,x=1,y=2; 第二次循环,z=1+2=3,x=2,y=3; 第三次循环,z=2+3=5,x=3,y=5; 第四次循环,z=3+5=8,x=5,y=8; 第五次循环,z=5+8=13,x=8,y=13; 第六次循环,z=8+13=21,不满足条件,输出 = .
8 13 8 13

16.已知数列 A:a1,a2,…,an(0≤a1<a2<…<an,n≥3)具有性质 P:对任意 i,j(1≤i≤j≤n),aj+ai 与 aj-ai 两数中至少有一个 是该数列中的一项. 现给出以下四个命题: ①数列 0,1,3 具有性质 P; ②数列 0,2,4,6 具有性质 P; ③若数列 A 具有性质 P,则 a1=0; ④若数列 a1,a2,a3(0≤a1<a2<a3)具有性质 P,则 a1+a3=2a2. 其中真命题有

.

若 aj=3,ai=1,则 aj+ai=4,aj-ai=2,根据题意可知①显 然是错误的;同理可检验出②是正确的;对于③,假设 a1>0, 设 aj 为数列中的最大项,则 aj+aj>aj,aj-aj=0,则 aj+aj 与 aj-aj 都不在数列 A 中,这与 A 具有性质 P 矛盾,所以假设错误,则 a1=0,所以③正确;对于④,因为 a1=0,所以必有 a3-a2=a2,即 a3=2a2,即 a1+a3=2a2.

②③④

三、解答题 17.已知复数 z=x+yi(x,y∈R),且|z-2|= 3,求 的最大值.


由|z-2|= 3可得(x-2)2+y2=3, 设 k= ,则 y=kx,


则直线 y=kx 与圆(x-2)2+y2=3 有交点, 则
|2 | 2 +1

≤ 3,


解得- 3≤k≤ 3.所以 的最大值为 3.

18.某商场出售某产品,购买 400 件和 400 件以上时按单价 C=3 元计算,否则按单价 C=4 元计算,请设计算法并画出对应 的算法框图.(按输入购买产品数 P 计算不同的收费金额 M)

为了计算收费金额 M,应先判断购买产品的件数是 否大于等于 400 件,然后选择相应的公式进行计算. 算法如下: 第一步:输入购买件数 P. 第二步:若 P≥400,有 M=3P;否则 M=4P. 第三步:输出收费金额 M. 对应的算法框图如图所示:

19.如图所示,圆柱的高为 2,底面半径为 3,AE、DF 是圆柱 的两条母线,过 AD 作圆柱的截面交下底面于 BC,且 AD=BC.

(1)求证:平面 AEB∥平面 DFC; (2)求证:BC⊥BE.

(1)∵AE、DF 是圆柱的两条母线, ∴AE∥DF. ∵AE?平面 DFC,DF?平面 DFC,∴AE∥平面 DFC. 在圆柱中,∵上底面∥下底面,且上底面∩截面 ABCD=AD,下底面∩截面 ABCD=BC, ∴BC∥AD. ∵AD=BC,∴四边形 ABCD 为平行四边形, ∴AB∥CD. ∵AB?平面 DFC,CD?平面 DFC.∴AB∥平面 DFC. ∵AB∩AE=A,∴平面 AEB∥平面 DFC. (2)∵AE、DF 是圆柱的两条母线,∴AE

DF, ∴四边形 ADFE 是平行四边形,∴AD EF.

∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD BC. ∴EF BC. 在圆柱底面上 EF BC. ∴EC 为直径,∴BC⊥BE.

20.设数列{an}的前 n 项的和为 Sn.已知 a1=6,an+1=3Sn+5n,n∈ N*. n (1)设 bn=Sn-5 ,求数列{bn}的通项公式. (2)数列{bn}中是否存在不同的三项,它们构成等差数列?若 存在,请求出所有满足条件的三项;若不存在,请说明理由.

(1)因为 an+1=Sn+1-Sn,且 an+1=3Sn+5 ,所以 Sn+1=4Sn+5 , 把 Sn=bn+5n 代入上式,得 bn+1=4bn, 所以数列{bn}是首项为 b1=S1-5=1,公比为 4 的等比数列, 所以 bn=4n-1. (2)假设数列{bn}中存在任意三项 bi,bj,bk 成等差数列. 不妨设 1≤i<j<k,由于数列{bn}单调递增,所以 j-1 i-1 k-1 2bj=bi+bk,所以 2?4 =4 +4 , j-k i-k 因此 2?4 =4 +1,此时左边为偶数,右边为奇数,不可 能成立, 所以数列{bn}中不存在不同的三项,它们构成等差数 列.

n

n

21.已知 xi>0(i=1,2,3,…,n),我们知道有(x1+x2)( + )≥
1 2

1

1

4 成立. (1)请证明(x1+x2+x3)( + + )≥9;
1 2 3 1 1 1 1 1 1 1

(2)同理我们也可以证明出(x1+x2+x3+x4)( + + + )≥16. 由上述几个不等式,请你猜测 x1+x2+…+xn 和 + +…+ (n≥
1 2 1 2 3 4 1 1 1

2,n∈N*)有关的不等式,并用数学归纳法证明.

(1)(x1+x2+x3)( + + )=3+( 1 + 2 )+( 2 + 3 )+( 3 + 1 )
1 2 3 2 1 3 2 1 3

1

1

1













≥3+2+2+2=9. 当且仅当 x1=x2=x3 时取等号. (2)猜想:(x1+x2+…+xn)( + +…+ )≥n2(n≥2,n∈N*).
1 2 1 1 1

证明如下:①当 n=2 时,由已知结论成立.

②假设当 n=k 时结论成立,即(x1+x2+…+xk)( + +…+ )
1 2

1

1

1

≥k2, 那么当 n=k+1 时,(x1+x2+…+xk+xk+1)( + +…
1 1 1 1
+1

+ +


)=(x1+x2+…+xk)( + +…+ )+(x1+x2+…
1 2

1

1

1

1 2

+xk)

1
+1

+( + +…+ )xk+1+1≥
1 2

1

1

1

k2+2 (1 + 2 + … + )

1
+1

(

1 1

+

1 2

+…+

1

) +1 +1≥

k2+2k+1=(k+1)2,所以根据①②可知,猜想成立.

22.已知函数 f(x)=ln x-mx+m,m∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 m=1 时,对于任意的 0<a <b,证明:
( )- ( ) 1 -

< -1.

(1)由 f(x)=ln x-mx+m,得 f'(x)= -m(x>0),


1

当 m≤0 时,f'(x)= -m>0,知函数 f(x)在(0,+∞)上递增; 当 m>0 时,f'(x)=
1 - ( - )
1

1

,由 f'(x)>0 得 x∈(0, ),由
1

1

f'(x)<0 得 x∈( ,+∞),
即函数 f(x)在(0, )上递增,在( ,+∞)上递减. (2)当 m=1,得 f(x)=ln x-x+1, 对于任意的 0<a<b,
( )- ( ) 1 - 1

< -1 可化为

(ln - )-(ln - ) 1 - ln


< -1,其中 0<a<b

? <1,其中 0<a<b


-1

?

ln

-1

<1,t>1?ln t-t+1<0,t>1,即 f(t)<0,t>1.

由(1)知,函数 f(x)在(1,+∞)上递减,且 f(1)=0,于是 上式成立, 故对于任意的 0<a<b,
( )- ( ) 1 -

< -1 成立.


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