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2017_18版高中数学第二章平面向量2.2向量的减法课件北师大必修_图文


第二章

§2

从位移的合成到向量的加法

2.2

向量的减法

学习目标
1.理解相反向量的含义,向量减法的意义及减法法则.
2.掌握向量减法的几何意义.

3.能熟练地进行向量的加、减运算.

内容索引

问题导学

题型探究 当堂训练

问题导学

知识点一

相反向量

思考
实数a的相反数为-a,向量a与-a的关系应叫作什么?
答案 相反向量.

答案

梳理
与a 长度相等、方向相反 的向量,叫作a的相反向量,记作 -a . (1)规定:零向量的相反向量仍是 零向量 . (2)-(-a)=a. (3)a+(-a)=(-a)+a = 0 . (4)若a与b互为相反向量,则a= -b ,b=-a ,a+b= 0 .

知识点二

向量的减法

思考1
根据向量的加法,如何求作a-b?

答案 先作出-b,再按三角形法则或平行四边形法则作出a+(-b).

答案

思考2
向量减法的三角形法则是什么?

答案 (1)两个向量a,b的始点移到同一点;
(2)连接两个向量(a与b)的终点;

(3)差向量a-b的方向是指向被减向量的终点.
这种求差向量a-b的方法叫作向量减法的三角形法则.

概括为“移为共始点,连接两终点,方向指被减”.
答案

梳理
(1)定义:向量a加上 b的相反向量 ,叫作a与b的差,即a-b= a+(-b).求
两个向量 差 的运算,叫作向量的减法. (2)几何意义:在平面内任取一点O,作 → → =b,则向量a-b= BA → =a , ,如 OB OA 图所示. (3)文字叙述:如果把向量a与b的起点放
→就 在O点,那么由向量b的终点B指向被减向量a的终点A,得到的向量 BA

是a - b .

知识点三

|a|-|b|,|a±b|,|a|+|b|三者的关系

思考
在三角形中有两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,结合
这一性质及向量加、减法的几何意义,|a|-|b|,|a±b|,|a|+|b|三

者关系是怎样的?
答案 它们之间的关系为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

答案

梳理
→ → AB=b,则a+ 当向量a,b不共线时,作 OA=a,

→ ,如图(1),根据三角形的三边关系,则有 b=OB

||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|. 当 a 与 b 共线且同向或 a , b 中至少有一个为零向

量时,作法同上,如图(2),此时|a+b|=|a|+|b|.

当a与b共线且反向或a,b中至少有一个为零向量时,不妨设|a|>|b|,作法 同上,如图(3),此时|a+b|=||a|-|b||.

故对于任意向量a,b,总有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 因为|a-b|=|a+(-b)|, 所以||a|-|-b||≤|a-b|≤|a|+|-b|, 即||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|. 将①②两式结合起来即为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.





题型探究

类型一

向量减法的几何作图

例1 如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.

解答

引申探究 若本例条件不变,则a-b-c如何作? 解 如图,在平面内任取一点O,

→ → → 作OA=a,OB=b,则BA=a-b.
→ → 再作CA=c,则BC=a-b-c.

解答

反思与感悟
在求作两个向量的差向量时,当两个向量有共同始点,直接连接两个向
量的终点,并指向被减向量,就得到两个向量的差向量;若两个向量的 始点不重合,先通过平移使它们的始点重合,再作出差向量.

跟踪训练1 如图所示,已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.



如图所示,在平面内任取一点O,

→ → → → 作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d. → → 则 a-b=BA,c-d=DC.
解答

类型二

向量减法法则的应用

例2 化简下列式子:
→ → → → (1)NQ-PQ-NM-MP;



→ → → → → → → 原式=NP+MN-MP=NP+PN =NP-NP=0.

→ → → → (2)(AB-CD)-(AC-BD).



→ → → → 原式=AB-CD-AC+BD

→ → → → → → =(AB-AC)+(DC-DB)=CB+BC=0.
解答

反思与感悟
向量减法的三角形法则的内容:两向量相减,表示两向量起点的字母必
须相同,这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点,以被减向量 的终点字母为终点.

→ → → → 跟踪训练 2 化简:(1)(BA-BC)-(ED-EC);



→ → → → (BA-BC)-(ED-EC)

→ → → =CA-CD=DA. → → → → → → (2)(AC+BO+OA)-(DC-DO-OB).
解 → → → → → → (AC+BO+OA)-(DC-DO-OB)

→ → → → → =AC+BA-DC+(DO+OB) → → → → =AC+BA-DC+DB → → → → → → =BC-DC+DB=BC+CD+DB → → =BC+CB=0.

解答

类型三
例3

向量减法几何意义的应用

→ → → → 已知|AB|=6,|AD|=9,求|AB-AD|的取值范围.

解答

反思与感悟
→ → → (1)如图所示,在平行四边形 ABCD 中,若AB=a,AD=b,则AC=a+b , → DB=a-b.

(2)在公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中,当a与b方向相反且|a|≥|b|时,|a|-|b|

=|a+b|;当a与b方向相同时,|a+b|=|a|+|b|.
(3)在公式||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|中,当a与b方向相同且|a|≥|b|时,|a|-|b|

=|a-b|;当a与b方向相反时,|a-b|=|a|+|b|.

跟踪训练3 A.梯形

→ → → 在四边形ABCD中,设 AB=a, AD=b,且 AC=a+b,若|a+b|

=|a-b|,则四边形ABCD的形状是 B.矩形 C.菱形 D.正方形

解析

→ ∵AC=a+b,

∴四边形ABCD为平行四边形.
→ 又∵DB=a-b,|a+b|=|a-b|,

→ → ∴|AC|=|DB|.

∴四边形ABCD为矩形.
解析 答案

当堂训练

→ → → → 1.如图所示,在?ABCD 中,AB=a,AD=b,则用 a,b 表示向量AC和BD分 别是

A.a+b和a-b B.a+b和b-a √ C.a-b和b-a D.b-a和b+a 解析 由向量的加法、减法法则,得 → → → AC=AB+AD=a+b, → → → BD=AD-AB=b-a. 故选B.
1 2 3 4 5

解析

答案

→ → → → 2.化简OP-QP+PS+SP的结果等于
→ A.QP → C.SP



→ B.OQ → D.SQ

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5

答案

→ → → 2 3.若菱形 ABCD 的边长为 2,则|AB-CB+CD|=____.

解析

→ → → → → → |AB-CB+CD|=|AB+BC+ CD |

→ → → =|AC+CD|=|AD|=2.

1

2

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5

解析

答案

4.若向量a与b满足|a|=5,|b|=12,则|a+b|的最小值为__ 7 ,|a-b|的最大值 17 为___. 解析 由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|, ||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|可得.

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解析

答案

→ 5.如图,在五边形 ABCDE 中,若四边形 ACDE 是平行四边形,且AB=a,
→ → → → → → → AC=b,AE=c,试用 a,b,c 表示向量BD,BC,BE,CD及CE.

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4

5

解答

规律与方法
→ → 1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,-AB= BA

就可以把减法转化为加法.即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量 .
如a-b=a+(-b).

2.在用三角形法则作向量减法时,要注意 “ 差向量连接两向量的终点,
箭头指向被减向量”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆. → → 3.平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别为AB=a, AD=b,则两条对角线 → =a+b, → =b-a,→ =a-b,这一结论在以后应用非 表示的向量为 AC DB BD

常广泛,应该加强理解并掌握.

本课结束


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