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山西省阳泉二中2018_2019学年高二数学上学期期中试题


山西省阳泉二中 2018-2019 学年高二数学上学期期中试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每个小题给出的四个选项中,有 且只有一项符合题目要求) 1.已知直线 l:x+y-1=0,则 l 的倾斜角为( A.30° B.45° C.60° D.135° )

2.某同学做一玩具,其三视图如图所示,他欲将该玩具全部 用铁皮包裹,则所需要铁皮的面积为( A. 5π C.16π B.12π D.20π (第 2 题图) ) )

3.两条直线 l1:2x+y+c=0,l2:x-2y+1=0 的位置关系是( A.垂直 B.平行 C.重合 D.不能确定 )

4.点 P(1,-1)到直线 l: x ? y ? 4 ? 0 的距离是( A. 5 B. 6 C. 7 D. 2 2

5.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,体对角线 BD1 和平面 ABCD 所成角的余弦值为( A.



3 3

B.

6 3

C.

3 2

D.

6 2
)

6.已知直线(a-2)x+ay-1=0 与直线 2x+3y+5=0 平行,则 a 的值为( A.6 B.-6 4 C. 5 4 D.- 5 )

7.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 A1C1 上的点,F 为

CC1 上的点,则下列直线中一定与 EF 垂直的是 (
A.AC
2 2

B.BD
2

C.A1D1
2

D.A1A ) (第 7 题图)

8.圆 x +y =4 与圆 x +y -6x+8y-24=0 的位置关系是( A.相交 B.相离 C.内切 D.外切

9.已知 α 、β 是平面,m、n 是直线,给出下列命题: ①若 m⊥α ,m? β ,则 α ⊥β ; ②若 m? α ,n? α ,m∥β ,n∥β ,则 α ∥β ; ③如果 m? α ,n?α ,m,n 是异面直线,那么 n 与 α 相交; ④若 α ∩β =m,n∥m,且 n?α ,n?β ,则 n∥α 且 n∥β . 其中真命题的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3

-1-

10. (文科)已知直线 l:3x-4y+m=0 与圆 C:(x-1) +(y-2) =4 相交于 M、N 两点, 若|MN|=2 3,则 m 的值是( A.0 B.5 C.10 ) D.0 或 10
2 2

2

2

(理科)已知直线 l:3x-4y+m=0 和圆 C:x +y -4x-2y+1=0,且圆 C 上至少存在 两点到直线 l 的距离为 1,则 m 的取值范围是( A.(-17,13) C.(-17,-7)∪(3,13) B.(-17,-7) D.[-17,-7]∪[3,13] )

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分.) 资 11.以点 C(2,-1)为圆心、3 为半径的圆的 标准方程为 .

12.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD= 2 3 , AA1=2, 则异面 DD1 和 BC1 所成角的大小是 . (第 12 题图)

13.经过两条直线 x+y-3=0 和 x-2y+3=0 的交点,且与直线 2x+y-7=0 平行的直线方程 是 .

14.点 D 为△ABC 所在平面外一点,E、F 分别为 DA 和 DC 上的点,G、H 分别为 BA 和 BC 上 的点,且 EF 和 GH 相交于点 M,则点 M 一定在直线
2 2

上. .

15.若直线 l:y=x+m 和圆 C:x +y ﹣2x﹣2y=0 只有一个公共点,则 m=

16.(文科)一个长方体的长、宽、高分别为 4、 11 、3,若它的各个顶点都在同一个 球面上,则这个球的体积是 .

(理科) 已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上, 且 SC⊥平面 ABC,若 SC=AB=AC=1, ∠BAC=120°,则球 O 的表面积为 .

三、解答题(本大题共 5 个小题,共 52 分.解答应写出必要的文字说明或推理、演算过程) 17.(10 分)△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(0,0),B(0,6),C(4,8),求它的外接圆的方程.

18.(10 分)如图,BD 是空间四边形 ABCD 的一条对角线,平行四边形 EFGH 的各顶点

-2-

分别在边 AB、BC、CD、DA 上,求证:BD∥平面 EFGH.

(第 18 题图)

19.(10 分)已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,4) ,端点 A 在圆 O: x ? y ? 4 上运动,求
2 2

AB 中点 M 的轨迹方程,并指出它的轨迹是什么图形.

(第 19 题图)

20.(12 分)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 1 的正方形,侧棱 PD=1,

PA=PC= 2,
(1)求证:PD⊥平面 ABCD; (2)求证:平面 PAC⊥平面 PBD; (3)(文科)求点 A 到平面 PBC 的距离; (理科)求二面角 P-AC-D 的正切值. (第 20 题图)

21.(10 分)已知圆 C:(x ? 1 )? y ? 16 ,直线 l : y ? mx ? 3 .
2 2

(1)求证:对 m ? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点;

-3-

(2)设直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点,O 为坐标原点,若 OA⊥OB,求实数 m 的值.

-4-

2018—2019 学年度第一学期期中试题参考答案 高 二 数 学 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 文科:DBADB ABCCD 理科:DBADB ABCCA

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11. 15.

?x ? 2?2 ? ( y ? 1)2 ? 9 ;
-2 或 2;

12.

60 或

0

? ; 13. 3

2x+y-4=0;

14. AC

16. 文:36 ? ,理:5 ? .

三、解答题(本大题共 5 个小题,共 52 分,解答应写出必要的文字说明或推理、演算过程) 17.(10 分) 解:设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,则
2 2

?F ? 0 ? ?36 ? 6 E ? 0 ?16 ? 64 ? 4 D ? 8 E ? 0 ?
2 2

∴D=-8,E=-6,F=0,.........................5 分

∴△ABC 的外接圆的方程为 x +y -8x-6y=0..................................10 分 (其它方法酌情给分) 18.(10 分) 证明:∵四边形 EFGH 是平行四边形, ∴EH∥FG, ∵EH ? 平面 ABD,FG ? 平面 ABD, ∴FG∥平面 ABD, ∵FG ? 平面 CBD,平面 CBD∩平面 ABD=BD, ∴BD∥FG, ∵FG ? 平面 EFGH,BD ? 平面 EFGH, ∴BD∥平面 EFGH...............................................10 分 (其它方法酌情给分) 19.(10 分) 解:设 M(x,y),A(x0,y0)则 ∵AB 中点是 M,

-5-

x0 ? 4 ? x ? , ? ? 2 ? ? y ? y0 ? 4 , ? ? 2
∵x0 +y0 =4,
2 2

∴x0=2x-4,y0=2y-4,........4 分

∴(2x-4) +(2y-4) =4, ∴(x-2) +(y-2) =1, ∴点 M 的轨迹以(2,2)为圆心 1 为半径的圆...............................10 分 20.(12 分) (1)证明:∵PD=DC=1,PC= 2, 2 2 2 ∴PD +DC =PC , ∴PD⊥DC, 同理 PD⊥DA, ∵DC∩DA=D, ∴PD⊥平面 ABCD.....................................................4 分 (2)证明:由(1)知 PD⊥平面 ABCD, ∵AC ? 平面 ABCD, ∴PD⊥AC, 又∵底面是 ABCD 正方形, ∴BD⊥AC, 又∵BD∩PD=D, ∴AC⊥平面 PDB, 又∵AC ? 平面 PAC, ∴ 平 面 PAC ⊥ 平 面 PBD;.................................................................8 分 (3)(文科)解:∵底面是 ABCD 正方形, ∴AD∥BC, 又∵BC ? 平面 PBC,AD ? 平面 PBC, ∴AD∥平面 PBC, ∴点 A 到平面 PBC 的距离等于点 D 到平面 PBC 的距离. 取 PC 的中点 M,连接 DM,则 ∵PD=DC, ∴DM⊥PC, ∵PD⊥平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD, ∴PD⊥BC, 又∵BC⊥CD,PD∩CD=D, ∴BC⊥平面 PCD, 又∵DM ? 平面 PCD, ∴BC⊥DM, 又∵PC∩BC=C, ∴DM⊥平面 PCB,
2 2

2

2

-6-

∴DM 即点 D 到平面 PBC 的距离, 又∵△PCD 是直角三角形,PC= 2,M 为 PA 中点, ∴ DM=

2 2







A







PBC









2 ...................................................12 分 2
(理科)解:设 AC、BD 相交于点 O,连接 PO,则 由(2)知∴AC⊥平面 PDB, ∵DO ? 平面 PDB,PO ? 平面 PDB, ∴AC⊥DO 且 AC⊥PO, ∴∠POD 就是二面角 P-AC-D 的平面角. 在 Rt△PDO 中,PD=1,DO=

2 , 2

∴tan∠POD= 2 , ∴ 二 面 角

P



AC



D











2 ........................................12 分

21.(10 分) (1)证明:直线 l : y ? mx ? 3 恒过定点 P(0,3),

16 ∵ 12 ? 32<
∴点 P(0,3)在圆 C: (x ? 1 )? y ? 16 内,
2 2





m? R

,



线

l





C

总 有 两 个 不 同 的 交

点;.............................................4 分 (2)由(1)知,对 m ? R 直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点,可设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 由?

? y ? m x ? 3,
2 2

( ? x ? 1) ? y ? 16,

(m2 ? 1 )x 2 ? ( 2 3m ? 1 )x ? 6 ? 0 , 得,

所以 x1 ? x2 ? ? ∵OA⊥OB,

6m ? 2 6 , x1 ? x2 ? ? 2 , 2 m ?1 m ?1

∴ x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 , ∴ (m ? 1 )x1 x2 ? 3m( x1 ? x2 ) ? 9 ? 0
2

-7-

∴?6? ∴

3m(6m ? 2) ? 9 ? 0 ∴ 5m2 ? 2m ? 1 ? 0 , 2 m ?1 ,

m?

1? 6 ...................................................................... 5

.......................................10 分

-8-


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