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2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 平面向量基本定理及其坐标运算


§5.2

平面向量基本定理及其坐标运算

[高考调研

明确考向]

考纲解读 ?了解平面向量基本定理及其意义. ?掌握平面向量的正交分解及坐标表示. ?会用坐标表示平面向量的加法、减法与 数乘运算. ?理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

考情分析 ?平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条 件的应用是重点. ?向量的坐标运算可能单独命题,更多的是与其他知 识点交汇,其中以与三角和解析几何知识结合为常 见. ?常以选择题、填空题的形式出现,难度为中、低档.

知识梳理 1.两个向量的夹角 (1)定义:

→ → 1 ________向量a和b,作OA=a,OB=b,则 已知两个□ ∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.

(2)范围: 向量夹角θ的范围是 2 □ ________________,a与b同向

3 4 时,夹角θ=□______;a与b反向时,夹角θ=□________.

(3)向量垂直: 5 若向量a与b的夹角是 □ ________,则a与b垂直,记作 6 □__________.

2.平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理: 7 定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 □ __________向 8 量,那么对于这一平面内的任意向量a, □ __________一对 9 实数λ1,λ2,使a=□______________.

其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量 10 的一组□______.

(2)平面向量的正交分解: 11 把一个向量分解为两个 □ __________的向量,叫做把 向量正交分解.

(3)平面向量的坐标表示: ①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的 两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,有且 12 只有一对实数x,y,使a=xi+yj,把有序数对 □ ______叫 13 14 做向量a的坐标,记作a= □ ________,其中 □ ________叫 15 a在x轴上的坐标,□________叫a在y轴上的坐标.

→ → 16 ②设 OA =xi+yj,则向量 OA 的坐标(x,y)就是 □ → 17 ______,即若OA =(x,y),则A点坐标为 □ ________,反之 亦成立.(O是坐标原点)

3.平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算. (2)向量坐标的求法: → 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB =(x2-x1,y2-y1),即 18 19 一个向量的坐标等于该向量 □ __________的坐标减去 □ __________的坐标.

(3)平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线?a 20 =λb?□____________.

1 答案: □ 非零

2 3 4 □ 0° ≤θ≤180° □ 0° □ 180°

5 6 7 8 9 □ 90° □ a⊥b □ 不共线 □ 有且只有 □ λ1e1+λ2e2 10 11 12 13 14 15 □基底 □互相垂直 □(x,y) □(x,y) □x □y 16 17 18 19 20 □终点A的坐标 □(x,y) □终点 □始点 □x1y2- x2y1=0

名 师 微 博 ●一个区别 向量坐标与点的坐标的区别:在平面直角坐标系中,以 → 原点为起点的向量 OA =a,点A的位置被向量a唯一确定,此 时点A的坐标与a的坐标统一为(x,y),但应注意其表示形式 → → 的区别,如点A(x,y),向量a= OA =(x,y).当平面向量 OA → → → 平行移动到 O1A1 时,向量不变,即 O1A1 = OA =(x,y),但 → O1A1的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化.

●两个防范 (1)要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它 们完全一样,但意义完全不同,向量坐标中既有方向也有大 小的信息. (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件不能 x1 y1 表示成 = ,因为x2,y2有可能等于0,所以应表示为x1y2- x2 y2 x2y1=0.

基础自测 → → → 1.(2012· 广东)若向量 BA =(2,3), CA =(4,7),则 BC = ( ) A.(-2,-4) C.(6,10) B.(2,4) D.(-6,-10)

→ → → 解析:BC=BA+AC=(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4).

答案:A

2.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=( A.3a+b C.-a+3b B.3a-b D.a+3b

)

?x-y=4, ? 解析:设c=xa+yb,则 ? ?x+y=2, ?

?x=3, ? ∴? ?y=-1. ?

∴c=

3a-b.

答案:B

3.(2013· 郑州月考)设向量a=(m,1),b=(1,m),如果a 与b共线且方向相反,则m的值为( A.-1 C.-2 B.1 D.2 )

解析:设a=λb(λ<0),即m=λ且1=λm.解得m=± 1,由 于λ<0,∴m=-1.

答案:A

4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a、3b -2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c= ( ) A.(4,6) C.(4,-6) B.(-4,-6) D.(-4,6)

解析:设c=(x,y),则4a+(3b-2a)+c=0,
?4-6-2+x=0, ? ∴? ?-12+12+6+y=0, ? ?x=4, ? ∴? ?y=-6. ?

答案:C

5.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2), 若(a+b)∥c,则m=__________.

解析:a+b=(1, m-1). ∵(a+b)∥c,∴2-(-1)(m-1)=0,∴m=-1.

答案:-1

考点一

平面向量基本定理的应用

[例1]

(2013· 南京质检)如图所示,在△ABC中,H为BC上

→ → → 异于B,C的任一点,M为AH的中点,若AM =λAB +μAC ,则λ +μ=__________.

→ → 解析:由B,H,C三点共线,可令 AH =x AB +(1- 1→ 1 → 1 → → x) AC ,又M是AH的中点,所以 AM = 2 AH = 2 x AB + 2 (1- 1 1 1 → → → → x)AC,又AM=λAB+μAC,所以λ+μ=2x+2(1-x)=2.

1 答案: 2

方法点睛

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利

用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运 算,共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定 后,任一向量的表示都是唯一的.

变式训练1 如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在 → → → 一起.若AD=xAB+yAC,则x=__________,y=________.

解析:以AB所在直线为x轴,以A为原点建立平面直角坐 标系如图.

→ → 令AB=2,则 AB =(2,0), AC =(0,2),过D作DF⊥AB交 → AB的延长线于F,由已知得DF=BF= 3,则AD =(2+ 3, 3). → → → ∵AD=xAB+yAC, ∴(2+ 3, 3)=(2x,2y). ? ?x=1+ 3, ?2+ 3=2x, 2 ? ? 即有? 解得? ? 3=2y, 3 ? ? ?y= 2 . ?

3→ 3? → → → → ? ? ? 另解:AD=AF+FD=?1+ ?AB+ 2 AC, 2? ? 3 3 所以x=1+ 2 ,y= 2 .

3 答案:1+ 2

3 2

考点二

平面向量的坐标运算

[例2]

已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).

→ → → → → 设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b. (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; → (3)求M、N的坐标及向量MN的坐标.

解析:由已知,得a=(5,-5),b=(-6,-3),c= (1,8). (1)3a+b-3c=3· (5,-5)+(-6,-3)-3· (1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5),
?-6m+n=5, ? ∴? ?-3m+8n=-5, ? ?m=-1, ? 解得? ?n=-1. ?

→ → → (3)设O(0,0),∵CM=OM-OC=3c, → → ∴OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). ∴M(0,20). → → → 又∵CN=ON-OC=-2b, → → ∴ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2). → ∴N(9,2).∴MN=(9,-18).

方法点睛

利用向量的坐标运算解题,主要就是根据相

等的向量坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解;在 将向量用坐标表示时,要看准向量的起点和终点坐标,也就 是要注意向量的方向,不要写错坐标.

变式训练2

在平行四边形ABCD中,AC为一条对角 )

→ → → 线,若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD=( A.(-2,-4) C.(3,5)

B.(-3,-5) D.(2,4)

→ → → → → → → 解析:由题意得BD =AD -AB =BC -AB =(AC -AB )- → → → AB=AC-2AB=(1,3)-2(2,4)=(-3,-5).

答案:B

考点三

平面向量共线的坐标运算

[例3]

已知a=(1,2),b=(-3,2),是否存在实数k,使得

ka+b与a-3b共线,且方向相反?

解析:若存在实数k,则ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k- 3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4). 若这两个向量共线,则必有(k-3)×(-4)-(2k+2)×10 =0.
? 10 4? 1 解得k=-3.这时ka+b=?- 3 ,3?, ? ?

1 所以ka+b=-3(a-3b). 即两个向量恰好方向相反,则题设的实数k存在.

方法点睛

向量共线问题中,一般是根据其中的一些关

系求解参数值,如果向量是用坐标表示的,就可以使用两个 向量共线的充要条件的坐标表示列出方程,根据方程求解其 中的参数值.

变式训练3

平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-

1,2),c=(4,1),回答下列问题: (1)求满足a=mb+nc的实数m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k; (3)若向量d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求d.

解析:(1)由题意,得 (3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n), 5 ? ?-m+4n=3, ?m=9, ? ∴? 得? ?2m+n=2, ? ?n=8. ? 9

(2)∵a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 又∵(a+kc)∥(2b-a), ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0. 16 ∴k=-13.

(3)设向量d坐标为(x,y),则d-c=(x-4,y-1),a+b =(2,4).
?4?x-4?-2?y-1?=0, ? 由题意,知? ??x-4?2+?y-1?2=5, ? ?x=3, ? ∴? ?y=-1, ? ?x=5, ? 或? ?y=3. ?

∴向量d的坐标为(3,-1)或(5,3).

易错矫正(十六) [试题]

忽视向量平行的充要条件致误 5 ,b=

(2011· 湖南)设向量a,b满足|a|=2

(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为__________.

错解:∵a与b方向相反,∴a∥b. ∴可设a=λb(λ∈R),∴a=λ(2,1)=(2λ,λ). 由|a|= 5λ2=2 5,解得λ=-2或λ=2. 故a=(-4,-2)或a=(4,2). 错因:误认为“a与b的方向相反?a∥b”致使设a=λb 出现增解.

正解:∵a与b方向相反,∴可设a=λb(λ<0),∴a= λ(2,1)=(2λ,λ).由|a|= 2(舍), 故a=(-4,-2). 5λ2 =2 5 ,解得λ=-2,或λ=

答案:(-4,-2)


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