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2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.2.2.2椭圆方程及性质的应用》课时提升作业(含答案解析)


课时提升作业(十三)
椭圆方程及性质的应用

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.过椭圆 +y2=1 的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于 A,B 两点,则 |AB|等于( A.4 ) B.2 C.1 D.4

【解析】选 C.因为 +y2=1 中 a2=4,b2=1, 所以 c2=3,所以右焦点坐标 F( 将 x= ,0),

代入 +y2=1 得,y=〒 ,故|AB|=1.

2.已知直线 l 过点(3,-1),且椭圆 C: + =1,则直线 l 与椭圆 C 的公共点的个数 为( A.1 C.2 ) B.1 或 2 D.0 <1,

【解析】选 C.因为直线过定点(3,-1)且 +

所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线 l 与椭圆有 2 个公共点. 3.直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系是( A.相交 B.相切 C.相离 )

D.不确定

【解析】 选 A.直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 过定点(1,1),且该点在椭圆内部,因此必 与椭圆相交,故选 A. 4.(2014· 杭州高二检测)已知椭圆 mx2+ny2=1 与直线 x+y=1 相交于 A,B 两点,M 为

AB 的中点,O 为坐标原点,若直线 OM 的斜率为 A. B. C.

,则 的值为( D.2

)

【解析】选 A.设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点 M(x0,y0), 由题意可得 = = , =-1 ①

因为 A,B 在椭圆上, 所以 m +n =1,m +n =1,

两式相减可得 m(x1-x2)(x1+x2)+n(y1-y2)(y1+y2)=0 ② 所以 即-1=所以-1=- · =, , = . ,

5.(2014· 衡水高二检测)如果 AB 是椭圆 + =1 的任意一条与 x 轴不垂直的弦,O 为椭圆的中心,e 为椭圆的离心率,M 为 AB 的中点,则 kAB·kOM 的值为( A.e-1 B.1-e C.e2-1 D.1-e2 )

【解析】选 C.设 A(x1,y1),B(x2,y2),中点 M(x0,y0), 由点差法, + =1, + =1,作差得 = 所以 kAB·kOM= · = , = =e2-1.

6.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆 E: + =1(a>b>0)的右焦点 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A,B 两点,若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( A. + =1 C. + =1 B. + =1 D. + =1 )

【解题指南】本题中给出 AB 的中点坐标,所以在解题时先设出 A,B 两点坐标,然

后采用点差法求解. 【解析】选 D.由椭圆 + =1 得, b2x2+a2y2=a2b2, 因为过点 F 的直线与椭圆 + =1(a>b>0)交于 A,B 两点, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 则 b2 b2 + a2 = a2b2 ①, =1, =-1,

+ a2

= a2b2 ②, )+ a2( )=0,

由①-②得 b2(

化简得 b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0. 2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0, = , 又直线的斜率为 k= 因为 b2=a2-c2=a2-9,所以 解得 a2=18,b2=9. 故椭圆方程为 + =1. ) = ,即 = . = ,

【变式训练】 椭圆 + =1 中,以点 M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率为( A. B. C. D.-

【解析】选 B.设弦的两个端点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 ①-②得

+ 又因为弦中点为 M(-1,2),

=0,

所以 x1+x2=-2,y1+y2=4, 所以 所以 k= + = . =0,

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2014·天水高二检测)过点 M(1,1)作一直线与椭圆 + =1 相交于 A,B 两点, 若 M 点恰好为弦 AB 的中点,则 AB 所在直线的方程为 【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,得 4 两式相减,得 4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0, 由中点坐标公式得 所以 k= =- , =1, =1, +9 . =9〓4,4 +9 =9〓4,

所以所求直线方程为 4x+9y-13=0. 答案:4x+9y-13=0 8.(2014·德州高二检测)如图,F1,F2 分别为椭圆 + =1 的左、右 焦点,点 P 在椭圆上,△POF2 是面积为 是 . 的正三角形,则 b2 的值

【解析】因为|OF2|=c, 所以 = c 2= ,所以 c=2. ),

又因为 P 点在椭圆上,且 P(1, 所以 + =1,所以 + =1.

又因为 a2=b2+c2=4+b2,所以 b2=2 答案:2

.

9.(2013·辽宁高考改编)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点

的直线相交于 A,B 两点,连接 AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则 C 的离心 率为 .

【解题指南】由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质(对称性)求出点 A(或 B)到右焦点的距离,进而求得 a,c. 【解析】 在三角形 ABF 中,由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||BF|cos∠ABF, 又|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= , 解得|AF|=6.在三角形 ABF 中,|AB|2=102=82+62=|BF|2+|AF|2,故三角形 ABF 为直角 三角形.设椭圆的右焦点为 F′,连接 AF′,BF′,根据椭圆的对称性,四边形 AFBF′为矩形, 则其对角线|FF′|=|AB|=10,且|BF|=|AF′|=8, 即焦距 2c=10, 又据椭圆的定义,得|AF|+|AF′|=2a, 所以 2a=|AF|+|AF′|=6+8=14. 故离心率 e= = = . 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10. 椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 A,B 两点 ,C 是 AB 的中点 , 若 |AB|=2 ,OC 的斜率为 ,求椭圆的方程.

【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2), 代入椭圆方程,得 a a +b =1. ② +b =1, ①

②-①,得 a(x2+x1)(x2-x1)+b(y2+y1)(y2-y1)=0.



=kAB=-1, =kOC= ,则 b= a. |x2-x1|= |x2-x1|=2 ,所以|x2-x1|=2.

又因为|AB|= 又由 所以 x1+x2=

得(a+b)x2-2bx+b-1=0, ,x1x2= . -4· , y2=1. =4,

所以|x2-x1|2=(x1+x2)2-4x1x2= 将 b= a 代入,得 a= ,b=

所以所求的椭圆方程为 +

【一题多解】由直线方程和椭圆方程联立,得

得(a+b)x2-2bx+b-1=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= = 因为|AB|=2 . ,所以 = =1. ① ,y=1-x= . .

设 C(x,y),则 x= 因为 OC 的斜率为 代入①,得 a= ,b= 所以椭圆方程为 +

,所以 = . y2=1.

11.(2014 ·德 阳高二 检测 ) 已 知离心率 为

的 椭 圆 C:

+

=1(a>b>0) 过点

M(

,1).

(1)求椭圆的方程. (2)已知与圆 x2+y2= 相切的直线 l 与椭圆 C 相交于不同两点 A,B,O 为坐标原点, 求 · 的值. ,及椭圆 C 过点 M( ,1)建立方程组,即可确定椭圆 C

【解题指南】(1)由 e= 的方程.

(2) 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 讨 论 l 的 斜 率 不 存 在 时 l:x= 〒 · = =0.

,此时

当直线 l 的斜率存在时,设 l:y=kx+m,由 l 与圆相切得 3m2-8k2-8=0,再将 l 代入椭 圆方程,利用根与系数的关系及向量的数量积公式即可求得. 【解析】(1)因为 e= 所以 解得 ,又椭圆 C 过点 M( ,1),

所以椭圆方程为 + =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 当直线 l 的斜率不存在时,l:x=〒 则 x1=x2=〒 所以 · = ,y1=-y2, =0. ,

当直线 l 的斜率存在时,设 l:y=kx+m, 由于 l 与圆相切得: 所以 3m2-8k2-8=0. 将 l 的方程代入椭圆方程得: = ,

(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0, 所以 x1+x2=所以 综上, · · ,x1·x2= , =0,

=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2= =0.

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.(2014· 成都高二检测)直线 l:x-2y+2=0 过椭圆左焦点 F1 和一个顶点 B,则该椭 圆的离心率为( A. B. ) C. D.

【解析】选 D.由 x-2y+2=0,令 y=0,得 F1(-2,0). 令 x=0,得 B(0,1),即 c=2,b=1, 所以 a= ,所以 e= = = .

2.(2014· 北京高二检测)若直线 ax+by+4=0 和圆 x2+y2=4 没有公共点,则过点(a,b) 的直线与椭圆 + =1 的公共点个数为( A.0 C.2 B.1 D.需根据 a,b 的取值来确定 )

【解题指南】根据直线 ax+by+4=0 和圆 x2+y2=4 没有公共点,可推断点(a,b)是以 原点为圆心,2 为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆 x2+y2=4 内切 于椭圆,进而可知点 P 是椭圆内的点,进而判断可得答案. 【解析】选 C.因为直线 ax+by+4=0 和圆 x2+y2=4 没有公共点, 所以原点到直线 ax+by+4=0 的距离 d= >2,所以 a2+b2<4,所以点 P(a,b)是在

以原点为圆心,2 为半径的圆内的点, 因为椭圆的长半轴为 3,短半轴为 2, 所以圆 x2+y2=4 内切于椭圆, 所以点 P 是椭圆内的点, 所以过点 P(a,b)的一条直线与椭圆的公共点数为 2. 故选 C. 3.(2013·大纲版全国卷)椭圆 C: + =1 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 P 在 C 上 且直线 PA2 斜率的取值范围是 A. C. B. D. + =1 中 , 得到 x0 与 y0 之间的关系 , 利用 ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是( )

【解题指南】将 P(x0,y0) 代入到 · 为定值求解

的取值范围.

【解析】选 B.设 P(x0,y0),则 + =1, 因为 所以 = , = , · = = =- ,故 =.

∈[-2,-1], ∈ .

4.过点 M(-2,0)的直线 m 与椭圆 +y2=1 交于 P1,P2,线段 P1P2 的中点为 P,设直线 m 的斜率为 k1(k1≠0),直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 的值为( )

A.2

B.-2

C.

D.-

【解析】选 D.设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x0,y0), 则 + + =1, ① =1, ② =-(y1+y2)(y1-y2), ==,k2= , .所以 k1·k2=- . .

①-②得 所以 因为 k1= 所以 k1=-

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2014·邯郸高二检测)过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为 【解析】右焦点为(1,0),故直线为 y=2(x-1). 由 所以 x=0 或 x= , 从而 A(0,-2),B 所以|AB|= 又 O 到 AB 的距离 d= . = = = , 〓 = . . 消去 y,得 3x2-5x=0, .

所以 S△AOB= ·|AB|·d= 〓 答案:

6.(2014·广州高二检测)已知椭圆 C: +y2=1 的两焦点为 F1,F2,点 P(x0,y0)满足 0< + <1,则|PF1|+|PF2|的取值范围为 .

【 解 析 】 依 题 意 知 P 位 于 椭 圆 C 的 内 部 ( 异 于 原 点 O), 因 此 有 |F1F2| ≤

|PF1|+|PF2|<2a, 即 2≤|PF1|+|PF2|<2 答案:[2,2 ) ,故范围为[2,2 ).

三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7. 圆 C1 的方程为(x-2)2+(y-1)2= ,椭圆 C2 的方程为 + =1(a>b>0),C2 离心率为 .若 C1 与 C2 相交于 A,B 两点,且线段 AB 恰好为圆 C1 的直径.求直线 AB 的方程和 椭圆 C2 的方程. 【解析】由 e= 得 a2=2c2=2b2. + =1.

所以椭圆 C2 的方程为 设 A(x1,y1),B(x2,y2),

由圆心(2,1)得 x1+x2=4,y1+y2=2. 又 + =1, + =1,

相减整理得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0. 从而 =-1,

所以直线方程为 y-1=-(x-2), 即 y=-x+3. 代入椭圆方程,得 3x2-12x+18-2b2=0. 因为直线 AB 与椭圆相交, 所以Δ>0,即 b2>0. 由|AB|= = 所以 b2=8,a2=16, |x1-x2|= =2 ,

所以椭圆方程为 + =1. 8.(2013·重庆高考)如图,椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴 上,离心率 e= 点,|AA′|=4. (1)求该椭圆的标准方程. (2)取平行于 y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P,P′,过 P,P′作圆心为 Q 的 圆,使椭圆上的其余点均在圆 Q 外.求△PP′Q 的面积 S 的最大值,并写出对应的 圆 Q 的标准方程. 【解题指南】直接利用已知条件可求出椭圆的标准方程,设出 Q 点的坐标,利用 椭圆上的其余点均在圆 Q 外可求△PP′Q 的面积 S 的最大值以及圆的标准方程. 【解析】(1)设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0), 由题意知点 A(-c,2)在椭圆上, 则 由 e= + =1,从而 e2+ =1. ,得 b2= =8,从而 a2= =16, ,过左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A,A′两

故该椭圆的标准方程为 + =1. (2)由椭圆的对称性,可设 Q(x0,0), 又设 M(x,y)是椭圆上任意一点 ,则 |QM|2=(x-x0)2+ y2=x2-2x0x + +8 = (x-2x0)2+8(x∈ ).

设 P(x1,y1),由题意,P 是椭圆上到 Q 的距离最小的点,因此,上式当 x=x1 时取最小 值,又因为 x1∈ ,所以上式当 x=2x0 时取最小值,从而 x1=2x0,且|QP|2=8.

由对称性知 P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|, 所以 S = |2y1||x1-x0| = 〓2 = = . |x0|

当 x0=〒

时,△PP′Q 的面积 S 取到最大值 2

. = ,因此,这样的

此时对应的圆 Q 的圆心坐标为 Q(〒 圆有两个,其标准方程分别为(x+

,0),半径|QP| = )2+y2=6,(x)2+y2=6.


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