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[配套K12]八年级数学上册 14.1 勾股定理 14.1.1 直角三角形三边的关系教案1 (新版)华东师大版


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第 14 章 勾股定理

单元要点分析

教材内容

勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就,勾股定理为我们提供了直角三角形的三边间

的数量关系,它的逆定理为我们提供了判断三角形是否属于直角三角形的依据,也是判定两

条直线是否互相垂直的一个重要方法,这些成果被广泛应用于数学和实际生活的各个方面.

本单元通过数据格子的办法发现直角三角形的三边间的数量关系,得到了“直角三角形

两直角边的平方和等于斜边平方”这个著名的勾股定理,又利用拼图的方法论证勾股定理的

合理性.书中介绍了古埃及人做直角的方法,通过学生动手制作,利用勾股数为边的三角形,

通过量角器发现所得的三角形是直角三角形,从而推出“如果三角形的三边长 a、b、c 满足

a2+b2=c2 时,那么这个三角形是直角三角形”这个勾股定理的逆定理.在使用勾股定理时,

应强调直角的前提并分清斜边和直角边,千万不能变成“三角形两边的平方和等于第三边的

平方”在使用勾股定理时,只要三角形三边 a、b、c 满足 a2+b2=c2,这个三角形是直角三角

形,而不应为三角形只有三边具有勾股数,才是直角三角形.因为勾股数只局限于正整数,

在信息闭塞的几千年前人们在人同的地方都发现勾股定理,这就是人们想通过勾股定理与外

星人沟通的理由.

数学目标(三维目标)

知民技能:掌握勾股定理,了解利用拼图验证勾股定理的方法,并能运用勾股定理解决

一些实际问题;掌握制定一个三角形是直角三角形的条件,并能运用它解决一些实际问题.

过程与方法:经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程,发展合情推

理能力,体会数形结合的思想.

情感态度与价值观:通过实例了解勾股定理的历史和应用,体会勾股定理的文化价值.

教学重点

本单元教学重点是掌握勾股定理及其逆定理的应用.

教学难点

本单元教学难点是对勾股定理及其逆定理的认识.

教学关键

本单元为了使学生更好地认识勾股定理,采用了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾

股定理,再利用拼图方法验证勾股定理的内容.

课时划分

直角三角形三边的关系

2 课时

直角三角形的判定

1 课时

勾股定理的应用

2 课时

小结与复习

1 课时

14.1.1 直角三角形三边的关系(1)

教学目标 知识与技能:掌握勾股定理,了解利用拼图验证勾股定理的方法. 过程与方法:经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程,发展合情推理能力. 情感态度与价值观:培养合作、探索的意识,体会数形结合的思想,以及识图能力. 重点、难点、关键 重点:了解勾股定理的由来,并应用勾股定理解决一些简单问题.

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难点:对勾股定理的认识. 关键:让学生经历观察、归纳、猜想和验证勾股定理,再将 a2、b2、c2 与正方形面积联 系起来,通过比较得到勾股定理. 教学准备 教师准备:投影仪、补充资料、直尺、圆规. 学生准备:两块直角三角尺,其中如下图 1 的直角三角形带 4 块来.

a

c

b

图1 教学过程 一、创设情境 1.教师叙述:人类一直想要弄清其他星球上是否存在着“人”,?并试图与“他们”取 得联系,那么我们怎样才能与“外星人”接触呢?数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为 与“外星人”联系的信号.勾股定理有着悠久的历史,古巴比伦人和古代中国人看出了这个 关系,古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系,很多具有古老文化的民族和国家都会 说:我们首先认识的数学定理是勾股定理. 教师边叙述边利用投影仪,展示有关勾股定理的图片.其中重点说明“希腊发行的一枚 纪念邮票”. 投影显示问题情境:这是 1955 年希腊发行的一枚纪念邮票(如图 2 所示),请你观察 这枚邮票图案小方格的个数,你发现了什么?

图2

图3

图4

学生活动:观察邮票,在教师的引导下发现最大的正方形面积是两个中、小正方形面积的和,

即 32+42=52,同时发现中间的直角三角形两直角边分别 3 和 4,?斜边是 5.

继续探究.

投影显示下图:图 3 和图 4.

教师提出问题:

(1)观察图 3,正方形 A 中含有____个小方格,即 A 的面积是____?个单位面积;

正方形 B 中含有_____个小方格,即 B 的面积是______个单位面积;

正方形 C 中含有_____个小方格,即 C 的面积是______个单位面积.

你是怎样得到上面的结果呢?

学生活动:小组合作讨论,然后交流答案.在图 3 中,A 有 9 个小方格,所以 A 面积是

9 个单位面积,B 有 9 个小方格,所以 B 面积是 9 个单位面积,C 有 18 个小方格,?所以 C

面积是 18 个单位面积.

教师提出问题:

(2)在图 4 中,正方形 A、B、C 中各含有多少个小方格?它们的面积各是多少?

(3)你发现图 3 中三个正方形 A、B、C 的面积之间有什么关系呢?图 4 中的呢?

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学生活动:小组合作讨论,然后回答问题.解决(2)的方法和(1)类似,解决(3)? 的问题中可以发现:两块小正方形面积和等于大正方形面积.
2.试一试 测量你的两块直角三角尺的三边的长度,并将各边的长度填入下表:
三角尺 直角边 a 直角边 b 斜边 c 关系 1 2
请你根据已经得到的数据,猜想三边的长度 a、b、c 之间的关系. 学生活动:小组合作交流,动手测量,从中发现 a2+b2=c2,即两直角边的平方和等于斜 边的平方. 二、特殊→一般 问题提出. 教师提问:是否所有的直角三角形都有这个性质呢?即任作 Rt△ABC,∠=90°,BC=a, AC=b,AB=c,如图 5,那么,也就是说 a2+b2=c2.

图5

图6

学生活动:拿出准备好的学具:4 块大小相同的任意直角三角形,小组合作,讨论,寻

求答案.

分析与点拨:

如图 6(甲)那样,将四个与 Rt△ABC 全等的直角三角形放入边长为 a+b?的正方形内,

得到正方形 I3,并且 I3 的边长等于 Rt△ABC 的斜边 C.

又如图 6(乙)那样,将四个与 Rt△ABC 全等的直角三角形放入边长为 a+b?的正方形内,

得到边长分别为 a,b 的两个正方形 I1,I2.

图 14-1-6(甲)与图 14-1-6(乙)中的两个大正方形的边长都是 a+b,所以它们的面

积相等,即 c2+4· 1 ab=a2+b2+4· 1 ab

2

2

a2+b2=c2

师生共识:

勾股定理:直角三角形两直角边 a,b 的平方和,等于斜边 c 的平方.

a2+b2=c2

评析:勾股定理的证明据不完全统计已有 400 余种证明方法,教学中可以先让学生查阅

大量资料,了解勾股定理的背景及其证明,然后在教学时进行交流讨论.

三、阅读与思考

1.阅读课本 P48~50 内容.

2.思考下列问题.

投影显示:如图 7 所示,在等腰三角形 ABC 中,已知 AB=AC=13 厘米,BC=10 厘米.

(1)你能算出 BC 边上的高 AD 的长吗?

(2)△ABC 的面积是多少呢?

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图7

图8

教师活动:操作投影仪,引导学生思考问题,关注“学困生”.

学生活动:小组合作,讨论,应用所学知识解决问题,然后上讲台演示.

答案:(1)12 厘米 (2)60 平方厘米.

四、范例学习

例 1 如图 8 所示,将长为 5.41 米的梯子 AC 斜靠在墙上,BC 长为 2.16 米,求梯子上

端 A 到墙的底边的垂直距离 AB.(精确到 0.01 米)

思路点拨:本题是勾股定理的应用,关键是确定好 Rt△ABC,AB、BC 是两条直角边,AC

是斜边,然后根据勾股定理可得 AB= AC2 ? BC2 ? 5.412 ? 2.162 ≈4.96(米),应该注
意的是,?斜边的平方减去其中一条直角边的平方的开平方运算问题. 教师活动:板演例 1,对书写表达格式进行要求. 学生活动:参与教师讲例,理解勾股定理的实际应用. 媒体使用:投影显示例 1. 五、随堂练习 1.课本 P51 练习第 1,2 题. 2.补充题:分别以图 9(a)的直角三角形三边长为边作正方形,得到图 9(b),那
么这三个正方形的面积有什么关系呢?

图9 六、课堂总结 1.勾股定理:直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方,即 a2+b2=c2; 2.勾股定理应用提示: (1)勾股定理只在直角三角形中成立,运用时,必须分清斜边、直角边,?然后再使用; 若没有告诉斜边的情况下,经常有两解,勿漏解. (2)勾股定理将“形”转化为“数”,?而这对于实际问题的解决起着积极的作用. 3.勾股定理的作用:
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(1)已知直角三角形任意两边,求第三边; (2)已知直角三角形的一边,求另两边的关系; (3)用于说明平方关系;

(4)作长为 n 的线段.

七、布置作业

1.课本 P54 习题 14.1 第 1,2,3 题.

2.选用课时作业设计.

八、课后反思(略).

第一课时作业设计

一、填空题

1.在△ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c.

(1)若 a=8,b=15,则 c=________.

(2)c=10,a:b=3:4,则 a=______,b=_______.

(3)若 a=b,c2=m,则 a2=________.

(4)若 c=61,a=60,则 b=________.

2.请写出满足勾股定理:a2+b2=c2 的三组数组________.

3.要登上 12m 高的建筑物,为安全起见,?需使梯子的底端离建筑物 5m,?至少需要

_______m 长的梯子.

4.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=12cm,S△ABC=30cm2,则 AB=_______.

5.等腰△ABC 的腰长 AB=10cm,底 BC=16cm,则底边上的高为______.面积为____.

6.已知四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,AB=8,AD=4,BC=6,则以 DC 为边的正方

形面积为_______.

7.在△ABC 中,∠C=90°,若 a=5,b=12,则 c=_______.

8.一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为_______.

二、判断

9.若 a,b,c 是△ABC 的三边,则 a2+b2=c2.( )

10.若 a,b,c 是直角△ABC 的三边,则 a2+b2=c2.( )

11.若正方形的面积为 2cm2,则它的对角线长为 2cm.( )

三、选择题

12.下列几组数中,能满足勾股定理的是( ).

A.3,4,6 B.4,5,6 C.6,7,8 D.9,40,41

13.直角三角形两直角边分别为 5cm,12cm,其斜边上的高为( ).

A.6cm

B.8cm

C. 80 cm 13

D. 60 cm 13

14.正方形的对角线长 10m,正方形的面积是( )m2.

A.100

B.75

C.50 D.25

四、解答题

15.如图所示,在△ABC 中,AB=20cm,AC=13cm,BC 边上的高 AD=12cm,?求 BC 的长.

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A

B

DC

16.如图所示,铁路上 A、B 两点相距 25km,C、D 为两村庄,DA 垂直 AB?于 A,CB 垂 直 AB 于 B,已知 AD=15km,BC=10km,现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E,?使得 C、 D 两村到 E 站的距离相等,则 E 站应建在距 A 站多少 km 处?

17.已知△ABC 为直角三角形(如图所示),且∠B=90°,D、E 分别在 BC?和 AB 上, AD2+CE2=AC2+DE2 吗?为什么?

18.某车间的人字形层架(如图所示)为等腰三角形 ABC,跨度 AB=24m,?上弦 AC=13m, 求中柱 CD(D 为底 AB 的中点).
C

A

D

B

答案:
一、1.(1)17 (2)6 8 (3) m (4)11 2
2.8,15,17 或 3,4,5 或 5,12,13 3.?13 ?4.13cm 5.6m 48cm2 7.13 8.6 8 10 二、9.× 10.× 11.∨ 三、12.D 13.D 14.D 四、15.在 Rt△ABC 中,由勾股定理得 BD=16cm,
同理 CD=5cm,则 BC=BD+DC=21cm. 16.设 AE=xkm,由勾股定理得 AE2+AD2=DE2,BE2+BC2=CE2,
又 DE=CE,所以 AE2+AD2=BE2+BC2,?即 x2+152=(25-x)2+102, 解得 x=10,故 E 站应建在距 A 站 10km 处. 17.提示:运用勾股定理列等式,?再进行恒等变形

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