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二元一次不等式组与平面区域1_图文


二元一次不等式(组) 与平面区域
人教A版必修5 §3.3.1

沂南第一中学

畅古月

一、教材分析
学习目标
1

理解二元一次不等式的几何意义

2

能准确画出二元一次不等式(组) 所表示的平面区域
能利用二元一次不等式(组)所 表示的平面区域解决简单的问题

3

二、引入新课 概念形成
自主阅读课本82-83页,找出一下概念:
含有两个未知 数,并且未知 数的次数是 1 二元一次 的不等式称为 不等式? 二元一次不等 式。 由几个二元 二元一 一次不等式 组成的不等 次不等 式组称为二 式组? 元一次不等 式组。

自主阅读

满足二元一次不等式(组)的x和y的 二元一次不等式 取值构成有序实数对( x,y),所有这 样的有序实数对( x,y)构成的集合称 (组)的解集? 为二元一次不等式(组)的解集。

二、引入新课 复习回顾
想 一 想 ?
问题二 问题一: 在平面直角坐标系中,点集 在数轴上,一元一次不等式 {(x,y)|x+y-1=0} 表示什么图形? x-1>0表示什么图形?
y

X >1

01 1
O 1 x

x

答:表示数轴上的一个区间
x+y-1=0

答:表示过点(0,1)和(1,0)的一条直线

二、引入新课 探究新知
想 问题三 一 在平面直角坐标系中,直线x+y-1=0 想 将平面分成几部分呢? y? 答:分成三部分:
1

(1)点在直线上
1

0

x (2)点在直线的右上方 x+y-1=0 (3)点在直线的左下方

?不等式x+y-1>0对应平面内哪部分的点呢?

三、讲解新课 探索规律
直线上的点的坐标满足x+y-1=0,那么直 线两侧的点的坐标代入x+y-1中,也等于 0吗?先完成下表,再观察有何规律呢? y 1、点集{(x,y)|x+y-1>0}
右上方点 左下方点

表示直线x +y-1=0 (1,1) (0,0) 右上方的平面区域; (2,0) (-1,0) 2、点集{(x,y)|x+y-1<0} 代入点的坐标 表示直线 x) +y-1=0 (2,1 (-1,1) 左下方的平面区域。 (-1,-1) (2,2) 3、直线x+y-1=0 正 叫做这两个 负 x+y-1值的正负 区域的边界。

区域内的点

1

0

1

x

x+y-1=0

直线同一侧的点的坐标代入x+y-1中, 所得数值的符号一致!

三、讲解新课 总结方法
画二元一次不等式表示的平面区域的步骤:

方法总结:

1、一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+B y+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 1、线定界(注意边界的虚实) 平面区域,我们把直线画成虚线,以表示区域不包含 边界;不等式 Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界, 把边界画成实线。
由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+C中,所得 2、 2、点定域(代入特殊点验证) 实数符号相同,所以只需在直线的某一侧取一个 特别地,当C≠0时常把原点作为特殊点。 特殊点代入Ax+By+C中,从所得结果的正负即可 判断Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。

三、讲解新课 热身练习
口答下列点集所表示的分别是什么图形?
⑴{(x,y)|x=0};
Y O
(Y 轴 )

{(x,y)|x>0};
Y

{(x,y)|x≤0}
Y

X

O

X

O

X

(Y轴右方的平面区 域,不含边界线)

(Y轴左方的平面区域, 含边界线)

⑵{(x,y)│y=0};{(x,y)│y>0}; {(x,y)│y ≤0} Y Y Y O X O X O X
(X 轴 )
(X轴上方的平面区域, 不含边界线)

(X轴下方的平面区 域,含边界线)

三、讲解新课 典例精析
题型一:画二元一次不等式表示的区域 例1、画出 x+4y<4 表示的平面区域

y
x+4y>4

(1)x +4y>4 变式: (2)x-y-4<0 (3)x-y-4>0

x+4y=4

o

x
x+4y<4

y x
x-y-4>0

通过观察上面 4个二元一 将字母y前面的系数 次不等式所对应的平面区 化为正数,那么“>”就 o 域,你能否找到规律,可 表示上方区域;“<”就 以快速判断出不等式表示 表示下方区域! 哪一侧的区域呢? x-y-4=0

三、讲解新课 典例精析
题型二:画二元一次不等式组表示的区域 例2、画出不等式组表示的平面区域。 y

x-y+5≥0 x+y≥0 x ≤3
画二元一次不等式组表 分析: 由于所求平面区域的点的坐 示的平面区域的步骤: 标需同时满足两个不等式, 因此二元一次不等式组表示 的区域是各个不等式表示的 区域的交集,即公共部分。
-5

x-y+5=0
5

o

x
4

x+y=0

x=3

三、讲解新课 强调注意
1.确定边界直线要准确, 否则将得不到 正确的平面区域 3.理解“线定界,点 定域”方法的内涵

2.注意不等式是 否带等号,即注意 边界直线的虚实画法

4.作图要规范, 判断要熟练、准确
Page ?11

三、讲解新课 跟踪练习
如图,表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)>0 的点(x,y)所在区域应为:( )
y 1 O 2

B y
O y 1

1

y 1
O 2

(A)

χ

2

χ

(B)

(C)

χ

O

2

(D)

χ

三、讲解新课 典例精析
题型三:根据平面区域写出二元一次不等式(组)

例3、写出表示下面区域的二元一次不等式 y 解析:边界直线方程为 x+y-1≤0 紫色区域 x+y-1=0 代入原点(0,0) 绿色区域 x-2y+2 > 0 得0+0-1<0 即所求不等式为 蓝色区域 y≥-1 x+y-1≤0 黄色区域

1 -2

o
-1

1

x

x+y-1≤0 x-2y+2>0 y≥-1

三、讲解新课 方法总结
根据平面区域写出二元一次 不等式(组)的步骤:
求边界直线的方程 代入区域内的点定号 写出不等式(组)

三、讲解新课 典例精析
题型四:综合应用

例 4、 试确定m的范围,使点(1,2)和 (1,1)在3x-y+m=0的异侧。 变式:若在同侧,m的范围又是什么呢?
解析: 由于在异侧,则( 解析 : 由于在同侧,则(1 1, ,2 2)和( )和(1 1, ,1 1) )
代入 代入3x-y+m 3x-y+m 所得数值异号, 所得数值同号, 则有( <0 0 则有(3-2+m 3-2+m)( )(3-1+m 3-1+m) )>

所以( <0 所以(m+1 m+1) )(m+2) (m+2)> 0
即: 即:-2<m<-1 m <-2或m>-1

三、讲解新课 典例精析
题型四:综合应用 x-y+5≥0

例5、 求二元一次不等式组 y≥2
0≤x≤2

y
5

C x-y+5=0
D

所表示的平面区域的面积
解析: 如图,平面区域为直角梯形,易得 A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5) 所以AD=3,AB=2,BC=5 故所求区域的面积为 1 S= ?3 ? 5?? 2 ? 8 2 -5

2A

B
2

y=2

o

x

x=2

三、讲解新课 变式训练
题型四:综合应用 x-y+5≥0

变式: 若二元一次不等式组 y≥a
0≤x≤2

所表示的平面区域是一个三角形, 求a的取值范围

三、讲解新课 变式训练
题型四:综合应用 x-y+5≥0

y
7 5D

x-y+5=0

变式: 若二元一次不等式组 y≥a
0≤x≤2

C

a y=7
y=5 a

所表示的平面区域是一个三角形, 求a的取值范围

答案:5≤a< 7

-5

o

2 x=2

x
y=a

四、当堂检测 反馈练习

1、课本86页2、3题 2、学案64页2、3、4题; 学案66页3题

五、能力提升 巩固强化
探究 学案66页第3题
1
y

求不等式 x ? y ? 1 所表示的平面区域的面积
解析:平面区域如图所示 是一个边长为 2 的正方形 -1

o
-1

1

x

故面积为2

六、小结深化 反思提高

本节课的知 识要点有哪 些?

1

本节内容运 用了哪些数 学思想方法?

获得了哪些解 决数学问题的 经验及认知规 律?

3

2

七、布置作业

学案第63-66页相关练习题

1、预习内容:课本第87-91页 2、预习提纲:线性规划的相关 概念;如何解决线性规划问题及 求最值的步骤。


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