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必修1人教B版数学同步训练:第3章基本初等函数(Ⅰ)测评(B卷)(附答案)


第三章

基本初等函数(Ⅰ)测评(B 卷)

【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ 卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内, 第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共 120 分,考试时间 90 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.函数 y= 1 log 2
2



的定义域为

A.[- 2,-1)∪(1, 2] B.(- 2,-1)∪(1, 2) C.[-2,-1)∪(1,2] D.(-2,-1)∪(1,2) 2 2x+1 x 2.方程 log2(x -x)=1 的解集为 M,方程 2 -9·2 +4=0 的解集为 N,那么 M 与 N 的关系是 A.M=N B.N ? M C.N ? M D.M∩N= ? 1 α 3.幂函数 f(x)=x 的图象过点(2, ),则 f(x)的一个单调递增区间是 4 A.[0,+∞) C.(-∞,0] B.(0,+∞) D.(-∞,0)

? 2 x , x ? ( ??,1] 4.函数 y= ? 的值域是 ?log 0.5 x, x ? (1, ??)
A.{y|y≤1,且 y≠0} B.{y|y≤2} C.{y|y<1 且 y≠0} D.{y|y≤2 且 y≠0} |-lnx| 5.函数 y=e -|x-1|的图象大致是

6.若 x∈(e A.a<b<c C.b<a<c

-1,

1),a=lnx,b=2lnx,c=ln x,则 B.c<a<b D.b<c<a
x

3

7.已知函数 f(x)=loga(2 +b-1)(a>0,b≠1)的图象如下图所示,则 a,b 满足的关 系是

A.0<a <b<1 B.0<b<a <1 -1 -1 -1 C.0<b <a<1 D.0<a <b <1 8. 函数 f(x)=loga|x+b|是偶函数, 且在区间(0, +∞)上单调递减, 则 f(b-2)与 f(a
1

-1

-1

+1)的大小关系为 A.f(b-2)=f(a+1) C.f(b-2)<f(a+1) ln2 ln3 ln5 9.若 a= ,b= ,c= ,则 2 3 5

B.f(b-2)>f(a+1) D.不能确定

A.a>b>c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c x 10.将 y=2 的图象先进行下面哪种变换,再作关于直线 y=x 对称的图象,可以得到 函数 y=log2(x+1)的图象. A.先向左平移 1 个单位 B.先向右平移 1 个单位 C.先向上平移 1 个单位 D.先向下平移 1 个单位 第Ⅱ卷(非选择题 共 70 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案需填在题中横线上) 1 2 11.函数 y=log (x -3x+2)的单调递减区间是__________ 2 1 12 .偶函数 f(x) 在 [2,4] 上单调递减,则 f(log 8) 与 f(3log 2 3 π ) 的大小关系是 2

__________. 13 .设方程 2lnx = 7 - 2x 的解为 x0 ,则关于 x 的不等式 x - 2<x0 的最大整数解为 __________. 1 x 14.已知函数 f(x)的定义域为( ,8],则 f(2 )的定义域为__________. 2 三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.15~17 题每小题 10 分,18~19 题每小题 12 分.解答应写出必要的文字说明,解题步骤或证明过程) -x -x 15.求函数 y=4 -2 +1,x∈[-3,2]的最大值和最小值. 16.设 0<a<1,x,y 满足 logax+3logxa-logxy=3,如果 y 有最大值 x 的值. x 17.已知函数 f(x -3)=lg 2 . x -6
2 2

2 4

,求此时 a 和

(1)求 f(x)的定义域; -1 (2)求 f(x)的反函数 f (x). 18.某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质的 20%. (1)写出水中杂质含量 y 与过滤的次数 x 之间的函数关系式. (2)要使水中杂质减少到原来的 5%以下,则至少需要过滤几次? x +ax+b 19.设定义域为 R 的函数 f(x)=log3 2 ,是否存在实数 a、b,使函数 f(x)同时 x +x+1 满足下列三个条件:①函数 f(x)的图象经过原点;②函数 f(x)在[1,+∞)上单调递增;③ 函数 f(x)在(-∞,-1]上的最大值为 1.若存在,求出实数 a、b 的值;若不存在,请说明 理由.
2

2

答案与解析
1 2 2 2 1.A 由 log (x -1)≥0,得 0<x -1≤1,1<x ≤2, 2 ∴1<x≤ 2.A 2或- 2≤x<-1.

1 3.D 由 f(2)= ,得 α =-2, 4 ∴f(x)=x ,它的单调递增区间是(-∞,0). x 4.D 当 x∈(-∞,1]时,y=2 ∈(0,2]; 当 x∈(1,+∞)时,y=log0.5x∈(-∞,0), ∴函数 y 的值域为{y|y≤2 且 y≠0}. 1 ? ? +x-1,0<x<1, -|x-1|=?x ? ?1,x≥1,
-2

5.D y=e

|-lnx|

分两段画出函数图象即可.

6.C 因为 a=lnx 在(0,+∞)上单调递增, -1, 故当 x∈(e 1)时,a∈(-1,0). 于是 b-a=2lnx-lnx=lnx<0,从而 b<a. 3 又 a-c=lnx-ln x=a(1+a)(1-a)<0, 从而 a<c. 综上所述,b<a<c. 7.A 由题中图象,易知 a>1,-1<f(0)<0. 0 由于 f(0)=loga(2 +b-1)=logab, 1 所以-1<logab<0,可得 <b<1,故选 A. a 8.C 由 f(x)为偶函数,得 b=0, ∵f(x)在(0,+∞)上单调递减, ∴由复合函数的单调性,可知 0<a<1. ∴b-2=-2,1<a+1<2. ∴|b-2|>|a+1|>0. ∴f(b-2)<f(a+1). 9.C b 2ln 3 ln 9 a 5ln 2 = = =log89>1,且 a,b>0,所以 b>a; = =log2532>1,且 a, a 3ln 2 ln 8 c 2ln 5

c>0,所以 a>c,所以 b>a>c. y 10. D 由 y=log2(x+1)得 x=2 -1, 所以 y=log2(x+1)的图象关于 y=x 对称的图象 x x 对应解析式为 y=2 -1,它是由 y=2 的图象向下平移 1 个单位得到的. 11.(2,+∞) 函数定义域为(-∞,1)∪(2,+∞). 2 令 t=x -3x+2,函数 t 在(2,+∞)上为增函数,∴函数 y 在(2,+∞)上为减函数. 1 12.f(log 8)<f(3log 2 1 log 8=-3,3log 2 3 3 π ) 2
2

π π = , 2 4
3

∵f(x)为偶函数,∴f(-3)=f(3). π ∵4>3> >2, 4 π ∴f(3)<f( ). 4 1 ∴f(log 8)<f(3log 2 3 π ). 2
2 2

13.4 设 f(x)=2lnx-7+2x, 又 f(2)=2ln2-3<0,f(3)=2ln3-1>0, ∴x0∈(2,3). ∴x-2<x0 的最大整数解为 4. 1 x 14.(-1,3] x 满足 <2 ≤8, 2 ∴-1<x≤3. 1 1 2 3 -x 2 15.解:令 2 =t,t∈[ ,8],则 y=t -t+1=(t- ) + . 4 2 4 1 3 15 2 3 ∴t= 时,ymin= ;t=8 时,ymax=( ) + =57. 2 4 2 4 3 ∴所求函数的最大值为 57,最小值为 . 4 3 logay 16.解:利用换底公式,可得 logax+ - =3, logax logax 3 2 3 2 即 logay=(logax) -3logax+3=(logax- ) + , 2 4 3 3 所以,当 logax= 时,logay 有最小值 . 2 4 3 因为 0<a<1,所以 y 有最大值 a . 4 3 2 3 1 3 1 3 由题意,得 a = =2- =( ) =( ) , 4 4 2 2 2 4 4 1 3 1 3 1 所以 a= ,此时 x=a =( ) = . 4 2 4 2 8 17.解:(1)设 t=x -3, t+3 2 则 x =t+3,t≥-3,f(t)=lg . t-3 又 t+3 >0,∴t>3 或 t<-3. t-3
2

∴f(x)的定义域为(3,+∞). x+3 (2)设 y=lgu,u= (x>3), x-3 则 u>1,∴lgu>0,即 y>0. x+3 x+3 y 由 y=lg ,得 10 = , x-3 x-3

4

∴x=

+ y 10 -1

y

.
-1

∴f(x)的反函数为 f (x)=

+ 10 -1
x

x

(x>0).

18.解:(1)设刚开始水中杂质含量为 1,第 1 次过滤后,y=1-20%; 2 第 2 次过滤后,y=(1-20%)(1-20%)=(1-20%) ; 2 3 第 3 次过滤后,y=(1-20%) (1-20%)=(1-20%) ; …… x 第 x 次过滤后,y=(1-20%) . x x * ∴y=(1-20%) =0.8 ,x≥1,x∈N . x (2)由(1)得 0.8 <5%, lg2+1 ∴x>log0.80.05= ≈13.4. 1-3lg2 ∴至少需要 14 次. 19.解:假设同时满足三个条件的实数 a、b 存在,则由条件①,知 f(0)=0,∴b=1. x +ax+1 a-1 又当 x≠0 时,有 f(x)=log3 2 =log3(1+ ), x +x+1 1 x+ +1 x 1 1 ∵函数 y=x+ +1 在[1,+∞)上单调递增,且 y>0,∴ = x y 调递减. ∴f(x)在[1,+∞)上单调递增. a-1 ∴u=1+ 在[1,+∞)上单调递增. 1 x+ +1 x ∴a-1<0.∴a<1. 又 f(x)的定义域为 R, 2 ∴x +ax+1>0 在 R 上恒成立. 2 由 Δ =a -4<0,得-2<a<1,再由函数单调性定义,可证得 f(x)在(-∞,-1]上也单 调递增,从而由③可知,f(-1)=1, 即 1-a+1 =3,∴a=-1. 1-1+1 1 在[1,+∞)上单 1 x+ +1 x
2

综上可知,存在 a=-1,b=1 满足题中三个条件.

5


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