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高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型课件新人教A版必修一_图文


【课标要求】 1. 掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长快 慢.(重点) 2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义,及其三种函数 模型的性质的比较.(易混点) 3.会分析具体的实际问题,能够建模解决实际问题.(难点) |新知预习| 知识点一 常见的增长模型 1.线性函数模型 线性函数模型 y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升, 其增长速 度不变. 2.指数函数模型 能利用指数函数(底数 a>1)表达的函数模型叫指数函数模型. 指 数函数模型的特点是随自变量的增大,函数值的增长速度越来越 快,常形象地称为指数爆炸. 3.对数函数模型 能用对数函数(底数 a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型, 对数函数增长的特点是随自变量的增大,函数值增长速度越来越 慢. 4.幂函数模型 幂函数 y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间. 知识点二 指数函数 y=ax(a>1),对数函数 y=logax(a>1)和幂 函数 y=xn(n>0)增长速度的比较 1.在区间(0,+∞)上,函数 y=ax(a>1),y=logax(a>1)和 y= xn(n>0)都是增函数,但增长速度不同,且不在同一个“档次”上. x 2.在区间(0,+∞)上随着 x 的增大,y=a (a>1)增长速度越来 越快,会超过并远远大于 y=xn(n>0)的增长速度,而 y=logax(a>1) 的增长速度则会越来越慢. 3.存在一个 x0,使得当 x>x0 时,有 logax<xn<ax. 【化解疑难】 函数模型的选取 (1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型. (2)当要求不断增长, 但又不会增长过快, 也不会增长到很大时, 常常选用对数函数模型. (3)幂函数模型 y=xn(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化,n 值越小(n≤1)时,增长较慢;n 值较大(n>1)时,增长较快. |自我尝试| 1.当 x 越来越大时,下列函数中,增长速度最快的是( A.y=100x B.y=log100x C.y=x100 D.y=100x ) 【解析】 由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则当 x 越来 越大时,函数 y=100x 的增长速度最快. 【答案】 D 2.某山区为加强环境保护,绿色植被的面积每年都比上一年 增长 10.4%,那么,经过 x 年,绿色植被的面积可增长为原来的 y 倍,则函数 y=f(x)的大致图像为( ) 【解析】 y=f(x)=(1+10.4%)x=1.104x 是指数函数,定义域 为{0,1,2,3,4?},由单调性,结合图像知选 D. 【答案】 D 3.设 a=log 1 2 ?1?0.2 3,b=?3? ,c=2 ? ? 1 3 ,则( ) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c ∵由指数函数、对数函数的性质可知:a= ?1?0.2 log 3<log 1=0,0<b=?3? <1,c=2 >1,∴有 a<b<c.故选 A. ? ? 【答案】 A 1 2 1 2 1 3 【解析】 4.近几年由于某地房价的上涨,引起了二手房市场交易的火 爆,房子没有什么变化,但价格却上涨了,小张在 2004 年以 15 万 元的价格购得一所新房子,假设这 10 年来价格年增长率不变,那 么到 2014 年,这所房子的价格 y(万元)与价格年增长率 x 之间的函 数关系式是________. 【解析】 1 年后,y=15(1+x); 2 年后,y=15(1+x)2; 3 年后,y=15(1+x)3?10 年后,y=15(1+x)10. 【答案】 y=15(1+x)10 类型一 几类函数模型的比较 x [例 1] 分析指数函数 y=2 与对数函数 y=log2x 在区间[1,+ ∞)上的增长情况. 【解析】 指数函数 y=2x,当 x 由 x1=1 增加到 x2=3 时,x2 -x1=2,y2-y1=23-21=6; 对数函数 y=log2x,当 x 由 x1=1 增加到 x2=3 时,x2-x1=2, 而 y2-y1=log23-log21≈1.585 0. 由此可知,在区间[1,+∞)上,指数函数 y=2x 随着 x 的增长 函数值的增长速度快,而对数函数 y=log2x 的增长速度缓慢. 方法归纳 x 在同一平面直角坐标系内作出函数 y=2 和 y=log2x 的图像, 从图像上可观察出函数的增长变化情况.如图: 跟踪训练 1 已知 a,b,c,d 四个物体沿同一方向同时开始 运动, 假设其经过的路程和时间 x 的函数关系分别是 f1(x)=x2, f2(x) =x ,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果运动时间足够长,则运动在最前 面的物体一定是( ) A. a B.b C.c D.d 1 2 【解析】 根据四种函数的变化特点,指数函数是一个变化最 快的函数.当运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函 数运动的物体. 【答案】 D 类型二 三类函数图像综合运用 [例 2] 判断方程 2x=x2 有几个实根. 【解析】 设 y1=x2,y2=2x,作出这两个函数的图像,由图像 2 x 知,方程一定有一个负根,当 x>0 时,开始 y1=x 在 y2=2 图像的 下方, 但此时由于 y1=x2 比 y2=2x 增长的速度快, 所以存在 x0 当 x>x0 时,y1=x2 的图像就会在 y2=2x 的上方,故此时产生一个实根 x0, 但最终还是 y2=2x 比 y1=x2 增长得快,故存在 x1,当 x>x1 时,y2= x 2 2 的图像又在 y1=x 的上方,故又产生一个实根 x1,以后就永远是 y2=2x 比 y1=x2 增长得快了,故再没有实根了,故此方程有三个实 根. 方法归纳 (1)根据指数函数与幂函数增减得快慢以及图像的上下位置判 断出是否有实根. (2)对于较复杂的方

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