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数学奥林匹克高中训练题(215)


4 2  

中 等 数 学 

熬 

滁  茏 
文献标识码 : A  

拣  ( 2   1   5 )  
文章编号 : 1 0 0 5—6 4 1 6 ( 2 0 1 7 ) 0 5— 0 0 4 2— 0 5  

中图分 类号 : G 4 2 4 . 7 9  

第 一 试 


7 . 已知 函数 f (  ) =   +2  +a l n  , 对 于 

任意 的 t ≥1 恒有 / ( 2 £ 一1 ) ≥2 f ( t )一 3 . 则实  数 a的取值 范围是— — .  



填空题 ( 每小题 8 分, 共6 4分 )  
n  2   Ol 7   .  

1 . 已知 数 列 { a   } 满 足 对 于 任 意 正 整 数 


8 . 若   ) = ∑n   为(  +  + 2 )   仉   的  
展开式, 则∑( 2 a 。   一 口 , 川一 a 3 k + 2 ) = 一
二、 解 答题 ( 共5 6分 )   9 . ( 1 6分 ) 在数列 { a   } 中,  
1 

均有∑ 口   =  . 则∑ 
k= 1   k=2”  

= 一

 
 

2 . 已知实 数 、 Y满 足  +  2 一 x y=1 2 .  

则  一 Y   的最 大值为— —_ .   3 . 若从 1 , 2 , …, 1 4这 1 4个 整数 中同 时  取三个数 , 使 得 任何 两 数之 差 的绝 对值 不小  于3 , 则 不 同的取法数 为— — .  
4 . 在△ A BC中 , C A= 2 , C B= 6 ,   A C B=  

an  
^  

0l  



 

‘  

证明:  
k=l  

6 o 。 . 若 点 0在 / A C B的平分线上 , 满足 


O C:m   +  
1   1  

( m、 n∈ R) ,  

1 0 . ( 2 0 分) 在△ A B C中 ,   A 、   B 、   C   所对 的边分别 为 口 、 b 、 c . 若 
A= 3 9 。 , ( a   一b   ) ( a  + a c —b   ) = 6   c   ,  

且 一 言  ≤ 一  ,  
则l   D c   l 的取值范围是 
5 . 如图 1 , 正 方  形 A B C D 的 边 长 为  l , E、 F分别 为边 B C 、  

求  c的度数.  

1 1 . ( 2 0 分 ) 如 图 2 , 椭 圆 C 1 : 等 + 等 = 1 ,  
抛物线  : y 2 = 4 x , 过抛物线  上一 点 P( 异 

A D的 中点. 将△ A B F  
沿 F所 在 直线 进 行 

于原点 0 ) 作切线 Z , 与椭 圆 C . 交于 、  两点.  
l   y  

翻折, 将△ C D E 沿 
D E所 在 直 线 进 行 翻  折. 则 在 翻折 的过 程  图1  

/ 一  f   / 
\  
图2  



 

中, 点 A与 C之 间的最 大距 离为— — .  

6 . 已 知 椭 圆 c : 等 2 + 等 = 1 的 左 、 右 焦 点  
分别 为 F 。 、   , 左、 右 顶点 分 别 为 A 、 B, 过 右  焦点 F 2 的直线 l :  = m y + 1 与椭圆 C交 于点 

求: ( 1 ) 切线 2 在  轴 上 的截 距 的取 值 
范围;   ( 2 ) △A O B面积 S的最大值.  

M( x l , Y 1 ) 、 N( x 2 , Y 2 ) ( Y 1 > 0 , Y 2 <0 ) . 若M A   上Ⅳ F   , 则 实数 m=  

2 0 1 7年 第 5期  

4 3  




试 

=  

3 ( \   2 1   一   1   一   ) ( n - 2 , 3 ’   … ) .  



( 4 0分 ) 求所有 的整数数对 ( 口 , b , c ) ,  

使 得 
Ⅳ :   +2  

故  
2. 8   .  

=  
, y=   .  

) =   .  

、 n 之m   =   一Y, 1 1 , =   +Y .  

为形如 1   7 2 9   ( m ∈ N) 的正整数.   二、 ( 4 0分 ) 已知 a 、 6 、 C 为非 零 复 数 , 且 
≠  . 证明:  

则  =  

原条件变 为 3 m  +n   =4 8 , 故 

一  

  ‘

=mn  ̄8 < √  .  

m a x { I   a c + b   I , I   6 c + a   I }  
≥ 

当  =   +   , Y=   一   时, 上 式 等号 
成立.  
3. 1 2 0 .  

}  一  f .  
与△ A B C的 

三、 ( 5 0分 ) 如图 3 , 在 锐 角△ A B C中, D  
为  B A C平分 线 上一点 , 延长 C D、 B D, 分别 

设取 出的三个整数 为 、  z ( x< Y<   ) .   令 0=  , b =Y一  一 2 ,  
C=   一Y 一2. d=1 5 一z .  

与A B 、   C交于点 E 、 F , 直线 
心. 证明 : O D_ l _ B C .  

外接 圆 厂交于  、 Ⅳ两点 , 0为△ D M N 的外 

于是 , a 、 b 、 C 、 d ≥1 .  

若a , b 、 c 、 d 确定 , 则 、   唯一确定.  
由于 a+ b + c + d= 1 1 , 故相当于把 1   1 个 
相 同的球分成 四堆.   用档板法得 c   o =1 2 0 .  

4 .   学】 .  
V  

如图 4 , 以 C为坐 标原 点 、 c B所 在直 线 
图 3  

为 轴建 立平面直角坐标系.  
J   Y 

四、 ( 5 O分 ) 将 圆周上 的所有 点进行 三染  色. 证明: 存 在无 穷多个 等 腰三 角形 , 其顶 点 
均为 圆周上 的同色点.  

2  
1  
I   I  

参 考 答 案 
第 一 试 

— -

2 — - 1   C  


1   2   3   4   5   6  

1  
2  



、 1 .  

.  

当n ≥2时 , 有 

图4  

∑口   =   。 , ∑口   =n 一 1 )   .  
贝 0   = 3 n   一 3 n +1  
1   1  

=  

可  

( 6 ' o ) , A ( 1   叫  ,  

每.  

中 等 数 学 

由D  =  


+r t   D  

=  

争)   每卜 6  每 )  
, 

(   + 1 ) ( 1 _   )  ( . _   6 1 m _ +   ) +  
2 m- 8 m - 2 4  
I  
6 m +6m 、  

m + 9  

1 + 8 : 0  
J  

一1=0  
一m  

r 一   =m( 1一  )+n ( 6一  ) ,  

i ~  = m (   一   ) + 十   )  
n   4 — x—


6m :_ _ = =   :   m  + 1 + m 

j  7 m=  
7. 0≤2.  

j  m- - 4 3  
. 

9‘  

由 一 ÷ ≤   ≤ 一  
一  

据题意 , 原 问题 的条件等价 于 : 对 于任意 
的t ≥1 , 恒 有  2 ( t 一1 )  +a l n ( 2 t 一1 )一2 a l n  i >0 .  

≤ 志 ≤ 一  

詈 ≤   ≤ 詈 .  

令u ( t ) = 2 (   一 1 )  + a l n ( 2 t 一 1 ) 一 2 a l n   t .  
) . 4 ( t -1 )+  
一  

一  
‘  

故 I  i = 丹 = 筝∈ 【   ,  
5 . √ 2. l  

!   二  ) (  (  二  ) =  )  
t ( 2 t 一1 )  

由于 2 t ( 2 t 一1 ) >2 I , 故 

在 正方形 A B C D 中联结 A C , 分别 与 B F 、  
D E交 于 点 G、 且 

当n ≤2时 , u   ( t ) 10 > , 则 u ( t ) ≥  ( 1 ) =  
0, 成立 ;  

则 在翻折过程 中始终有 
AC<  ̄ AG +GH +HC =   ,  

当n > 2时 ,  ( t ) 在区间( 1 , t 。 ) 上递 减 ,   在 区间(  , +∞) 上递增 , 其 中, t o = — 1 + — v /   i - + 4 a   > 1 , 此时, 对 于任意 的 t ∈( 1 , t 。 ) , 均有 ( t )  

当△ A B F与△ C D E共面时 , 上式等号成立.  
6 ? 3 4
1 2.  

<  ( 1 ) : 0 , 不符合要求.  
从而 , 实数 n的取值 范 围是 口 ≤2 .  
8. 2 .  

设 I M N :  =m y+ 1 , 代人椭 圆方程得 
( 8 m   + 9 ) y 2+1 6 m y一6 4=0 .  

则y 。 + y : = 一 菥 1 6   m Y  ̄ Y 2 = 一 丽6   4  



4 - x = o  ̄  一   1 + 譬i  
+   +2 =1  

8 m +2 4   m +1  
,  

Y  

— —  

∑( 口 3   + [ X 3 k + 1 ( o + O ' 3 k + 2 ∞   ) = 1 .  


8 m一 2 4 ̄ / m 。 + 1  
’  

k=0  

Y 2   — —  

上式取共轭得 
1   3 4 4  

又 k A M k N F . = 一1  
铮   . 。   =   一1  

∑(  +  ̄ 3 k + l c D   + I X 3 k + 2 ( - 0 ) = 1 .  
=0  

两式相加得 
】3 4 4  

( m  +1 )  l Y 2 + 2 m y 1 + 4 m y 2 +8=0  

∑( 2 a 3   一 a 3  一  ̄ 3 k + 2 ) = 2 .  

2 0 1 7年第 5期 

4 5  


二、 9 ? 易知 , a  > 0 .  

4 y 一4k t   +8 t=0.  

于 是 ,   川  = 者 a + Z   < 0 .  
则{ a   } 为递减数列.  
注 意到 ,  
a n +1  
一 = 一

又 A=1 6—1 6 k ( 一k t   +2 t ) = 0  

k = _ 1  

切线 Z :  = t y一  .  

令Y = O . 则切线 Z 在 轴上 的截距为 一 t   .  

1 

an  
l 一 一


2  
 

f   :t y—t  ,  

a  

a n +2  
= 

a +2  

由  
: =  

,  

≤   一 

( 3 t   + 4 ) y 2 — 6 t 。 Y+ 3 £  一1 2=O .  
0<t  <4   一4 < 一t  <0.  

n  +  ≤ 



。  。   ≤ (   )   .  
川 (   ∈ z+ )   =   a k -a k + 1 )  
~  

令 A= 3 6 t   一 1 2 ( 3 t   + 4 ) ( t   一 4 ) > O   故切线 Z 在  轴上 的截 距 的取值 范 围是 
(一 4, 0 ) .  

由 
2   k a k

( 2 ) 由( 1 ) 知 

l A B   I = ̄ / 1 + t   l   y 1 一 y 2   I  


=  

=1  

矗=1   \ 厶 /



 

1 O . 注意到 ,  
s i n   A—s i n   B=s i n ( A+B) ? s i n ( A— B)  

=s i n C? s i n ( A—   .   由正 弦定 理 , 原等式变为  ( s i n 2 A— s i n : B ) ( s i n 2 A+ s i n   A? s i n   C— s i n   B)  
:s i n   B. s i n   C 

4   腑黑 (   3 t   。 +   4   ‘   原 点 到 切 线 z 的 距 离 为   :   等.  


s i n ( A— B ) ( s i n ( A— B) + s i n   A )= s i n   B   s i n 2 ( A— B ) 一 s i n Z B+ s i n ( A— B ) ? s i n   A= O   s i n ( A一 2 B ) ? s i n   A+s i n ( A— B) ? s i n   A= 0   s i n ( A一 2 B)+s i n ( A—B) = 0  
§ s i ’ n 

则J s :   1   I 佃 I   d : 2  
令 3  + 4=  .  

由 0<t  < 4 , 得 4<   <1 6 .  
则 S=  

— — ■   ~‘  譬 一 = o U .  
.COS

由 

、   B、   C∈( 0 , 兀 )  


s i n   2 A
—  

3 B


_



0   C =1 1 5   O .  

学  
令y =  +   .  



 

B =2 6。  

1 1 . ( 1 ) 设 P( t   , 2 t ) ( t ≠O ) . 显然 , 切线 Z  

的斜率存在.   设切线 Z :  一 2 t =  (  一 t   ) , 即 
Y=  (  一t   )+ 2 t .  

由4<  <1 6 , 知y =  +   在 区间( 4 , 1 6 )   上为增 函数.  
于是 , 8< Y<1 7 .  

由 { - y 。 =  一   ) + 2   , 消 去   得  

故 5 = 学 

.  

中 等 数 学 

当   = 等 ∈ ( 8 , 1 7 ) 1  ̄ ,   S   =   2 v 9 /   3 - / 6 4 2 5     6 2  … 5 . 一 1 3 6 :  . V  
由 y:  十一 1 6: 2 5    

b =, . 2 ( C O S   0 2 +i   s i n   0 2 ) .  

则 (  
== ~

)  
 

r  + r   一 2 r 1 r 2 c o s ( 0 1 一o 2 )   ( r l +r 2 ) 2  
 


=  

( r 】 +r 2 )  
≥ 1—

2 rl r 2( 1   +c   o s ( O , -0 2 ) )  






:  

<2 .  


l —C O S ( 0 1 —0 2 )   . 2 0 1 —0 2  
— — — _   — 一   s i n —   ?  


从而, 当   :  

巫 时| s  

:  

.  

一 而 b   又  a.
( C O S   0 l - C O S   o 2 )  +( s i n   0 1 一 s i n   o 2 )  


加  试  




令 =a—b , Y=6一 C ,  =C —a .  

2  

则  + Y+  = 0, 且 
x y z = 2×1   7 2 9  一 4 (   E   N) .  

l   s i n   I ,  

则 m a x { I   a 2 t + 6   I , I   b c + a   I }  
≥ 

注意到 。  
+   +   一3 x y z  


(  +  +  ) (   2 +  2 +   一x y— y z — Z . a f )  
0.  

≥ 

l   s i n   I  
』  一  



=  

故 当 m≥1时 ,  
3 +  3 + 三3


3 x y z  

三、 如图 5 , 延长 C E、 B F, 分别 与 O  0交 
于 占 P、 0.  



6×l   7 2 9  一1 2 -2 ( o r o d   7 ) .  

叉凡   三0 , 1 , 一1 ( oo r d   7 ) , 不 妨 设 



=0 ( o r o d   7 ) , Y   三   。 = - - 1 ( m0 d   7 ) .  

则 Y+ z =0 ( o r o d   7 )   Y 三一  ( o r o d   7 )  
Y 。 三 一Z 3 ( oo r d   7 ) ,   矛盾.  

从而 , m= 0, 即 
+Y+  = O, x y z=一2, 且 、 ) 厂 、   E  Z.  

不 妨 设 ≥y ≥   , 则 只 能  =  =1 ,  =一2 .   此时 , ( 口 , b , c ) =( k+ 2 , k+1 , k ) ( k   E   Z ) .  
图5  

故所求的三个数为 k . k + 1 、 k + 2 (  ∈ Z ) .  
二、 设 a= , . 1 ( C O S   0 1 +i   s i n   0 1 ) ,  

由于 E P? E 1 ) :E M? E N =E A? E B, 于是 ,  

P、 B、 D、   四点共 圆.   ( 下转第 4 9页)  


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