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高中数学1.2.3组合(一)课件新人教A版选修2_3_图文


1.2.3 组 合 ( 一) 题型1 组合的概念的理解 例 1 判断下列问题是组合问题还是排列问题: (1)设集合 A={a,b,c,d,e},则集合 A 的子集中含有 3 个元素的有多少个? (2)某铁路线上有 5 个车站,则这条线上共需准备多少种车票?多少种票价? 栏 (3)2015 年元旦期间,某班 10 名同学互送贺年卡表示新年的祝福,贺年卡共有多少张? 目 解析:(1)因为本问题与元素顺序无关,故是组合问题. (2)因为甲站到乙站的车票,与乙站到甲站的车票是不同的,故是排列问题,但票价与 顺序无关,甲站到乙站,与乙站到甲站是同一种票价,故是组合问题. (3)甲给乙写贺卡,与乙给甲写贺卡是不同的,所以与顺序有关,是排列问题. 规律方法:区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关,若交换某两个元素 的位置对结果产生影响,则是排列问题,而交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是 组合问题,也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序无关. 链 接 ?变式训练 1.判断下列各事件是排列问题,还是组合问题. (1)某小组有 8 人,从中选出 3 人参加一个表彰会,有多少种选法? (2)某小组有 8 人,从中选出 3 人参加 3 项不同的社会实践活动,每人参加一项,有多 少种选法? (3)8 支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),这次比赛需要进行多少场次? (4)8 支球队以单循环进行比赛,这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能? 解析:(1)选出的 3 人与顺序无关,是组合问题. (2)选出的 3 人与顺序有关,是排列问题. (3)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,没有顺序的区别. (4)是排列问题,因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的, 是有顺序区别的. 栏 目 链 接 题型2 与组合数有关的计算 97 例 2 (1)计算:C96 99+C99; -n 3n (2)求 C38 3n +Cn+21的值; m+1 m+1 n m (3)证明:Cm = C = C-. + n n+1 n 1 n-m n 1 分析:(1)先用组合数两个性质化简,再用组合数公式的乘积形式计算. m (2)Cn 的限制条件为:m,n∈N*,且 m≤n,以此得到 n 的值,再求值. (3)利用组合数公式的阶乘形式证明. 100×99×98 97 97 3 解析:(1)C96 =161 700. 99+C99=C100=C100= 3×2×1 ? ?0≤38-n≤3n, (2)? 即 ?0≤3n≤21+n, ? 栏 目 链 接 ? ? 21 ?0≤n≤ 2 . 19 ≤n≤38, 2 ∵n∈N*,∴n=10. -n 3n 28 30 2 1 ∴C38 3n +C21+n=C30+C31=C30+C31=466. m+1 m+1 m+1 (n+1)! (3)∵ Cn+1 = · = n+1 n+1 (m+1)!(n-m)! n! m =Cn , m!(n-m)! (n-1)! n! n m n Cn-1= · = =Cm , n-m n-m m!(n-1-m)! m!(n-m)! n m+1 m+1 n m ∴Cm Cn+1 = C-. n= n+1 n-m n 1 规律方法:组合数公式的应用. (1)公式 m m An n(n-1)(n-2)…(n-m+1) Cn = m= ,一般用于求值、计算. Am m! 栏 目 链 接 (2)公式 Cm n= n! (m,n∈N*且 m≤n),一般用于化简证明. m!(n-m)! ?变式训练 2.计算下列各式: 10 (1)C12 -C0 12; 4 3 (2)C10 -C3 7·A3. 12×11 0 2 解析:(1)C10 -1=65. 12-C12=C12-1= 2×1 4 3 4 3 (2)C10 -C3 7·A3=C10-A7 栏 目 链 接 = 10×9×8×7 -7×6×5 4×3×2×1 =210-210=0. 题型3 含组合数的方程或不等式 x 5 例 3 (1)解方程:Cx2-x16=C5 16 ; -4 m-6 6 (2)解不等式:Cm m >Cm-1+Cm-1. - x 5 解析:(1)∵Cx2-x16=C5 16 , ∴x2-x=5x-5,① 或 x2-x+5x-5=16.② 解①得 x=1 或 x=5. 解②得 x=3 或 x=-7. 经检验知,原方程的解是 x=1 或 x=3. 5 6 4 6 (2)原不等式可化为 C4 m>Cm-1+Cm-1,即 Cm>Cm, - 栏 目 链 接 ∴ m! m! > . 4!(m-4)! 6!(m-6)! ∴30>(m-4)(m-5), 即 m2-9m-10<0, ∴-1<m<10. 又∵m≥7 且 m∈N*, ∴m=7,8 或 9. 规律方法:利用组合数的概念及公式将组合式化为常规方程或不等式,再解方程或不等 式. ?变式训练 1 3 -2 x-3 3.方程 Cx + C = A 的解是 x=________. + + x 2 x 2 10 x+3 1 3 -2 解析:原方程可化为 Cx = A , + x 3 10 x+3 (x+3)! (x+3)! 所以 = 5!(x-2)! 10· (x+3-3)! 1 1 所以 = , 120(x-2)! 10·x(x-1)· (x-2)! 所以 12=x(x-1), 即 x2-x-12=0, 解得 x=4 或 x=-3, 经检验,x=4 是原方程的解. 栏 目 链 接 题型4 组合数的简单应用 例 4 要从 12 个人中选出 5 人参加一项活动,按下列要求,各有多少种不同的选法? (1)A,B,C 三人必须当选; (2)A,B,C 三人不能当选; (3)A,B,C 三人中只有一人当选. 解析:(1)∵A,B,C 三人必须当选,∴再从其

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