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湖北省宜昌市2014届高三年级第二次调研考试理科数学试题 5


宜昌市 2014 届高三年级第二次调研考试 理科数学试题 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设全集 U A. { x |

1 ? R , M ? {x | ? 2 x ? 1}, N ? {x | ln(? x) ? 0} ,则 M ? CU N ? ( 8



x ? ?1} B. {x | ?3 ? x ? 0} C. {x | x ? ?3} D. {x | ?1 ? x ? 0}

z2 ? 2z 2.已知复数 z ? 1 ? i ,则 的虚部是( z ?1
A. 2i B. ?2i C. 2 ) D. ?2 3.下列说法正确的是(



A.若已知两个变量具有线性相关关系,且它们正相关,则其线性回归直线的斜率为正 B.直线 l 垂直于平面 ? 的充要条件为 l 垂直于平面 ? 内的无数条直线 C.若随机变量 ? D.已知命题

~ N (10, 0.12 ) ,且 P(9.9 ? ? ? 10.1) ? 0.6826 ,则 P(? ? 10.1) ? 0.3174

p : ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 5 ,则该双曲线

4.已知中心在原点的双曲线,其右焦点为 F (3,0) ,且 F 到其中一条渐近线的距离为 的方程为( )

A.

x2 y 2 ? ?1 4 5

B.

x2 y 2 ? ?1 4 5

C.

x2 y 2 ? ?1 2 5

D.

x2 y 2 ? ?1 2 5

5.一个多面体的三视图如图所示,其中正视图是正方形,侧视图是等腰三角形,则该几何体的表面积为

4

正视图

6 侧视图





俯视图

A.158

B.108

C.98

D.88 )

6.已知不等式 A.-15 7.若函数 能是( A.-1

x?2 1 ? 0 的解集为 (?1, 2) ,则二项式 (ax ? 2 )6 展开式的常数项是( ax ? 1 x
C.-5 D.5 个单位后与函数

B.15

? ? y ? sin(? x ? ) 的图象向右平移 3 6
C.1 D.2

y ? cos ? x 的图象重合,则 ? 的值可

) B.-2

1

?x ? y ? 4 ? 0 ? 2 x?0 8.设点 (a, b) 是区域 ? 内的随机点,函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 在区间 [1, ??) 上是增 ? y?0 ?
函数的概率为( A. ) C.

1 4

B.

9.已知 a, b 是非零向量,它们之间有如下一种运算: a ? b

? ?

2 3

1 3

D.

1 2

?

?

? ? ? ? ? ? ? a b sin ? a, b ? ,其中 ? a, b ? 表示

? ? a, b 的夹角.给出下列命题:
① a ? b ? b ? a ;② ? (a ? b) ? (? a) ? b ;③ (a ? b) ? c ④a

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

? ? ? ? ? a ?c ?b?c ;
,其中真命

?

? ? ? ? ? ? b ? a ?b ? a b
) C .4 D.5 B .3

;⑤若 a

?

? ? ? ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? x1 y2 ? x2 y1

题的个数是( A.2

10.已知直线 l : x ?

y ? 9 ? 0 和圆 M : 2 x 2 ? 2 y 2 ? 8 x ? 8 y ? 1 ? 0 ,点 A 在直线 l 上, B, C 为圆


M 上两点,在 ?ABC 中, ?BAC ? 45? , AB 过圆心 M ,则点 A 的横坐标的取值范围为(
A. [2, 6] B. [0, 6] C. [1, 6] D. [3, 6]

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应 题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11—14 题) 11 . 直 线

2x ? y ? 1 ? 0
的值为

的倾斜角为 ? ,则 .

开始

1 sin ? ? cos 2 ?
2

12.某程序框图如图所示, 则该程序运行后输出 S 的值是 .

S=0, i=1

13. 一物体在力 F ( x)

?10, (0 ? x ? 2) ?? (单位: ?3x ? 4, ( x ? 2)

i>32?




的作用下, 沿着与力 F 相同的方向, 从x?0 N) 处运动到 x 的功为 14 . 数 列 ,则力 F ( x) 所做 ? 4 处(单位: m )

J.
{2n ? 1}
的 前

S=S+2
n
项 组 成 集 合

输出 S

An ? {1,3, 7,?, 2n ? 1} ,从集合 An 中任取 k

i=2i+1

结束

2

( 1, 2,?, n )个数,其所有可能的 k 个数的乘积的和为 Tk (若只取一个数,则规定乘积为此数本身) , 记 Sn

? T1 ? T2 ? ? ? Tn .例如:
A1 ? {1}, T1 ? 1, S1 ? 1 ; A2 ? {1,3}, T1 ? 1 ? 3, T2 ? 1? 3, S2 ? 1 ? 3 ? 1? 3 ? 7 .
; (2) S n

当 n ? 1 时, 当 n ? 2 时, 则, (1 ) S 3

?

?



(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你多选的题目序号后 的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题做答结果计分. ) 15. (选修 4—1: 几何证明选讲) 如图, 在 ?ABC 中,CD 是 ?ACB 的平分线,?ACD 的外接圆交 BC 于点 E ,

AC ? 2, AB ? 3, EC ?

5 ,则 AD 的长为 2



A D

C

B

E

16. (选修 4—4:坐标系与参数方程)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建

? x?t ? 立极坐标系.若点 P 为直线 ? cos(? ? ) ? 2 ? 0 上一点,点 Q 为曲线 ? 1 2 ( t 为参数)上 4 y ? t ? ? 4

?

一点,则 | PQ | 的最小值为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在

?ABC

中,三个内角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

,已知

(a ? c)(sin A ? sin C ) ? (a ? b)sin B .
(1)求角 C 的大小; (2)求 sin A ? sin B 的最大值.

18. (本小题满分 12 分)数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn , a1

? t , an?1 ? 2Sn ? 1(n ? N ? ) .
3

(1)当 t 为何值时,数列 {an } 是等比数列; (2)在(1)的条件下,若等差数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 有最大值,且 T3

? 15 ,又 a1 ? b1 、 a2 ? b2 、

a3 ? b3 成等比数列,求 Tn .

19. (本小题满分 12 分)某公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分) ,公司规定:成绩在 180 分以上者到“甲部门”工作, 180 分以下者到“乙部门”工作,另外只有成绩高于 180 分的男生才能担任“助理工作” . (1)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中选取 8 人,再从这 8 人中选 3 人,那 么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少? (2)若从所有“甲部门”人选中随机选 3 人,用 的分布列,并求出

X

表示所选人员中能担任“助理工作”的人数,写出

X

X

的数学期望.

B1

C1

20 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 所 示 , 在 直 三 棱 柱

A1

ABC ? A1 B1C1 中,AB ? BB1 ,AC1 ? 平面 A1 BD ,

B D A

C

4

D 为 AC 的中点.
(1)求证: B1C1

? 平面 ABB1 A1 ; ? 45? ,若存在,试确定 E 的位置,并求此时二面角

( 2 )在 CC1 上是否存在一点 E ,使得 ?BA 1E

A1 ? BD ? E 的大小.

21. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 的右侧) ,直线

x2 y 2 且与直线 y ? x ? 3 相切. ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2, a 2 b2

A, B ,过点 P(3,0) 的直线 l 与椭圆 C 交于两点 M , N ( M

在N

AM , BN 相交于点 Q ,求证:点 Q 在一条定直线上.

y l N Q A O B P M x

22. (本小题满分 14 分)已知函数 (1)当 a

f ( x) ?

ln( x ? 1) . ax ? 1

? 1 ,求函数 y ? f ( x) 的图象在 x ? 0 处的切线方程;
f ( x) 在 (0,1) 上单调递增,求实数 a 的取值范围; y ? z ? 1 ,求证:

(2)若函数

(3)已知 x, y, z 均为正实数,且 x ?

5

(3x ? 1) ln( x ? 1) (3 y ? 1) ln( y ? 1) (3z ? 1) ln( z ? 1) ? ? ? 0. x ?1 y ?1 z ?1

6

宜昌市 2014 届高三年级第二次调研考试 数学(理科)参考答案 一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 B 5 D 6 B 7 A 8 C 9 B 10 D

10、设 A ? a , 9 ? a ? ,则圆心 M 到直线 AC 的距离 d ? AM sin 45? ,由直线 AC 与圆 M 相交, 得d≤

34 .解得 3 ≤ a ≤ 6 2
12、 10 13、 46 14、 (1) 63 (2) 2
n ( n ?1) 2

11、

5 3

?1

15、1

16、

2 2

17、 (Ⅰ)由正弦定理 (a ? c)(sin A ? sin C ) ? (a ? b)sin B ? (a ? c)(a ? c) ? (a ? b)b 即a
2

? c2 ? ab ? b2 ? a 2 ? b2 ? c2 ? ab

3分

由余弦定理得 cos C

?

a 2 ? b2 ? c2 1 ? 2ab 2

∵ C ? (0, ? )

∴C

?

?
3

5分

(Ⅱ)由(1)得

A? B ?

2? 2? ?B? ?A 3 3
2? 3 1 ? A) ? sin A( cos A ? sin A) 3 2 2
7分

则 sin

A ? sin B ? sin A sin(

?

3 1 3 1 ? cos 2 A 1 ? 1 sin A cos A ? sin 2 A ? sin 2 A ? ? sin(2 A ? ) ? 2 2 4 4 2 6 4
∵ A ? (0, ∴当 2 A ?

10 分

?

2? ) 3 6 ?

∴ 2A ?

?
?
6

? (?

? 7?
6 , 6

) 3 4
12 分

?
2



A?

3

时, sin A ? sin B 有最大值

18、 (Ⅰ)由 a n ?1

? 2 S n ? 1 ,可得 an ? 2Sn?1 ? 1(n ? 2) , ? an ? 2 an , 即an?1 ? 3an (n ? 2)
3分

两式相减得 an ?1 ∴当 n

? 2 时, {a n } 是等比数列
? 1 时, {a n } 是等比数列,则只需
a 2 2t ? 1 ? ? 3 ,从而 t ? 1 . a1 t
6分

要使 n

(Ⅱ)设 {bn } 的公差为 d ,由 T3 故可设 b1

? 15 得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,于是 b2 ? 5

7分

? 5 ? d , b3 ? 5 ? d ,又 a1 ? 1 , a2 ? 3 , a3 ? 9 ,
7

由题意可得 (5 ? d 解得 d1

? 1)(5 ? d ? 9) ? (5 ? 3) 2
9分

? 2 , d 2 ? ?10

∵等差数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 有最大值,∴ d ∴ Tn

? 0 , d ? ?10

10 分 12 分

n(n ? 1) ? ( ?10) ? 20n ? 5n 2 . 2 8 2 19、 (Ⅰ)用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率为 ? 20 5 根据茎叶图,甲部门人选 10 人,乙部门人选 10 人 2 2 ∴选中的甲部门人选有 10 ? ? 4 人,乙部门人选有 10 ? ? 4 人 5 5 ? 15n ?


3分

,则它的对立事件 A 表示“没有一名甲部门人选被选 A 表示“至少有一名甲部门人选被选中”

3 C4 13 中” ,则 P ( A) ? 1 ? P ( A) ? 1 ? 3 ? C8 14

故至少有一人是“甲部门”人选的概率是

13 14

5分

(Ⅱ)依题意,所选毕业生中能担任“助理工作”的人数
0 3 C6 C4 1 ? 3 C10 30

X

的取值分别为 0,1, 2,3

6分

P ( X ? 0) ?

P( X ? 1) ?

1 2 C6 C4 3 ? 3 C10 10

1 C62C4 1 P( X ? 2) ? 3 ? C10 2

3 0 C6 C 1 P( X ? 3) ? 3 4 ? C10 6

10 分

∴ X 的分布列为

X
P

0 1 30
∴ EX

1 3 10

2 1 2

3 1 6

1 3 1 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 30 10 2 6 5 20、 (Ⅰ)∵ AB ? BB1 ∴四边形 ABB1 A1 为正方形 ∴ A1 B ? AB1 ? 0?
又∵

12 分 2分 ∴ A1 B

AC1 ? 平面 A1BD
? 平面 ABB1 A1



AC1 ? A1 B

∴A 1B

? 面 AB1C1

? B1C1
5分

4分

又在直棱柱 ∴ B1C1 (Ⅱ)设

ABC ? A1 B1C1 中, BB1 ? B1C1

AB ? BB1 ? a , CE ? x
? A1 D
∴ B1C1 ∴ A1 B

∵ D 为 AC 的中点,且 AC1 又∵ B1C1

? A1C1 ? 2a

? 平面 ABB1 A1

? A1 B1
8

∴ B1C1

? a, BE ? a 2 ? x 2 A1 E ? 2a 2 ? (a ? x) 2 ? 3a 2 ? x 2 ? 2ax
2

在 ?A 1 BE 中,由余弦定理得 BE 即a ∴
2

? A1B 2 ? A1E 2 ? 2 A1B ? A1E cos 45?

? x 2 ? 2a 2 ? 3a 2 ? x 2 ? 2ax ? 2 3a 2 ? x 2 ? 2ax ? 2a ?

2 2
9分

3a 2 ? x 2 ? 2ax ? 2a ? x ? x ?

AC 、 CC1 的中点 ∵ AC1 ? 平面 A1BD ∴ DE ? 平面 A1BD
∵ D 、 E 分别为 又∵ DE ? 平面 BDE 故二面角 ∴平面 A1 BD
? 2 2 2

1 a 即 E 是 CC1 的中点 2 ∴ DE // AC1
? 平面 BDE

11 分 12 分

A1 ? BD ? E 的大小为 90

21、 (Ⅰ)∵椭圆的焦距为 2 ∴ b

? a ?1 且 a ? 1 2 2 ( a ? 1) x ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? 1) ? 0 于是椭圆方程为


y ? x ? 3 代入得 (2a 2 ? 1) x 2 ? 2 3a 2 x ? 4a 2 ? a 4 ? 0
∴?

2分

∵直线与椭圆相切 即a
4

? (?2 3a 2 )2 ? 4(2a 2 ? 1)(4a 2 ? a 4 ) ? 0

? 3a 2 ? 2 ? 0 ∵ a 2 ? 1 ∴ a 2 ? 2 则 b2 ? 1 x2 ? y2 ? 1 故所求椭圆方程为 4分 2 (Ⅱ)由题意可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) ? y ? k ( x ? 3) ? 2 2 2 2 联立方程 ? x 2 得 (2k ? 1) x ? 12k x ? 2(9k ? 1) ? 0 2 ? ? y ?1 ? 2 ∵直线 l 与椭圆 C 交于 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 两点 1 4 2 2 2 ∴ ? ? 144k ? 8(2k ? 1)(9k ? 1) ? 0 ? k ? 7 2 2 12k 2(9k ? 1) x1 x2 ? 由韦达定理得 x1 ? x2 ? 6分 2 2k ? 1 2k 2 ? 1 144k 4 8(9k 2 ? 1) 8 ? 56k 2 2 2 ? ? 则 ( x2 ? x1 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? (2k 2 ? 1) 2 2k 2 ? 1 (2k 2 ? 1) 2
2 2 1 ? 7k 2 8分 2 1 ? 2k y1 y2 ( x ? 2) l AN : y ? (x ? ∵ A(? 2, 0) B( 2, 0) ∴ l AM : y ? x1 ? 2 x2 ? 2 设直线 AM 、 BN 相交于点 Q ( x, y ) 由上面两直线方程消去 y 得
又 M 在 N 的右侧 ∴ x2

? x1 ? ?

2)

x? 2 x? 2

?

y2 x1 ? 2 x ? 2 k ( x2 ? 3)( x1 ? 2) x1 x2 ? 3 x1 ? 2 x2 ? 3 2 ? ? ? ? y1 x2 ? 2 x ? 2 k ( x1 ? 3)( x2 ? 2) x1 x2 ? 3 x2 ? 2 x1 ? 3 2

4(9k 2 ? 1) 36k 2 4 1 ? 7k 2 ? ? 2 2 x x ? 3( x1 ? x2 ) ? 2( x2 ? x1 ) x 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 ? ? 1 2 ? 2k ? 1 2 2( x1 ? x2 ) ? 6 2 ? 3( x2 ? x1 ) 12 2 6 2 1 ? 7k 2 ? 6 2 ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
9

x ?4 ? 4 1 ? 7 k 2 2 2 ? ? ?x? 3 3 2 ?6 2 ? 6 2 1 ? 7 k 2 2 故点 Q 在定直线 x ? 上。 3 ln( x ? 1) 22、 (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 则 f (0) ? 0 x ?1 1 ? ln( x ? 1) 则 f ?(0) ? 1 f ?( x) ? ( x ? 1)2 ∴函数 y ? f ( x) 的图像在 x ? 0 时的切线方程为 y ? x (Ⅱ)∵函数 f ( x) 在 (0,1) 上单调递增 ∴ ax ? 1 ? 0 在 (0,1) 上无解 当 a ? 0 时, ax ? 1 ? 0 在 (0,1) 上无解满足 当 a ? 0 时,只需 1 ? a ? 0 ? ?1 ? a ? 0 ∴ a ? ?1 ax ? 1 ? a ln( x ? 1) x ? 1 ? f ( x) ? (ax ? 1) 2 ∵函数 f ( x) 在 (0,1) 上单调递增 ∴ f ?( x) ? 0 在 (0,1) 上恒成立 ?
即a

12 分

13 分

3分



5分

?( x ? 1) ln( x ? 1) ? x ? ? 1 在 (0,1) 上恒成立
? ?( x )? l nx ( ? 1) ? x (? 1) ?
则 ? ( x ) 在 (0,1) 上单调递增 ∴ ? ?( x) ? 0

设 ? ( x) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ? x ∵ x ? (0,1)

1 x ?1

? ? 1 xl n ? (
7分

1)

∴ ? ( x ) 在 (0,1) 上的值域为 (0, 2ln 2 ? 1) ∴a ?

1 1 在 (0,1) 上恒成立 则 a ? ② ( x ? 1) ln( x ? 1) ? x 2ln 2 ? 1 1 ? ? 综合①②得实数 a 的取值范围为 ?1, 9分 ? ? 2 ln 2 ? 1 ? ? ln( x ? 1) (Ⅲ)由(2)知,当 a ? ?1 时, f ( x) ? 在 (0,1) 上单调递增 10 分 1? x 1 ln( x ? 1) 1 3 4 于是当 0 ? x ? 时, f ( x) ? ? f ( ) ? ln 3 1? x 3 2 3 1 ln( x ? 1) 1 3 4 当 ? x ? 1 时, f ( x) ? 12 分 ? f ( ) ? ln 3 1? x 3 2 3 3 4 (3x ? 1) ln( x ? 1) 3 4 ∴ (3x ? 1) f ( x) ? (3x ? 1) ? ln 即 ? (3x ? 1) ? ln , 2 3 x ?1 2 3 (3 y ? 1) ln( x ? 1) 3 4 (3z ? 1) ln( x ? 1) 3 4 同理有 ? (3 y ? 1) ? ln , ? (3z ? 1) ? ln y ?1 2 3 z ?1 2 3 (3x ? 1) ln( x ? 1) (3 y ? 1) ln( y ? 1) (3z ? 1) ln( z ? 1) ? ? ?0 三式相加得 14 分 x ?1 y ?1 z ?1

10


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