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《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】:第六篇 第5讲 数列的综合应用


第5讲 数列的综合应用 A级 基础演练(时间:30 分钟 满分:55 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.已知{an}为等比数列.下面结论中正确的是 ( ). A.a1+a3≥2a2 C.若 a1=a3,则 a1=a2 2 2 B.a2 1+a3≥2a2 D.若 a3>a1,则 a4>a2 解析 设公比为 q,对于选项 A,当 a1<0,q≠1 时不正确;选项 C,当 q=-1 2 时不正确;选项 D,当 a1=1,q=-2 时不正确;选项 B 正确,因为 a1 +a2 3 ≥2a1a3=2a2 2. 答案 B 2.满足 a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N*),它的前 n 项和为 Sn,则满足 Sn>1 025 的最小 n 值是 ( A.9 D.12 解析 因为 a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N*),所以 an+1=2an,an=2n-1,Sn= 2n-1,则满足 Sn>1 025 的最小 n 值是 11. 答案 C 3.(2013· 威海期中)某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同 1 意方可投入生产.已知该生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n)=2n(n+1)(2n ). B.10 C.11 +1)吨,但如果年产量超过 150 吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保 部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 A.5 年 年 解析 由已知可得第 n 年的产量 an=f(n)-f(n-1)=3n2.当 n=1 时也适合,据题 意令 an≥150?n≥5 2,即数列从第 8 项开始超过 150,即这条生产线最多生产 7 年. 答案 C 4.(2013· 福州模拟)在等差数列{an}中,满足 3a4=7a7,且 a1>0,Sn 是数列{an}前 n 项的和,若 Sn 取得最大值,则 n= ( A.7 D.10 解析 设公差为 d,由题设 3(a1+3d)=7(a1+6d), 4 所以 d=-33a1<0. ? 4 ? 解不等式 an>0,即 a1+(n-1)?-33a1?>0, ? ? 37 所以 n< 4 ,则 n≤9, 当 n≤9 时,an>0,同理可得 n≥10 时,an<0. 故当 n=9 时,Sn 取得最大值. 答案 C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2012· 安庆模拟)设关于 x 的不等式 x2-x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为 an,数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S100 的值为________. 解析 由 x2-x<2nx(n∈N*),得 0<x<2n+1,因此知 an=2n. 100?2+200? ∴S100= =10 100. 2 ). B.8 C.9 B.6 年 C.7 年 ( ). D.8 答案 10 100 6.(2013· 南通模拟)已知 a,b,c 成等比数列,如果 a,x,b 和 b,y,c 都成等差 a c 数列,则 x+y=________. a+b b+c 解析 赋值法.如令 a,b,c 分别为 2,4,8,可求出 x= 2 =3,y= 2 =6, a c x +y=2. 答案 2 三、解答题(共 25 分) 7.(12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S5=35,a5 和 a7 的等差中项为 13. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn= 4 (n∈N*),求数列{bn}的前 2 an-1 n 项和 Tn. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d, 因为 S5=5a3=35,a5+a7=26, ?a1+2d=7, 所以? 解得 a1=3,d=2, ?2a1+10d=26, 所以 an=3+2(n-1)=2n+1, n?n-1? Sn=3n+ 2 ×2=n2+2n. (2)由(1)知 an=2n+1, 4 1 1 1 所以 bn= 2 = =n- , an-1 n?n+1? n+1 1 ? 1? ?1 1? ?1 ? 所以 Tn=?1-2?+?2-3?+?+?n-n+1? ? ? ? ? ? ? 1 n =1- = . n+1 n+1 8.(13 分)(2012· 广东)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn=an+1-2n 1+1,n∈ + N*,且 a1,a2+5,a3 成等差数列. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 3 (3)证明:对一切正整数 n,有a +a +?+a <2. 1 2 n (1)解 当 n=1 时,2a1=a2-4+1=a2-3, ① 当 n=2 时,2(a1+a2)=a3-8+1=a3-7, ② 又 a1,a2+5,a3 成等差数列,所以 a1+a3=2(a2+5), ③ 由①②③解得 a1=1. (2)解 ∵2Sn=an+1-2n+1+1, ∴当 n≥2 时,有 2Sn-1=an-2n+1, an+1 3 an 两式相减整理得 an+1-3an=2n,则 2n -2· n-1=1, 2 an+1 3? an ? a1 即 2n +2=2?2n-1+2?.又20+2=3,知 ? ? ? ? ? an ? ? n-1+2?是首项为 2 ? ? ? ? 3 3,公比为2的等比数列, an ?3? ∴ n-1+2=3?2?n-1, ? ? 2 即 an=3n-2n,n=1 时也适合此式,∴an=3n-2n. (3)证明 1 由(2)得a = n 1 . 3n-2n ?3? 当 n≥2 时,?2?n>2,即 3n-2n>2n, ? ? 1 ? 3 1 1 1 1? ?1? ?1? ?1? ∴a +a +?+a <1+?2?2+?2?3+?+?2?n=1+2?1-2n-1?<2. ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 n B级 能力突破(时间:30 分钟 满分:45 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10

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