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3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则学案


3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则学案

【学习目标】 1.熟练掌握基本初等函数的导数公式; 2.熟练掌握导数的四则运算法则; 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数; 4.会用导数公式和法则求曲线的切线方程. 【学习重难点】 重点:基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则; 难点:基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 【学习过程】 一、导学 【复习回顾】
m

1、正数的正分数指数幂与根式的互化: a n =________(a>0,m,n∈N*,n>1); 2.二倍角余弦公式: cos 2α =___________=____________=______________; 3.填写下表
函数 导数 函数
1 x

导数

y?c y?x
y ? x2

y?

y? x

【预习新知】 1. 填写并分四组对比记忆基本初等函数的导数公式表
函数 导数 函数 导数

y?c
? y ? f(x) ? x( ? ? Q*)

y ? f ( x) ? a x

y ? f ( x) ? e x

y ? sin x
y ? cos x

f ( x) ? loga x
f ( x) ? ln x

1

2.(1)导数运算法则
导数运算法则 1. ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? ___________________
'

2. ? f ( x) ? g ( x) ? ? ___________________
'

? f ( x) ? 3. ? ? ? _________________(g(x)≠0) ? g ( x) ?

'

(2)比较积法则与商法则的相同点与不同点: 积法则,商法则,都是前导后不导,前不导后导,但积法则中间是___号,商法则中间是___ 号.

?? ? ________ 推论: ?cf (x)

对于推论你能给出证明吗?

(常数与函数的积的导数,等于______________________; ) 二、互助 分组背诵背写导数公式和导数运算法则 三、探究 类型 1 用导数公式求函数的导数 规律方法:基本初等函数的求导公式是求导数基本依据,一定要记清形式,学会使用公 式求导。若遇到稍微复杂的函数求导,可以先化简再求导。 例1、 求下列函数的导数: 1 (1)y=x8; (2)y= 4 ; (3)y= 3 x ; (4) y ? 2x ; x x x (5) y ? log2 x ; (6)y=sinx; (7)y=cos2 - sin2 2 2

2

类型 2 用求导公式和导数运算法则求导 规律方法:1.分清函数的运算种类,适合哪个法则; 2.对复杂的函数结合函数解析式的特点先进行恒等变形, 把一个函数化成几 个基本初等函数的加、减、乘、除运算,再套用运算法则,要细心、耐心。 例2、 求下列函数的导数: (1)f(x)=x3-2x+3; (2)f(x)=3cosx-4sinx; (3)f(x)=2ex ;(4)f(x)=lgx-3x ; 1 1 ? (5)f(x)=(x+2)(x-3); (6)f(x)= 1- x 1? x

类型 3 求曲线的切线方程 ’ 规律方法:函数 y ? f(x) 在点 x0 处的导数 f( 的几何意义是曲线 y ? f(x) 在点 x 0)
’ P(x0,f(x0)处切线的斜率,相应地,切线的方程为 y- f(x0)= f( (x-x0). x 0) 2 例 3、(1)求曲线 y=x +x+1 在点(1,3)处的切线方程; (2)求过点(-1,0)与曲线 y=x2+x+1 相切的直线方程.

3

四、提炼
1、学到了什么内容?

__________________________________________________________________
2、由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导 数公式求导。对于一些不符合公式和法则形式的复杂函数怎样求导?___________________ 3、怎样求一般曲线的切线方程?要特别注意什么?

五、拓展 【当堂检测】 1.函数 y ? x ? 的导数是( A. 1 ?
1 x

) D. 1 ? ) C. cos 2 x ? cos x
x sin x ? cos x x2

1 1 1 B. 1 ? C. 1 ? 2 2 x x x 2.函数 y ? sin x(cos x ? 1) 的导数是(

1 x

A. cos 2 x ? cos x 3. y ?
cos x 的导数是( x sin x A. ? 2 x

B. cos 2 x ? sin x ) B. ? sin x

D. cos2 x ? cos x
x cos x ? cos x x2

C. ?

D. ?

4.求下列函数的导数: (1) y ? 2x5 ? 3x2 ? 5x ? 4 ; (3) y ? x ln x ; (4) y ?
ln x . x

(2) y ? (2x2 ? 5x ? 1) ? ex ;

【课堂作业】 课本 P.85 习题 3.2 A 组第 1、3、4、5、6、7 题 思考:1、求下列函数的导数: b alnx b ? 在抛物线 y=-x2 上求一点, (1) f(x)=ax- ; (2) f(x)= 使之到直线 4x+3y-8=0 x x ?1 x 的距离最小?最小距离是多少?

4


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