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导数及其应用(学生练习版)


六,导数及其应用(课后练习) 1,已知 f ( x) ? ax ? 3x ? x ? 1 , a ? R . (1)当 a ? ?3 时,求证: f ( x ) 在 R 上是减函数;
3 2

(2)如果对 ?x ? R 不等式 f ?( x) ? 4 x 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2,已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x . (1) 当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 的单调区间和极值; 2 (2) 若 g ( x) ? f ( x) ? 在 [1 , ? ?) 上是单调函数,求实数 a 的取值范围. x

3.已知函数 f ( x) ?

2 9 x( x 2 ? 3ax ? ) (a ? R ). 3 2 (1)若函数 f(x)图象上点 P(1, m) 处的切线方程为 3x ? y ? b ? 0 ,求 m 的值; (2)若函数 f ( x) 在 (1, 2) 内是增函数,求 a 的取值范围.

4,已知 a ?R,函数 f ? x ? ? ?

1 3 1 2 x ? ax ? 2ax (x∈R). 3 2 (1)当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调递增区间;
(2)函数 f ? x ? 是否在 R 上单调递减,若是,求出 a 的取值范围;若不是,请说明理由; (3)若函数 f ? x ? 在 ??1,1? 上单调递增,求 a 的取值范围.

5.设函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c, 过曲线y ? f ( x)上的 点 P(1, f (1)) 的切线方程 为 y ? 3x ? 1 .

, 求f ( x) 的表达式; (1)若 y ? f ( x)在x ? ?2时有极值
(2)在(1)的条件下,求 y ? f ( x)在[?3,1] 上的

6.,已知函数 f ( x) ? (1)当 a ?

x 2 ? 2x ? a , x ? [1,??). x

1 时, 求函数 f ( x) 的最小值; 2

(2)若对任意 x ? [1,??) ,都有 f ( x) >0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

1.解: (Ⅰ)当 a ? ?3 时, f ( x) ? ?3x3 ? 3x2 ? x ? 1 ∵ f / ( x) ? ?9 x2 ? 6 x ?1 ? ?(3x ? 1)2 ? 0 ∴ f ( x ) 在 R 上是减函数 (Ⅱ)∵ ?x ? R 不等式 f ?( x) ? 4 x 恒成立 即 ?x ? R 不等式 3ax ? 6 x ? 1 ? 4 x 恒成立
2

∴ ?x ? R 不等式 3ax ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立 当 a ? 0 时, ?x ? R 2 x ? 1? 0 不恒成立
2

…………………6 分 ……………7 分 ……………8 分

当 a ? 0 时, ?x ? R 不等式 3ax ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立 即 ? ? 4 ? 12a ? 0
2

∴a ? ?

1 3

…………………10 分

2 当 a ? 0 时, ?x ? R 不等式 3ax ? 2 x ? 1 ? 0 不恒成立… … …… 11 分

1 … … … …12 分 3 2.解:(1) 易知,函数 f ( x) 的定义域为 (0 , ? ?) . ……………………………………………1 分 2 2( x ? 1)( x ? 1) 当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 2 x ? ? . ……………………………………………2 分 x x 当 x 变化时, f ?( x) 和 f ( x) 的值的变化情况如下表: ……………………………………4 分 ? ] 综上所述, a 的取值范围是 (??,
x (0,1) 1 (1,+∞) 0 + f ?( x) 递减 极小值 递增 f ( x) 由上表可知,函数 f ( x) 的单调递减区间是(0,1) 、单调递增区间是(1,+∞) 、极小值是 f (1) ? 1 . 2 a 2 2 (2) 由 g ( x) ? x ? a ln x ? ,得 g ?( x) ? 2 x ? ? 2 . ………………………………8 分 x x x 2 2 又函数 g ( x) ? x ? a ln x ? 为 [1, ??) 上单调函数, x ① 若函数 g ( x) 为 [1, ??) 上的单调增函数,则 g ?( x) ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,即不等式 2 a 2 2 x ? 2 ? ? 0 在 [1, ??) 上恒成立.也即 a ? ? 2 x 2 在 [1, ??) 上恒成立. ………11 分 x x x 2 2 又 ? ( x) ? ? 2 x 在 [1, ??) 上为减函数, ? ( x) max ? ? (1) ? 0 . 所以 a ? 0 . x ② 若函数 g ( x) 为 [1, ??) 上的单调减函数,则 g ?( x) ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,这是不可能的. 上, a 的取值范围为 [0, ??) . 2 3 2 3.解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? x ? 2ax ? 3 x, ∴ f ?( x) ? 2x 2 ? 4ax ? 3. ………2 分 3 / 则过 P(1, m )的切线斜率为 k= f ?1? ? ?1 ? 4a . ………3 分 又∵切线方程为 3x ? y ? b ? 0 ∴ ?1 ? 4a = 3 ,即 a ? ?1 , …………4 分 2 3 2 ∴ f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 x, …………5 分 3 1 又∵P(1, m )在 f(x)的图象上,∴ m ? ? . ……………7 分 3 (Ⅱ)解法一: 函数 f ( x) 在 (1, 2) 内是增函数, 2 ∴ f ?( x) ? 2x ? 4ax ? 3 ? 0 对于一切 x ? (1, 2) 恒成立, ………9 分 x 3 2 即 4ax ? 2 x ? 3 ,∴ a ? ? , ……………11 分 2 4x



x 3 x 3 1 5 ? ? (? , ) , 在 (1, 2) 上单调递增,∴ ? 2 4x 2 4x 4 8 1 ?a ? ? . ………14 分 4 解法二: 函数 f ( x) 在 (1, 2) 内是增函数 ∴ f ?( x) ? 2x 2 ? 4ax ? 3 ? 0 对于一切 x ? (1, 2) 恒成立,……………9 分 ……………11 分 ? f ?(0) ? ?3, ? f ?( x) ? 2x 2 ? 4ax ? 3 ? 0 对于一切 x ? (1, 2) 恒成立的充要条件是

f ?(1) ? 2 ?12 ? 4a ?1 ? 3 ? 0 , 1 ?a ? ? . ……………14 分 4 1 3 1 2 4.解: (Ⅰ) 当 a ? 1 时, f ? x ? ? ? x ? x ? 2 x , 3 2 2 ? f ?( x) ? ? x ? x ? 2 . 2 令 f ?( x) ? 0 ,即 ? x ? x ? 2 ? 0 , 2 即 x ? x ? 2 ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 2 . ? 函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ?1, 2? .
(Ⅱ) 若函数 f ? x ? 在 R 上单调递减,则 f ?( x) ≤ 0 对 x ?R 都成立, 即 ? x ? ax ? 2a ≤ 0 对 x ?R 都成立,
2

即 x ? ax ? 2a ≥ 0 对 x ?R 都成立.
2

?? ? a 2 ? 8a ≤ 0 , 解得 ?8 ≤ a ≤ 0 . ? 当 ?8 ≤ a ≤ 0 时, 函数 f ? x ? 在 R 上单调递减.
(Ⅲ) 解法一:

…… 6 分 …… 7 分

? f ?( x) ≥ 0 对 x ? ??1,1? 都成立,

函数 f ? x ? 在 ??1,1? 上单调递增,

?a ? x ? 2? ≥ x2 对 x ? ??1,1? 都成立,
即 a≥

? ? x 2 ? ax ? 2a ? 0 对 x ? ??1,1? 都成立.

x2 对 x ? ? ?1,1? 都成立. x?2 2x ? x ? 2? ? x2 x ? x ? 4? x2 ? 令 g ? x? ? , 则 g ?( x) ? . 2 2 x?2 ? x ? 2? ? x ? 2? 当 ?1≤ x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ;当 0 ? x ≤1 时, g ?( x) ? 0 .

…… 8 分

? g ? x? 在 ? ?1,0? 上单调递减,在 ?0,1? 上单调递增. 1 g ? ?1? ? 1, g ?1? ? , 3 ? g ? x? 在 ??1,1? 上的最大值是 g ? ?1? ? 1 .
? a ≥1 .
解法二: 函数 f ? x ? 在 ??1,1? 上单调递增, …… 10 分

? f ?( x) ≥ 0 对 x ? ??1,1? 都成立,
2

? ? x 2 ? ax ? 2a ≥ 0 对 x ? ??1,1? 都成立.
即 x ? ax ? 2a ≤ 0 对 x ? ? ?1,1? 都成立. …… 8 分

令 g ? x ? ? x2 ? ax ? 2a ,则

? a ? 1.

1 ? ? ? g ?1? ? 1 ? a ? 2a ? 0, ?a ? , 解得 ? 3 ? ? ? g ? ?1? ? 1 ? a ? 2a ? 0. ? ?a ? 1.
…… 10 分

5.解: (1)由函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c ,求导数得 f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b , 过 y ? f ( x)上点P( 1 ,f( 1 ) )的切线方程为:

y ? f (1) ? f ' (1)(x ? 1),即y ? (a ? b ? c ? 1) ? (3 ? 2a ? b)(x ? 1) ?? 2分
而过y ? f ( x)上点P( 1,f( 1 ) )的切线方程为: y ? 3 x ? 1, ? 3 ? 2a ? b ? 3 ? 2a ? b ? 0 故? , 即? ?a ? b ? c ? 2 ? 1 ? a ? b ? c ? 3 ?? (1) ?? (2)

? y ? f ( x)在x ? ?2时有极值 , 故f ' (?2) ? 0,? ?4a ? b ? ?12

??(3)

由(1)(2)(3)相练立解得a ? 2, b ? ?4, c ? 5, f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 5 ??6分

(2) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 3x 2 ? 4x ? 4 ? (3x ? 2)(x ? 2) ?? 7分 x

[?3,?2)
+

-2 0 极大

f ?( x) f ( x)
有表格或者分析说明

2 ( ? 2, ) 3


2 3
0 极小

2 ( ,1] 3
+

f ( x)极大 ? f (?2) ? (?2) 3 ? 2(?2) 2 ? 4(?2) ? 5 ? 13

??10分 ??12分

f (1) ? 13 ? 2 ?1 ? 4 ?1 ? 5 ? 4 ,? f ( x)在[?3,1] 上最大值为 13
6.. (1)解:当 a ?

1 1 时, f ( x) ? x ? ?2 2 2x 1 ∵ x ? 1时,f ?( x) ? 1 ? 2 ? 0 ∴ f ( x)在区间 [1,??) 上为增函数, 2x 7 ∴ f ( x)在区间 [1,??) 上的最小值为 f (1) ? . 2
(2)在区间 [1,??)上,f ( x) ?

x 2 ? 2x ? a ? 0 恒成立 x

? a ? ? x 2 ? 2 x 恒成立. ? a ? (? x 2 ? 2x) min,x ? 1;
∵ ? x ? 2 x ? ?( x ? 1) ? 1
2 2

∴当 x=1 时, (? x 2 ? 2 x) max ? ?3

∴a>-3


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