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河北省新乐市第一中学人教A版高中数学必修四:2.3.4平面向量共线的坐标表示 课件 (共17张PPT)_图文


y yj a

xi j O i

1. 对于平面内的任一向 量a,由平面向量基本定 理可得,有且只有一对 实数x、y,使得a=xi+yj。 我们把有序数对(x,y) 叫做向量a的坐标,记作 a=(x,y)
x

? ? 2. 向量的坐标运算:a ? (x1,y1 ) b ? (x2,y2 )

? ? a ? b ? (x1 ? x2,y1 ? y2 ) ? ? a ? b ? (x1 ? x2,y1 ? y2 ) ? ? a ? (? x, ? y )

若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 ??? ? AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ).
? ? ? ? ? ? 3.平面向量共线定理:a// b ? b ? 0 ? ? a ? ? b ? ? ? ?

思考: 设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),若向 量 a ,b 共线(其中 b ≠0 ),则这两个 向量的坐标应满足什么关系?
(x1 , y1 ) ? ? (x2 , y2 )
? x1 ? ? x2 即: ? ? y1 ? ? y2

消去?得:x1 y 2 ? x2 y 1 ? 0

a 结论 : 设 ? ? =(x1,y1), b =(x2,y2),(其 中 b ? 0),当且仅当 x1y 2 -x 2 y1 = 0

? ? ? ? 即: a / / b(b ? 0) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

向量 a与向量 b 共线。

? ? ? ? 已知a / /b,且a =(4,2),b =(6,y),求y的值;

例6.

? ? 解: ∵ a / /b ∴ 4y - 2 × 6 = 0 ∴y = 3

练习: ? ? ? ? 已知a / /b,且a =(x,2),b =(2, 1),求x的值.
? ? 解: ∵ a / /b

∴ x - 2?2 = 0

∴x = 4

? ? ? ? ? ? 1. 已知向量a = (2,1), b = ( x, - 1), m = a + 2b, ? ? ? ? ? ? x= - 2 u = 2a - b, 且m // u , 求x的值.

? ? ? ? 2. 已知向量a = (3, 4), b = (cos a ,sin a ), 且a // b, 求 tan a 的值.
4 tan a = 3

3. 已知a=(1, 0), b=(2, 1), 当实数k为何值

时,向量ka-b与a+3b平行? 并确定它们是
同向还是反向.
解:ka-b=(k-2, -1),
∵ka-b与a+3b平行 这两个向量是反向。

a+3b=(7, 3),

例7.已知A(-1, - 1),B(1,3),C(2,5),试 判断A,B,C三点之间的位置关系.

解: y

● ●B
0 A ●

C

??? ∵ AB = (1( - 1),3 ( - 1)) = (2,4) ??? AC = (2 ( - 1),5 ( - 1)) = (3,6) 又 2 × 6 - 3 × 4 = 0, ??? ??? ∴ AB ∥ AC ∵直线AB、直线AC有公共点A,
x ∴ A、B、C三点共线。

变式:已知A(-1, - 1),B(1,3),C(2,y), 若A,B,C能构成三角形,则y的取值范围是——

已知A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) , 向量 AB 与 CD 平行吗?直线AB与平行于直线CD吗? 解:∵ AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4)
CD =(2-1,7-5)=(1,2)

又 ∵2×2-4×1=0

∴ AB ∥ CD

又 ∵ AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6)
AB =(2, 4), ∴ 2×4-2×6?0

∴ AC 与 AB 不平行 ∴ A,B,C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD

例8.设点P是线段 P P 1, P 2 上的一点, 1, P 2

的坐标分别是

( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )

(1)当点P是线段 P 的中点时,求点P的坐标; 1, P 2 (2)当点P是线段 P 1, P 2 的一个三等分点时,求点P的坐标
M

解:(1) ??? ? 1 ???? ???? ? OP ? (OP 1 ? OP 2) 2 x1 ? x2 y1 ? y2 ?( , ) 2 2

y P P1

P2

所以,点P的坐标为 (

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

O

x

(1)

例8.设点P是线段 P 1, P 2
P 1, P 2
(2)当点P是线段 P 1, P 2

上的一点, 的一个三等分点时,求点P的坐标。
y P2

的坐标分别是( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )

解:

??? 1 ????? 若点P靠近p1点则有: P1P = P 1P 2 , 3 ?? ? ??? ? ??? ??? ? 1 ????? OP = 0P1 + P1P = 0P1 + P 1P 2 P1 3 ??? ? 1 ??? ? ??? ? = 0P1 + (0P2 - 0P1 ) 3 ? 1 ???? 2 ??? = 0P1 + OP 2 3 3 2x1 + x 2 2y1 + y 2 =( , ) 3 3 2x + x 2y + y ∴点P的坐标是( 1 2 , 1 2 ) 3 3

P

O

x

②若点p靠近P2点 时
P1

y
P

P2

???? ? 2 ?????? 则有: p1 p = p1 p 2 , 3 x1 + 2x 2 y1 + 2y 2 ∴点 P 的 坐 标 是 ( , ) 3 3

O

x

??? ? ??? ? 3 OB ? (6, ?3) 1.已知点O(0,0),向量 OA=(2,), 点p是线段AB的三等分点,求点P的坐标.
? 10 ? ? 14 ? 1? 或 ? , -1? ? , ? 3 ? ? 3 ?

2.已知A(2,3),B(4,-3),点P在线段AB的延 ??? ? 3 ??? ? 长线上,且 AP ? PB ,求点P的坐标
2

(8,-15)

小结: 向量平行(共线)等价条件的两种形式:

? ? ? ? ? ? (1)a / /b(b ≠ 0)? a =λb;

? ? ? ? ? ? (2)a / /b(a =(x1,y1 ),b =(x 2 ,y 2 ),b ≠ 0) ? x1y 2 - x 2 y1 = 0

探究:

??? ??? ? 如图所示,当P1P =λ PP2时,点P的坐标是什么?
y
P P2

??? ? ???? 解: 若p1p =λpp2 ,则 ?? ? ??? ? ??? ??? ? λ ????? OP = 0P1 + P1P = 0P1 + P 1P 2 1+λ P1 ??? ? λ ??? ? ??? ? = 0P1 + (0P2 - 0P1) 1+λ ? λ ???? 1 ??? = 0P1 + OP 2 1+λ 1+λ x1 +λx 2 y1 +λy2 =( , ) 1+λ 1+λ x1 +λx 2 y1 +λy2 ∴点P的坐标是( , ) 1+λ 1+λ

O

x

作业:习题A组:4,5,6,7 一线精练:第22课时


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