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2013届高三人教B版理科数学一轮复习课时作业(40)直线、平面垂直的判定与性质 2


大千教育课时作业(四十) 直线、平面垂直的判定与性质
1. 已知 p: 直线 a 与平面 α 内无数条直线垂直, q: 直线 a 与平面 α 垂直. 则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.[2011· 温州十校联考] 若 m、n 为两条不同的直线,α、β 为两个不同的平面,则以 下命题正确的是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α C.若 m∥β,α∥β,则 m∥α D.若 α∩β=m,m⊥n,则 n⊥α 3.给定下列四个命题: ①一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直. 其中,为真命题的是( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ 4.给出下列条件(其中 l 和 a 为直线,α 为平面):①l 垂直于 α 内一凸五边形的两条边; ②l 垂直于 α 内三条不都平行的直线;③l 垂直于 α 内的无数条直线;④l 垂直于 α 内正六边 形的三条边;⑤a⊥α,l⊥a.其中是 l⊥α 的充分条件的所有序号是________. 能力提升 5.[2011· 浙江卷] 下列命题中错误 的是( ) .. A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 6.正方体 ABCD-A′B′C′D′中,E 为 A′C′的中点,则直线 CE 垂直于( A.A′C′ B.BD C.A′D′ D.AA′

)

图 K40-1 7.如图 K40-1,已知△ABC 为直角三角形,其中∠ACB=90° ,M 为 AB 的中点,PM 垂直于△ABC 所在平面,那么( ) A.PA=PB>PC B.PA=PB<PC C.PA=PB=PC D.PA≠PB≠PC 8.[2011· 西安模拟] 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 9. 给出命题:(1)在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行; (2)设 l,m 是不同的直线,α 是一个平面,若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α; (3)已知 α,β 表示两个不同平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的 充要条件; (4)a,b 是两条异面直线,P 为空间一点,过 P 总可以作一个平面与 a,b 之一垂直,与 另一个平行. 其中正确命题个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 10. 已知直线 l, m, n, 平面 α, m?α, n?α, 则“l⊥α”是“l⊥m 且 l⊥n”的________ 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)

11.已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,下面有三个命题:①α∥β?l⊥m;②α⊥β ?l∥m;③l∥m?α⊥β.则真命题的个数为________. 12.如图 K40-2 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等, M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认 为是正确的条件即可)

图 K40-2 13.a、b 表示直线,α、β、γ 表示平面. ①若 α∩β=a,b?α,a⊥b,则 α⊥β; ②若 a?α,a 垂直于 β 内任意一条直线,则 α⊥β; ③若 α⊥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则 a⊥b; ④若 a 不垂直于平面 α,则 a 不可能垂直于平面 α 内无数条直线; ⑤若 a⊥α,b⊥β,a∥b,则 α∥β. 上述五个命题中,正确命题的序号是________. 14.(10 分)[2011· 广州统考] 如图 K40-3,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已知 BD=2AD=4,AB=2DC=2 5. (1)求证:BD⊥平面 PAD; (2)求三棱锥 A-PCD 的体积.

图 K40-3 15.(13 分)如图 K40-4,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E,F 分别是 A1B,A1C 的中点, 点 D 在 B1C1 上,A1D⊥B1C.求证: (1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1FD⊥平面 BB1C1C.

选做题: 16.(12 分)[2011· 九江六校联考] 在如图 K40-5 所示的几何体中,AE⊥平面 ABC,CD∥AE,F 是 BE 的中点,AC=BC=1,∠ACB=90° ,AE=2CD=2. (1)求证:DF∥平面 ABC; (2)求证:DF⊥平面 ABE; (3)求三棱锥 D-BCE 的体积.

图 K40-5

课时作业(四十) 1.B [解析] 由线面垂直的定义,知 q?p;反之,直线 a 与平面 α 内无数条直线垂直, 则直线 a 与平面 α 不一定垂直,故选 B. 2. B [解析] B 选项为直线与平面垂直的判定方法: 若两条平行直线中的一条直线垂直 于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面. 3.D [解析] 当两个平面相交时,一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面,故 ①不对; 由平面与平面垂直的判定可知②正确; 空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相 交也可以异面,故③不对;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才 与另一个平面垂直,故④正确. 4.①②④ [解析] ①中凸五边形的任意两边所在直线相交;②中三条不都平行的直线 中至少有两条是相交的;③中 l 垂直于 α 内无数条直线,当这无数条直线平行时,不能说明 l⊥α;④正六边形三条边所在直线中总能有两条相交;⑤中,a⊥α,l⊥a 时,a∥α 或 a?α. 【能力提升】 5.D [解析] 若平面 α⊥平面 β,在平面 α 内与交线不相交的直线平行于平面 β,故 A 正确;B 中若 α 内存在直线垂直于平面 β,则 α⊥β,与题设矛盾,所以 B 正确;由面面垂 直的性质知选项 C 正确.由 A 正确可推出 D 错误. 6.B [解析] 连接 B′D′, ∵B′D′⊥A′C′,B′D′⊥CC′,且 A′C′∩CC′=C′, ∴B′D′⊥平面 CC′E.而 CE?平面 CC′E,∴B′D′⊥CE. 又∵BD∥B′D′,∴BD⊥CE. 7.C [解析] ∵M 为 AB 的中点,△ACB 为直角三角形,∴BM=AM=CM. 又 PM⊥平面 ABC,∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,故 PA=PB=PC. 8.C [解析] 如图,取 BC 中点 E,连接 DE、AE,依题意知三棱柱为正三棱柱,易得 3 AE⊥平面 BB1C1C,故∠ADE 为 AD 与平面 BB1C1C 所成的角.设棱长为 1,则 AE= , 2 3 2 1 AE DE= ,tan∠ADE= = = 3,∴∠ADE=60° . 2 DE 1 2

9.B [解析] (1)错;(2)正确;(3)“α⊥β”是“m⊥β”的必要条件,命题错误;(4)只有 当异面直线 a,b 垂直时可以作出满足要求的平面,命题错误. 10.充分不必要 [解析] 若 l⊥α,则 l 垂直于平面 α 内的任意直线,故 l⊥m 且 l⊥n, 但若 l⊥m 且 l⊥n,不能得出 l⊥α. 11.2 [解析] 对于①,由直线 l⊥平面 α,α∥β,得 l⊥β,又直线 m?平面 β,故 l⊥m, 故①正确;对于②,由条件不一定得到 l∥m,还有 l 与 m 垂直和异面的情况,故②错误; 对于③,显然正确.故正确命题的个数为 2. 12.DM⊥PC(或 BM⊥PC 等) [解析] 连接 AC,则 BD⊥AC,由 PA⊥底面 ABCD,可 知 BD⊥PA, ∴BD⊥平面 PAC,则 BD⊥PC. ∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,即有 PC⊥平面 MBD, 而 PC?平面 PCD,∴平面 MBD⊥平面 PCD. 13. ②⑤ [解析] 对①可举例, 需 b⊥β 才能推出 α⊥β.对③可举反例说明, 当 γ 不与 α, β 的交线垂直时,即可得到 a,b 不垂直;对④a 只需垂直于 α 内一条直线便可以垂直 α 内无

数条与之平行的直线.只有②⑤是正确的. 14.[解答] (1)证明:在△ABD 中, ∵AD=2,BD=4,AB=2 5,∴AD2+BD2=AB2. ∴AD⊥BD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BD?平面 ABCD, ∴BD⊥平面 PAD. (2)过 P 作 PO⊥AD 交 AD 于 O. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,∴PO⊥平面 ABCD. ∵△PAD 是边长为 2 的等边三角形,∴PO= 3. 由(1)知,AD⊥BD,在 Rt△ABD 中, AD· BD 4 5 斜边上的高为 h= = . AB 5 1 1 4 5 ∵AB∥DC,∴S△ACD= CD· h= × 5× =2. 2 2 5 1 1 2 3 ∴VA-PCD=VP-ACD= S△ACD· PO= ×2× 3= . 3 3 3

15.[解答] 证明:(1)由 E、F 分别是 A1B、A1C 的中点知 EF∥BC. 因为 EF?平面 ABC,BC?平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC. (2)由三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱知 CC1⊥平面 A1B1C1. 又 A1D?平面 A1B1C1,故 CC1⊥A1D. 又因为 A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C, CC1、B1C?平面 BB1C1C,故 A1D⊥平面 BB1C1C, 又 A1D?平面 A1FD,所以平面 A1FD⊥平面 BB1C1C. 【选做题】 16.[解答] (1)证明:如下图,取 AB 的中点 M, 连接 FM,CM, 在△ABE 中,F,M 分别是 EB,AB 的中点, 1 ∴FM 綊 AE. 2 1 又∵CD∥AE,CD= AE,∴FM 綊 CD, 2 ∴四边形 FMCD 为平行四边形, ∴DF∥CM. ∵CM?平面 ABC,DF?平面 ABC, ∴DF∥平面 ABC.

(2)证明:∵AC=BC,M 为 AB 的中点,∴CM⊥AB. 又 AE⊥平面 ABC,CM?平面 ABC, ∴CM⊥AE.又 AE∩AB=A,∴CM⊥平面 ABE.

由(1)得 DF∥CM,∴DF⊥平面 ABE. (3)∵CD∥AE,AE⊥平面 ABC, ∴CD⊥平面 ABC,∴CD⊥AC,CD⊥BC, 又∠ACB=90° ,∴AC⊥平面 BCD.又由 CD∥AE 得 V 三棱锥 D-BCE=V 三棱锥 E-BCD=V 三棱锥 A-BCD, 1 1 1 1 ∴V 三棱锥 D-BCE= S△BCD· AC= × ×1×1×1= . 3 3 2 6


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