江苏省扬州中学 2013—2014 期中考试模拟试题

数 学
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分， ） 1．已知全集 U ? ? ,2,3,4?，集合 P ? ?1, 2? , Q ? ?2,3? ，则 P ? (? Q) ? 1 U 2． 复数 3．“ ? ?

2013.11

.

?

5i 的实部是 1 ? 2i

6

”是“ sin ? ?

1 ”的 2

条件．

(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m, n 作为点 P 的横、 纵坐标， 则点 P 在直线 x ? y ? 5 上的概率为 5．如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中 从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1: 2 : 3 ，第 2 小组 的频数为 10 ，则抽取的学生人数是 . .

6．若样本 a1 , a2 , a3 的方差是 2，则样本 2a1 ? 3,2a2 ? 3,2a3 ? 3 的方差是 7．执行右边的程序框图,若 p ? 15 ，则输出的 n ? 8．已知函数 f ( x) ? ? .

?log 2 x( x ? 0) 1 , 则 f [ f ( )] 的值是 x 4 ? 3 ( x ? 0)

.

9．等差数列 {an } 中，若 a1 ? a2 ? 4 , a9 ? a10 ? 36 ， 则 S10 ? .

?2 x ? y ? 0 ?x ? 3y ? 5 ? 0 1 x 1 y ? 10．已知实数 x 、 y 满足 ? ，则 z ? ( ) ? ( ) 的最小值为 . 4 2 ?x ? 0 ?y ? 0 ? ? ? ? n ? 11 ． 设 向 量 a ? ( c o s ,?s i， b ) (cos ? , sin ? ) ， 其 中 0 ? ? ? ? ? ? ， 若
? ? ? ? | 2 ? b ? |a ? 2 | ? ? ? ? a | b ，则
12． 若函数 f ( x) ?
2

. ___． .

4 ? k ? 2 x 在 ? ??, 2 ? 上有意义，则实数 k 的取值范围是_
2

13．若函数 f ( x) ? x ? 2a x ? 4a ? 3 的零点有且只有一个，则实数 a ?

14．对于在区间[a，b]上有意义的两个函数 m( x)与n( x) ，如果对于区间[a，b]中的任意 x 均有 | m( x) ? n( x) |? 1，则称 m( x)与n( x) 在[a，b]上是“密切函数”， [a，b]称为“密 切区间”，若函数 m( x ) ? 则 b ? a 的最大值为

x 2 ? 3x ? 4 与 n( x) ? 2 x ? 3 在区间[a，b]上是“密切函数”，
.

二、解答题： （本大题共 6 道题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤） 15． （本题满分 14 分） 已知函数 f ( x) ? ?2sin x ? 2 3 sin x cos x ? 1
2

⑴求 f ( x) 的最小正周期及对称中心； ⑵若 x ? [?

? ?

, ] ，求 f ( x) 的最大值和最小值. 6 3

16． （本题满分 14 分） 如图，在△ OAB 中，已知 P 为线段 AB 上的一点， OP ? x ? OA ? y ? OB. （1）若 BP ? PA ，求 x ， y 的值； （2）若 BP ? 3PA ， | OA |? 4 ， | OB |? 2 ，且 OA 与 OB 的夹角为 60° 时，求 OP ? AB 的值。

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

17.（本题满分 14 分） 已知集 A ? ? x

? 1? x ? ? 0 ? 合， B ? x x 2 ? 2 x ? a 2 ? 2a ? 0 ? x?7 ?

?

?

（1）当 a ? 4 时，求 A ? B ； （2）若 A ? B ，求实数 a 的取值范围.

18. （本题满分 16 分） 扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为 60 （如图） ，考虑 到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为 9 3 平方米，且高度不低于
?

3 米．记防洪堤横断面的腰长为 x （米） ，外周长（梯形的上底线段 BC 与两腰长的和）为 ．．．．．．． ．．．．．．

y （米）. ⑴求 y 关于 x 的函数关系式，并指出其定义域； ⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米，则其腰长 x 应在什么范围内？ ⑶当防洪堤的腰长 x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最
小）？求此时外周长的值.

B

C

x
60?

A

D

19． （本题满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 4 分，第 3 小题 8 分） 已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? 3x ? a, b ? R ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 ．
3 2

?

?

⑴求函数 f ? x ? 的解析式； ⑵若对于区间 ? ?2, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? c ，求实数 c 的最小值； ⑶若过点 M ? 2, m ?? m ? 2 ? 可作曲线 y ? f ? x ? 的三条切线，求实数 m 的取值范围．

20． （本题满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分） 设函数 f ? x ? ?

? 1 ? 2x ? 3 ? x ? 0? ，数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? f ? ? ? n ? N * , 且n ? 2 ? ． 3x ? an ?1 ?

⑴求数列 ?an ? 的通项公式； ⑵设 Tn ? a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ? a4 a5 ? ??? ? ? ?1? 求实数 t 的取值范围； ⑶是否存在以 a1 为首项，公比为 q 0 ? q ? 5, q ? N
n ?1

an an ?1 ，若 Tn ? tn 2 对 n ? N * 恒成立，

?

*

? 的数列 ?a ? ， k ? N
nk

*

，使得数

列 a n k 中每一项都是数列 ?an ? 中不同的项， 若存在， 求出所有满足条件的数列 ?nk ? 的 通项公式；若不存在，说明理由．

? ?

2009~2010 学年度第一学期期末高考模拟考试

数学参考答案及评分标准
1、 {1} 2、2 3、充分不必要 4、

1 9
11、

5、 40

6、 8

7、 5

8、

1 9

9、 100

10、

1 16

? 2

12、 (??,1]

13、

3 2

14、1

15．解：⑴ f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ∴ f ( x) 的最小正周期为 T ?

?
6

)

2? ------6 分 ?? ， 2 ? k? ? 令 sin(2 x ? ) ? 0 ，则 x ? ? (k ? Z ) ， 6 2 12 k? ? ∴ f ( x) 的对称中心为 ( ----8 分 ? , 0), (k ? Z ) ； 2 12 ? ? ? ? 5? 1 ? ⑵∵ x ? [? , ] ∴ ? ? 2 x ? ? ∴ ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ∴ ?1 ? f ( x) ? 2 6 3 6 6 6 2 6
∴当 x ? ?

?

6 ??? ??? ? ? 16． （1）∵ BP ? PA ，

时， f ( x) 的最小值为 ?1 ；当 x ?

?

6

时， f ( x) 的最大值为 2 。 ----14 分

∴ BO ? OP ? PO ? OA ，即 2OP ? OB ? OA ，

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ?

3分 5分

? ? 1 ??? 1 ??? 1 1 OA ? OB ，即 x ? ， y ? 2 2 2 2 ??? ? ??? ? （2）∵ BP ? 3PA ，
∴ OP ? ∴ BO ? OP ? 3PO ? 3OA ，即 4OP ? OB ? 3OA

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

7分 8分 9分 10 分 12 分 14 分

? ? 3 ??? 1 ??? OA ? OB 4 4 3 1 ∴x ? ，y ? 4 4 ??? ??? ? ? ? ? ? ? 3 ??? 1 ??? ??? ??? OP ? AB ? ( OA ? OB) ? (OB ? OA) 4 4 ??? ??? 3 ??? ??? 1 ??? ??? ? ? ? ? ? ? 1 ? OB ? OB ? OA ? OA ? OA ? OB 4 4 2 1 3 1 1 ? ? 22 ? ? 42 ? ? 4 ? 2 ? ? ?9 4 4 2 2
∴ OP ?

??? ?

17．解： （1） A ? ? x |1 ? x ? 7? , 当 a ? 4 时， B ? x | x ? 2 x ? 24 ? 0 ? x ? 4 ? x ? 6 ,
2

?

? ?

?

∴ A ? B ? ?1, 6 ? . （2） B ? x ( x ? a )( x ? a ? 2) ? 0 , ①当 a ? ?1 时， B ? ?, ? A ? B 不成立； ②当 a ? 2 ? ?a, 即 a ? ?1 时， B ? (?a, a ? 2),

?

?

??a ? 1 ? A ? B,? ? ，解得 a ? 5; ?a ? 2 ? 7
③当 a ? 2 ? ?a, 即 a ? ?1 时， B ? (a ? 2, ?a),

?a ? 2 ? 1 ? A ? B,? ? 解得 a ? ?7; ??a ? 7
综上，当 A ? B ，实数 a 的取值范围是 (??, ?7] ? [5, ??) . 18．解：⑴ 9 3 ?

3 1 x x， ( AD ? BC )h ，其中 AD ? BC ? 2 ? ? BC ? x ， h ? 2 2 2

1 3 18 x ∴ 9 3 ? (2 BC ? x) x ，得 BC ? ? ， 2 2 x 2
∴ y ? BC ? 2 x ? 分 ⑵ y?

? 3 x? 3 ?h ? ? 2 由? ，得 2 ? ? BC ? 18 ? x ? 0 ? x 2 ?

x?6

18 3x ? , (2 ? x ? 6) ； x 2

--------------------6

18 3x ? ? 10.5 得 3 ? x ? 4 ∵ [3, 4] ? [2,6) ∴ 腰 长 x 的 范 围 是 x 2

[3, 4]

--------------10 分 ⑶y?

18 3x 18 3x 18 3 x ? ?2 ? ?6 3， [) 2 当并且仅当 ， x ? 2 3 ?,6 即 ? x 2 x 2 x 2

时等号成立．

∴外周长的最小值为 6 3 米， 此时腰长为 2 3 米。 分

--------------------------------15

19． （本题满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 4 分，第 3 小题 8 分） 解：⑴ f ? ? x ? ? 3ax ? 2bx ? 3 ．…………………………………………………………2 分
2

根据题意，得 ?
3

? f ?1? ? ?2, ?a ? b ? 3 ? ?2, ?a ? 1 ? 即? 解得 ? ……………………3 分 ?3a ? 2b ? 3 ? 0, ?b ? 0 ? f ? ?1? ? 0, ?

所以 f ? x ? ? x ? 3x ．………………………………………………………………4 分
2 ⑵令 f ? ? x ? ? 0 ，即 3x ? 3 ? 0 ．得 x ? ?1 ．

x
f ?? x?

?2

? ?2, ?1?
+

?1

? ?1,1?
?

1

?1, 2 ?
+

2

f ? x?

?2

增

极大值

减

极小值

增

2

因为 f ? ?1? ? 2 ， f ?1? ? ?2 ， 所以当 x ? ? ?2, 2? 时， f ? x ?max ? 2 ， f ? x ?min ? ?2 ．………………………………6 分 则对于区间 ? ?2, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 ，都有

f ? x 1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? 4 ，所以 c ? 4 ．
所以 c 的最小值为 4．……………………………………………………………………8 分 ⑶因为点 M ? 2, m ?? m ? 2 ? 不在曲线 y ? f ? x ? 上，所以可设切点为 ? x0 , y0 ? ．

则 y0 ? x0 ? 3x0 ．
3
2 因为 f ? ? x0 ? ? 3x0 ? 3 ，所以切线的斜率为 3x0 ? 3 ．………………………………9 分

2

3 x0 ? 3 x0 ? m 则 3x ? 3 = ，………………………………………………………………11 分 x0 ? 2
2 0

即 2 x0 ? 6 x0 ? 6 ? m ? 0 ．
3 2

因为过点 M ? 2, m ?? m ? 2 ? 可作曲线 y ? f ? x ? 的三条切线， 所以方程 2 x0 ? 6 x0 ? 6 ? m ? 0 有三个不同的实数解．
3 2

所以函数 g ? x ? ? 2 x ? 6 x ? 6 ? m 有三个不同的零点．
3 2

则 g ? ? x ? ? 6 x ? 12 x ．令 g ? ? x ? ? 0 ，则 x ? 0 或 x ? 2 ．
2

x
g?? x?

? ??, 0 ?
+ 增

0

? 0, 2 ?
?

2

? 2, ?? ?
+

g ? x?
则?

极大值

减

极小值

增

? g ? 0? ? 0 ?6 ? m ? 0 ? ，即 ? ，解得 ?6 ? m ? 2 ．…………………………………16 分 g ? 2? ? 0 ? ?2 ? m ? 0 ? ?

20． （本题满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分）

1 ?3 ? 1 ? an ?1 2 ? an ?1 ? , ? n ? N * , 且n ? 2 ? ， 解：⑴因为 an ? f ? ?? 1 3 ? an ?1 ? 3? an ?1 2?

2 ．…………………………………………………………………………2 分 3 2 因为 a1 ? 1 ，所以数列 ?an ? 是以 1 为首项，公差为 的等差数列． 3 2n ? 1 所以 an ? ．…………………………………………………………………………4 分 3
所以 an ? an ?1 ? ⑵①当 n ? 2m, m ? N * 时，

Tn ? T2 m ? a1a2 ? a2 a3 ? a3a4 ? a4 a5 ? ??? ? ? ?1?

2 m ?1

a2 m a2 m ?1

? a2 ? a1 ? a3 ? ? a4 ? a3 ? a5 ? ? ??? ? a2 m ? a 2 m?1 ?a2 m?1 ?

??

4 4 a ?a 1 ? a2 ? a4 ? ? ? a2m ? ? ? ? 2 2m ? m ? ? ?8m2 ? 12m ? 3 3 2 9 1 ? ? ? 2n2 ? 6n ? ．…………………………………………………………………6 分 9

②当 n ? 2m ? 1, m ? N * 时，

Tn ? T2 m ?1 ? T2 m ? ? ?1?

2 m ?1

a2 m a2 m ?1

??

1 ?8m2 ? 12m ? ? 1 ?16m2 ? 16m ? 3? 9 9 1 1 ? ?8m2 ? 4m ? 3? ? ? 2n2 ? 6n ? 7 ? ．…………………………………………8 分 9 9

? 1 2 ?? 9 ? 2n ? 6n ? , n为偶数， ? 所以 Tn ? ? ? 1 ? 2n 2 ? 6n ? 7 ?，n为奇数 ?9 ?
只要使 ?

* 要使 Tn ? tn 对 n ? N 恒成立，
2

1 ? 2n2 ? 6n ? ? tn2 , (n为偶数)恒成立 ． 9
1? 9? 6? 5? ? ? ? ? t , 对n为偶数恒成立 ，故实数 t 的取值范围为 ? ? ?， ? ． 10 分 n? 9? ?

只要使 ? ? 2 ? ⑶由 an ?

2n ? 1 ，知数列 ?an ? 中每一项都不可能是偶数． 3

* ①如存在以 a1 为首项，公比 q 为 2 或 4 的数列 a n k ， k ? N ，

? ?

此时 a n k 中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以 a1 为首项，公比为偶数的数列

? ?

?a ? ．……………………………………………………………………………………12 分
nk

②当 q ? 1 时，显然不存在这样的数列 a n k ．
* 当 q ? 3 时，若存在以 a1 为首项，公比为 3 的数列 a n k ， k ? N ．

? ?

? ?

k ?1 则 an 1 ? 1 ， n1 ? 1 ， a n k ? 3 ?

2nk ? 1 3k ? 1 ， nk ? ． 2 3
3k ? 1 ．…………………………16 分 2

所以满足条件的数列 ?nk ? 的通项公式为 nk ?