柱、锥、台、球的结构特征
空间几何体的结构
识 图
图
画
简单几何体的结构特征
空 间 几 何 体
柱、锥、台、球的三视图 三视图 简单几何体的三视图 平面图形 平行投影 中心投影
直观图
斜二测画法 空间几何体
柱、锥、台、球的表面积与体积
概念 棱柱
多面体
柱 锥 台 球 旋转体
棱锥
性质 侧面积
棱台
体积
圆柱 圆锥 圆台 概念 结构特征 侧面积 体积
球
由上述几何体组合在一起形成的几何体称为简单组合体
棱柱 棱锥 棱台 圆柱 圆锥 圆台 球
棱柱
结构特征
有两个面互相平行，其 余各面都是四边形，并且 每相邻两个四边形的公共 边都互相平行，由这些面 围成的多面体。
E’ F’ A’
D’ B’
C’
底 面
E
侧棱
D
C B
F A
侧面
顶点
注意：有两个面互相平行，其余各面都是 平行四边形的几何体一定是棱柱吗？
答：不一定是．如图所示，不是棱柱．
棱柱的性质
1.侧棱都相等，侧面都是平 行四边形； 2.两个底面与平行于底面的 截面都是全等的多边形； 3.平行于侧棱的截面都是平 行四边形；
棱柱的分类
1、按侧棱是否和底面垂直分类： 棱柱 斜棱柱 2、按底面多边形边数分类： 三棱柱、四棱柱、 五棱柱、· · · · · ·
直棱柱
正棱柱 其它直棱柱
棱柱的分类
按 边 数 分
三棱柱
按侧 棱是 否与 底面 垂直 分
四棱柱
五棱柱
斜棱柱
直棱柱
正棱柱
几种六面体的关系：
底面变为 平行四边形 侧棱与底面 垂直
四棱柱
平行六面体
直平行六面体
底面是
底面为
侧棱与底面 边长相等
矩形
正方形
长方体
正四棱柱
正方体
棱锥
顶点 S
结构特征
有一个面是 多边形，其余各 面都是有一个公 共顶点的三角形。
侧面
C
D B
A
棱锥的分类
按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱 锥、五棱锥、……
S
A B D
C
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的 射影是底面中心的棱锥。
【知识梳理】 棱锥
1、定义： 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的 三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥。 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面 的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2、性质 Ⅰ、正棱锥的性质 (1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。 (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直 角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也 组成一个直角三角形。
正棱锥性质2
棱锥的高、斜高和斜高在 底面的射影组成一个直角 三角形。棱锥的高、侧棱 和侧棱在底面的射影组成 一个直角三角形
Rt⊿ PEO Rt⊿ POB Rt⊿ PEB Rt⊿ BEO
棱台由棱锥截得而成，所以在棱台中也有类 似的直角梯形。
棱台
结构特征
D’ C’ B’ C
用一个平行于棱锥 底面的平面去截棱锥,底 面与截面之间的部分是 棱台.
D A’
A
B
圆柱
结构特征
以矩形的一边所在直 线为旋转轴,其余三边旋转 形成的曲面所围成的几何 体叫做圆柱。
母 线
A’
O’
B’ B’
轴 侧 面
A
O B
底面
圆锥
顶点 S 母 线 轴 侧 面
结构特征
以直角三角形的一条 直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面 所围成的几何体叫做圆锥。
A
O
B
底面
圆台
结构特征
用一个平行于圆 锥底面的平面去截圆 锥,底面与截面之间的 部分是圆台.
O’ O
球
结构特征
以半圆的直径所 在直线为旋转轴,半 圆面旋转一周形成的 旋转体.
半径 O 球心
归纳小结
棱柱
多面体
棱锥
柱体
棱台
圆柱 圆锥 圆台 球
锥体 台体
旋转体
课前热身
1.设棱锥的底面面积为8cm2，那么这个棱锥的中截面 (过棱锥的中点且平行于底面的截面)的面积是( C ) (A)4cm2 (C)2cm2 (B) (D) cm2
2 2
2 cm2
2.若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积 是底面面积的四分之一，则锥体被截面截得的一个小 锥与原棱锥体积之比为( (A)1 : 4
C
)
(B) 1 : 3
(C) 1 : 8
(D) 1 : 7
3.上、下底面积分别为36Л 和49Л ，母线长为
5的圆台，其两底面之间的距离为
2 6
能力·思维·方法
1.已知正三棱台上底面边长为 3，下底面边长为6，侧 棱长为2， （1）求这个正三棱台的斜高； （2）求这个正三棱台的高。
【解题回顾】截取恰当的平面图形是解题的关键，与 三视图的本质思想是一致的。
对于棱柱、棱锥、棱台要理解其结构特征，严格 辨析所给几何体的类别；同时也要注意分析棱柱、 棱锥、棱台的诸元素如底面、侧棱、侧面的特点， 辨析所给命题的真假。
圆柱、圆锥、圆台、球都是以旋转的角度定义的， 处理旋转体的有关问题一般要过轴作出其轴截面， 在轴截面中寻找各元素的关系，从而把问题转化 在平面图形中解决。
借助平面图形，求解立体几何问题是常用的解题 方法之一。
画直观图的方法：斜二侧法
1、画水平放置的正六边形的直观图.
y
F M E
y′
A' B'
F' M'
O′
E'
D'
A
O
D
x
x′
N'
C'
B
N
C
规则：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交 于点O.画直观图时,把它们画成对应的 x'轴和 y'轴,两 轴相交于O,且使?x' o' y' ? 450 ?或1350 ? ,它们确定的平 面表示水平面；
（2）已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观 图中分别画成平行于 x' 或轴 y' 轴的线段； （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中 保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的 一半
2、画水平放置的圆的直观图.
y
C E G
y′
C'
E'
A
O
B
x
A'
O′
D'
B'
x′
F'
D FH
3、画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的
长方体的直观图.
D1
z
C1
y
A1 D M A P Q
B1 C N B
o
x
4、已知几何体的三视图如下，画出它的直观图.
p
p
. 正视图 . O .p .
O′
. 侧视图 . O
O′
.
俯视图
z
y′
y
O′
x′
o
x
.p . .
o
O′
课前热身 1.一平面图形的直观图如图所示，它原来的面积是 （ ）
A. 4
B.
4 2
C.
y’
2 2 D.8
B 2
o’
2
A
x’
能力· 思维· 方法 2.如图所示， △ABC的直观图△A’B’C’,这里△A’B’ C’ 是边长为2的正三角形，作出△ABC的平面图 ，并求 △ABC的面积.
A’
y’
B’
O’
C’
x’
课堂小结：
画水平放置的平面图形的步骤为： 画轴、取点、成图。
在已知图形中平行于x轴和z轴的 线段，在直观图中保持长度不变； 平行于y轴的线段，长度为原来 的一半
三视图属于新课标的内容，经常通过两种题 型进行考查空间想象能力：由几何体研究三视图
和通过三视图研究原几何体的性质。而提高空间
想象能力的方法之一就是熟悉常见几何体的三视
图，因为熟能生巧.
2.平行投影法 投影线相互平行的投影法. （1）斜投影法 投影线倾斜于投影面的平行投影法称为斜投影法. （2）正投影法 投影线垂直于投影面的平行投影法称为正投影法.
斜 投 影 法
a c b
A
C B
A C
B
a b
正 投 影 法
c
平行投影法
三视图的形成原理
正 投 影
有关概念
物体向投影面投影所得 到的图形称为视图。
如果物体向三个互相垂直 的投影面分别投影，所得到 的三个图形摊平在一个平面 上，则就是三视图。
三视图的形成
正视图 侧视图
俯视图
正 视 图
高
高 宽
长
长 宽
侧视图
?长对正,
展 开 图
?高平齐,
俯视图
?宽相等.
三视图的作图步骤
俯视图方向 1.确定视图方向 2.先画出能反映物体 真实形状的一个视图 侧视图方向
4.运用长对正、高平 齐、宽相等的原则画 出其它视图 5.检查,加深, 加粗。
正视图方向
例1：下面是用小正方体搭建成的一个几何体， 请画出它的三视图。
正视图
侧视图
侧视图 从左向右 侧面投影
水 平从俯 面上视 投面图 影向
俯视图
正视图
侧视图
高
长
?长对正, ?高平齐, ?宽相等.
俯视图
宽
总结
(1)一般几何体，投影各顶点,连接。
画三视图： (2)常见几何体,熟悉。
三视图中，
两个三角形， 一般为锥体 两个矩形， 一般为柱体 两个梯形， 一般为台体 两个圆， 一般为球
练习1：
正三棱柱的侧棱为2，底面是边长为2
的正三角形，则侧视图的面积为（ B ）
A.
4
B. 2
3
C. 2
2
D.
3
2
3
侧视图 正视图
3
2
例 2：
一个长方体去掉一角的直观图如图所示。
关于它的三视图，画法正确的是（ A ） A.它的正视图是 B.它的正视图是 C.它的侧视图是 几何体投影的方法： D.它的俯视图是 投影各顶点,连接。
练习2： 将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是
三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按
图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）
H B A
Q
G C I
A
侧视 B
C
E
图1
P
D F
E
图2
D F
B
B
B
B
E A．
E B．
E C．
E D．
(1)如图是一个空间几何体 练习3： 的三视图，如果直角三角形的直角边 长均为1，那么几何体的体积为( C )
正视图
侧视图
A ．1
1 B． 2
C． 1
1 D． 6
俯视图
3
1 1 1 V ? S 底 h ? ? 1?1?1 ? 3 3 3
1 1
1
(2)已知某个几何体的三视图如图2，根据图中标出的尺寸 8000 3 （单位：cm），可得这个几何体的体积是________. cm 3
20
主视图
10 10
20
侧视图
20
俯视图
20
小结
拓展
? ? ? ? ? ? ? ?
三视图 正视图——从正面看到的图 侧视图——从左面看到的图 俯视图——从上面看到的图 画物体的三视图时,要符合如下原则: 位置：正视图 侧视图 俯视图 大小：长对正,高平齐,宽相等.