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安徽省合肥市高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点教案 新人教A版必修1


方程的根与函数的零点

教学目标: 1. 知识与技能 ①理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程要的 关系,掌握零点存在的判定条件. ②培养学生的观察能力. ③培养学生的抽象概括能力. 2. 过程与方法 ①通过观察二次函数图象,并计算函数在区间端点上的函数值之积的特 点,找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法. ②让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感、态度与价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值.

修改与创 新

教学重点:零点的概念及存在性的判定. 教学难点:零点的确定.

教学用具:投影仪

教学方法:学生在老师的引导下,通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和 概括,从而完成本节课的教学目标。

教学过程: (一)创设情景,揭示课题

1、提出问题:一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系?

2.先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象:

(用投影仪给出)

①方程 x2 ? 2x ? 3 ? 0 与函数 y ? x2 ? 2x ? 3

②方程 x2 ? 2x ?1 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2x ? 1

③方程 x2 ? 2x ? 3 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2x ? 3

1.师:引导学生解方程,画函数图象,分析方程的根与图象和 x 轴交点坐标
的关系,引出零点的概念. 生:独立思考完成解答,观察、思考、总结、概括得出结论,并进行交流. 师:上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样?
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(二) 互动交流 研讨新知 函数零点的概念:
对 于 函 数 y ? f (x)(x ? D) , 把 使 f (x) ? 0 成 立 的 实 数 x 叫 做 函 数
y ? f (x)(x ? D)的零点.
函数零点的意义:
函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f (x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标.
即:
方 程 f (x) ? 0 有 实 数 根 ? 函 数 y ? f (x) 的 图 象 与 x 轴 有 交 点 ? 函 数
y ? f (x) 有零点.
函数零点的求法:
求函数 y ? f (x) 的零点:
①(代数法)求方程 f (x) ? 0 的实数根;
②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f (x) 的
图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
1.师:引导学生仔细体会左边的这段文字,感悟其中的思想方法. 生:认真理解函数零点的意义,并根据函数零点的意义探索其求法: ①代数法; ②几何法.
2.根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况,并进行交流,总结概 括形成结论.
二次函数的零点:
二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) .
(1)△>0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴
有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根),二次函数的图 象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,
二次函数无零点. 3.零点存在性的探索:
2
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(Ⅰ)观察二次函数 f (x) ? x 2 ? 2x ? 3 的图象: ① 在区间[?2,1] 上有零点______; f (?2) ? _______, f (1) ? _______, f (?2) · f (1) _____0(<或>=). ② 在区间[2,4] 上有零点______; f (2) · f (4) ____0(<或>=).
(Ⅱ)观察下面函数 y ? f (x) 的图象
① 在区间[a,b] 上______(有/无)零点; f (a) · f (b) _____0(<或>=).
② 在区间[b, c] 上______(有/无)零点; f (b) · f (c) _____0(<或>=).
③ 在区间[c, d ] 上______(有/无)零点; f (c) · f (d ) _____0(<或>=).
由以上两步探索,你可以得出什么样的结论? 怎样利用函数零点存在性定理,断定函数在某给定区间上是否存在零点? 4.生:分析函数,按提示探索,完成解答,并认真思考. 师:引导学生结合函数图象,分析函数在区间端点上的函数值的符号情况,与 函数零点是否存在之间的关系. 生:结合函数图象,思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件,并进行 交流、评析.
师:引导学生理解函数零点存在定理,分析其中各条件的作用. (三)、巩固深化,发展思维
1.学生在教师指导下完成下列例题 例1. 求函数 f(x)=㏑ x+2x -6 的零点个数。
(1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数?12999 . c o m
3
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(2)判断函数的单调性,由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性?
例 2.求函数 y ? x3 ? 2x 2 ? x ? 2 ,并画出它的大致图象.
师:引导学生探索判断函数零点的方法,指出可以借助计算机或计算器 来画函数的图象,结合图象对函数有一个零点形成直观的认识.
生:借助计算机或计算器画出函数的图象,结合图象确定零点所在的区 间,然后利用函数单调性判断零点的个数.
2.练习第 1,2 题 (四)、归纳整理,整体认识
1. 请学生回顾本节课所学知识内容有哪些,所涉及到的主要数学思想又 有哪些;
2. 在本节课的学习过程中,还有哪些不太明白的地方,请向老师提出。 (五)、布置作业:
教学反思:
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