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幂函数复习课教学设计


《高三第一轮总复习

幂函数》教学设计

一、指导思想与理论依据: 本节课为高三第一轮总复习课,高考大纲对本节的要求为: 1、了解幂函 数的概念。2、结合函数 y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 , y ? 化情况。 二、教学背景 1、教材分析: 幂函数是北师大版数学(必修 1)第二章第五节的内容。高考大纲对本节的 要求为: 1、了解幂函数的概念。2、结合函数 y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 , y ?
1 , y ? x2 x
1

1 , y ? x 2 的图像,了解它们的变 x

1

的图像,了解它们的变化情况。根据对考纲及近年来高考真题、模拟题的分析, 对本节内容的复习定位在了解幂函数的概念,熟悉五个常用幂函数的图像及性 质,并以此为基础,了解幂函数图像性质的变化情况。 2、学生情况分析 通过新课学习, 学生已经了解了幂函数的基本概念、 性质和图象, 但实际上, 本节内容为学生学习函数这一章的一个薄弱点。因此,对本节内容进行复习时着 重强调幂函数与指数函数的区别,熟练掌握五个常用幂函数的图像及性质,适当 扩展,总结幂函数图像及性质的规律。该内容安排两课时。 三、教学目标 1.进一步巩固幂函数的图像与性质。 2.利用幂函数的图像与性质解决有关问题。 3、在学习过程中充分体会及应用数形结合、类比的思想。 四、重点与难点 重点: 幂函数的图像与性质的应用. 难点: 幂函数的图像与性质的应用。 本课的重点、难点是幂函数的图像与性质的应用。考纲中对幂函数的要求着 重放在熟练掌握图像和性质上,会简单应用。在教学中,设计环节,鼓励学生多

动手,要求学生画出图像并填写函数性质表,同时辅以适量练习,对典型例题重 点讲解,讲解后立即进行变式训练,以达到巩固基础,突破重难点的教学目标。 五、教学方法 少教多练,学案引导,自学与小组讨论相结合,典例与变式训练相结合的方 法。激发学生积极性,引导学生多动手,将目标落实在“学生学会”上。 六、教学过程 一、幂函数的定义
一般地,形如 y= x ? (? ? R) 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数. 注意:指数函数与幂函数的区别。

二、函数的图像和性质 请同学们在同一坐标系中,画出函数 y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 , y ? 像。
1 , y ? x 2 的图 x
1

展示,纠正图像。 请同学们依照图像,完成函数性质表格。 1、观察图像完成下列表格
y?x

y ? x2

y ? x3

y ? x2

1

y ? x ?1

定义域 值域

奇偶性 单调性

定点 2、幂函数 y

?x

?

,( ? =

?

m ? m 1 m n n )的图像( x ? x x n ? n m ) n x

m

? ?1

0 ?? ?1

? ?0

m,n 同奇

m偶n奇

n偶m奇

三. 【典例剖析】 例 1.已知函数 f ? x ? ? ? m 2 ? m ? 1? x ?5 m?3 ,当 m 为何值时, f ? x ? (1)是幂函数; (2)是幂函数,且是 ? 0, ?? ? 上的增函数;

(3)是正比例函数; (4)是反比例函数. 解:(1)因 f(x)是幂函数,故

m2-m-1=1,即 m2-m-2=0,
解得 m=2 或 m=-1. (2)若 f(x)是幂函数且又是(0,+∞)上的增函数, ?m -m-1=1 则? ?-5m-3>0
2

,∴m=-1.

(3)若 f(x)是正比例函数,则-5m-3=1, 4 解得 m=- , 5 4 此时 m2-m-1≠0,故 m=- . 5 (4)若 f(x)是反比例函数,则-5m-3=-1, 2 2 则 m=- ,此时 m2-m-1≠0,故 m=- . 5 5 (5)若 f(x)是二次函数,则-5m-3=2, 即 m=-1,此时 m2-m-1≠0,故 m=-1. 综上所述,当 m=2 或 m=-1 时,f(x)是幂函数; 当 m=-1 时,f(x)既是幂函数,又是(0,+∞)上的增函数; 4 当 m=- 时,f(x)是正比例函数; 5 2 当 m=- 时,f(x)是反比例函数; 5 当 m=-1 时,f(x)是二次函数. 变式训练 1 : 已知 f(x)=(m2+2m)x (1)正比例函数;
m 2 ? m ?1

,m 为何值时,f(x)是 (3)幂函数.

(2)反比例函数;

(学生自己完成,请学生展示)

例 2.比较下列各组值的大小:
? ? ? 1 ?3 (1) ? 8 和 ? ? ? ; (2)4.15 、 3.8 5 和(?1.9) 5 ; ?9? ? 1 3 1 2 2 3

(分析题意,学生小组讨论完成) 变式训练 2:比较下列各组值的大小: (1) 1.5 和1.7 (2) 0.5 和3 (学生自己完成,请学生展示) 例 3.已知幂函数 f(x)=
1 2 1 2

3

0.5

xm

2

?2 m?3

( m ? N ? )的图像关于 y 轴对称,且在
? m 3

(0,+∞)上是减函数,求满足 (a ? 1)

? (3 ? 2a)

?

m 3



a 的取值范围.

(分析题意,学生小组讨论,教师展示解题过程)

课堂小结: 1、幂函数 y=xα (α ∈R),其中α 为常数,其本质特征是以幂的底 x 为自变量, 指数α 为常数,这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准.应 当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数,如 y=x+1,y=x2- 2x 等都不是幂函数.
2.解有关幂函数的问题时,常常需要利用其图像。作幂函数的图像要联系函数的定义域、 值域、单调性、奇偶性等,只要作出幂函数在第一象限内的图像,然后根据它的奇偶性 就可作出幂函数在定义域内完整的图像。

【同步练习】 1. (2013 年陕西模拟)函数 f ?x? ? m2 ? m ? 1 x m 是幂函数,且在 ?0,??? 上为增 函数,则实数 m 的值是 2. 下列函数在 ? ??,0 ? 上为减函数的是( A. y ? x
1 3

?

?

。 ) D. y ? x ?2 ) B. (-∞,0) ? (2,+∞) D. (0,2)

B. y ? x2
2

C. y ? x3

3. 函数 y=(x -2x) A.{x|x≠0 或 x≠2}



1 2

的定义域是(

C. (-∞,0] ? 【2,+∞) 4. 比较下列各组中两个数的大小:

(1) 1.5 , 1.7 ; (2)0.7 ,0.6 ; (3) (- 1.2)

3 5

3 5

1.5

1.5

2 - 3

, (- 1.25)



2 3



七、板书设计 学生展示:变式训练 1 教师展示: 指数函数与幂函 数的区别 PPT 展示

PPT 展示

学生展示:变式训练 2

教师展示:例 3

八、教学反思 本节课中,利用学案做教学辅助,引导学生自主完成相关内容,调动了学生 的积极性,同时为课堂节省时间,体现高效;在教学环节中,注重培养学生数形 结合的思想,鼓励学生多画图,多动手;在题型讲解中,注意典例与变式训练的 配套、结合,便于学生掌握,有效巩固学习成果,另外,对于例题,教师在引导 学生思考、给出题目分析后,放手让学生完成,体现学生自主学习的教学思路, 同时将教学目标落在实处,真正达到让“学生学会”的目的;在同步练习中,加 入了往年高考模拟题,体现了与高考接轨的教学思路。 本节课的不足之处有:1、教师讲授过多,可以放手让学生总结相关知识点, 不到位之处,可以采用其他学生补充或教师补充的方法;2、对幂函数图像与性 质总结表格花费时间过多,可九幅图一起给出,直接总结图像规律。 在以后的教学中,可以尝试“提问式”教学设计,利用问题、创设教学环境, 引导学生学习。

附:导学案

2.4 幂函数

学习目标:1.进一步巩固幂函数的图像与性质, 2.利用幂函数的图像与性质解决有关问题. 学习重点: 幂函数的图像与性质的应用. 学习难点: 幂函数的图像与性质的应用。 教学过程: 一、幂函数的定义
一般地,形如 y= 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数.

二、函数的图像和性质

1、观察图像完成下列表格
y?x

y ? x2

y ? x3

y?x

1 2

y ? x ?1

定义域 值域 奇偶性 单调性

定点

2、幂函数 y

?x

?

,( ? =

?

m ? m 1 m n n n x ? x x ? )的图像( ) n n xm

m

? ?1

0 ?? ?1

? ?0

m,n 同奇

m偶n奇

n偶m奇

三. 【典例剖析】 例 1.已知函数 f ? x ? ? ? m 2 ? m ? 1? x ?5 m?3 ,当 m 为何值时, f ? x ? (1)是幂函数; (2)是幂函数,且是 ? 0, ?? ? 上的增函数;

(3)是正比例函数; (4)是反比例函数.

变式训练 1 : 已知 f(x)=(m2+2m)x (1)正比例函数;
m 2 ? m ?1

,m 为何值时,f(x)是 (3)幂函数.

(2)反比例函数;

例 2.比较下列各组值的大小:
? ? ? 1 ?3 (1) ? 8 和 ? ? ? ; (2)4.15 、 3.8 5 和(?1.9) 5 ; ?9? ? 1 3 1 2 2 3

变式训练 2:比较下列各组值的大小: (1) 1.5
1 2

和1.7

1 2

(2) 0.5

3

和30.5

例 3.已知幂函数 f(x)=

xm

2

?2 m?3

( m ? N ? )的图像关于 y 轴对称,且在
? m 3

(0,+∞)上是减函数,求满足 (a ? 1)

? (3 ? 2a)

?

m 3



a 的取值范围.

【同步练习】 1. (2013 年陕西模拟)函数 f ?x? ? m2 ? m ? 1 x m 是幂函数,且在 ?0,??? 上为增 函数,则实数 m 的值是 2. 下列函数在 ? ??,0 ? 上为减函数的是( A. y ? x
1 3

?

?

。 ) D. y ? x ?2 ) B. (-∞,0) ? (2,+∞) D. (0,2)

B. y ? x2
2

C. y ? x3

3. 函数 y=(x -2x) A.{x|x≠0 或 x≠2}



1 2

的定义域是(

C. (-∞,0] ? 【2,+∞) 4. 比较下列各组中两个数的大小:

(1) 1.5 , 1.7 ; (2)0.7 ,0.6 ; (3) (- 1.2)

3 5

3 5

1.5

1.5

2 - 3

, (- 1.25)



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