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1.2.2函数的表示法习题课_图文


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集合与函数概念

1.2 1.2.2

函数及其表示 函数的表示法

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1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当
的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 2.了解简单的分段函数,并能简单应用.

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基础梳理 1.常用的函数表示法 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式 来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式; (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关

系.
例如:毛笔每支2元,可用于购买的钱有8元,设购买的 支数为x(支),对应的购买费用为y(元),用三种方式表示y关 于x的函数关系式.

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解析:解析法:y=2x(x=0,1,2,3,4); 列表法:

x
y 图象法:

0
0

1
2

2
4

3
6

4
8

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2.分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区

间的解析式不同,这种函数又称分段函数.

?1?x>0? 1 例如:y= ?0?x=0? ,则f(5)=________. ? ?-1?x<0? ?
3.不是所有函数都能有明确的规律,此时常常用表格 或图象表示. 例如:2011年7月19日9∶30~15∶00春兰股份的价格走 不能 势图如下,能用解析式表示吗?________________. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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◆数学?必修1?(配人教A版)◆ x 4.若f(x)= ,则f(-3)等于( A ) 1-x 3 3 A.- B.- 2 4 3 3 C. D.± 4 2
5.一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一 个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在 集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f: A→B为从集合A到集合B的一个映射.记作“f:A→B”. 例如:已知对应f:A→B,A、B均为实数集,对应法 是 则为“平方”,这个对应是映射吗?________.

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思考应用 1.判断一个图象是不是函数的图象的依据是什么? 解析:曲线C是函数y=f(x)的图象必须满足. (1)图象上任一点的坐标(x,y)满足关系y=f(x); (2)满足关系y=f(x)的解为坐标的点 (x,y)都在曲线 上. 2.若A={a,b},B={e,f},由集合A到集合B可以 构成多少个不同的映射?若A中有2个元素,B中有n个元素, 那么从集合A到集合B可构成多少个映射? (1)4 (2)n2 金品质?高追求 我们让你更放心!

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3.如何求分段函数的值域?怎样作分段函数的图象? 解析:首先确定自变量值所在的定义区间,然后按相应 的对应关系分别求函数值,最后求各段函数取值集合的并集,

作分段函数的图象时,分段分别作出其图象,特别要注意端点
的取舍.

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自测自评
?x2+2?x≤2?, ? 18 1.设函数f(x)= ? 则f(-4)=________,又 ?2x?x>2?, ?

知f(x0)=8,则x0=________. 4或- 6
2.给定映射f:(x,y)→(

x

,x+y),若f:(a,

?1 1? ? ,- ? b)→(2,3),则函数f(x)=ax2+bx的顶点坐标是________. 16? ?8

3.下列四种说法正确的一个是( C ) A.f(x)表示的是含有x的代数式 B.函数的值域也就是其定义中的数集B C.函数是一种特殊的映射

D.映射是一种特殊的函数 金品质?高追求 我们让你更放心!

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◆数学?必修1?(配人教A版)◆ 4.判断下列对应是否是集合A到集合B的映射:
(1)A={1,3,5,7},B={2,6,10,14},对应关系是:“乘

2”;(

)
(2)A={三角形},B={圆},对应关系是:“对于每

一个三角形,作它的外接圆”;(

)

(3)A=R,B={y︱y≥0},对应关系是:“对于A中元 素x,取4-x2”;( ) )

(4)A=B=N+,对应法则f:x→y=︱x-3︱.(

是;是;否; 否
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函数的图象问题
?3-x2,x∈[-1,2], 已知函数f(x)= ? 在给定的 ? ?x-3,x∈?2,5]. ?

直角坐标系内画出f(x)的图象.

解析:分两段画出的函数图象如下:

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跟踪训练 1.画出下列两个函数的图象:
? (1)f(x)= ?0 x<1 ; ? ? ?x x≥1

(2)g(x)=x|x-2|, x∈R. 解析:(1)f(x)的图象如下图所示

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?x2-2x,x≥2 ? (2)g(x)=x|x-2|=? 2 ?2x-x ,x<2 ? ??x-1?2-1,x≥2 ? =? 2 ?-?x-1? +1,x<2 ?

图象如下图所示

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求函数的解析式 求下列函数的解析式: (1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x); (2)若f(x)是二次函数,且f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求 f(x).

解析:(1)法一:∵f(x+1)=(x+1)2-5(x+1)+6,
∴f(x)=x2-5x+6.

法二:令t=x+1,则x=t-1,
∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6. ∴f(x)=x2-5x+6. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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(2)∵f(x)是二次函数,设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由f(0)=1,得c=1,由f(x+1)-f(x)=2x,得

a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
整理得2ax+a+b=2x.
?2a=2 ?a=1 ? ? ∴? ?? . ?a+b=0 ?b=-1 ? ?

∴f(x)=x2-x+1. 点评:若能根据题目特征分析函数解析式的类型,可 运用待定系数法. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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跟踪训练

2.求下列函数的解析式: x+1? x2+1 1 ? (1)已知f = 2 + ,求f(x); x x x ? ? (2)已知3f(x)+2f(-x)=x+3,求f(x).
x+1 1 解析:(1)设 =t,则x= ,t≠1, x t-1 ?x+1?=1+ 12+1 则f(t)=f x x ? x ? =1+(t-1)2+(t-1)=t2-t+1. ∴f(x)=x2-x+1(x≠1). (2)∵3f(x)+2f(-x)=x+3① ∴3f(-x)+2f(x)=-x+3② 3 由①②可知f(x)=x+ . 5

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实际问题中的函数问题 国内投寄信函(外埠),假设每封信函不超过20 g付邮资120分,超过20 g而不超过40 g付邮资240分,依此 类推,每封x g(0<x≤100)的信函应付邮资为y(单位:分), 写出y=f(x)的表达式. 解析:依题意将其写成分段函数如下:

?240?20<x≤40? ? f(x)=?360?40<x≤60? 480?60<x≤80? ?600?80<x≤100? ?
120?0<x≤20?

.

点评:解决此类问题的关键是根据实际问题情境恰当 选择函数的表示形式. 返回 金品质?高追求 我们让你更放心!

◆数学?必修1?(配人教A版)◆ 跟踪训练 3.动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经 过B、C、D再回到A;设x表示P点的行程,y表示PA的长,求 y关于x的函数解析式.
解析:显然当P的AB上时,PA=x; 当P在BC上时,PA= 1+?x-1?2; 当P在CD上时,PA= 1+?3-x?2; 当P在DA上时,PA=4-x, 写成分段函数的形式为:

? ? 1+?x-1? ,?1≤x<2? y=? 1+?3-x? ,?2≤x<3? ?4-x,?3≤x≤4? ?
x,?0≤x<1?
2 3

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映射的概念 判断下列对应是不是从A到B的映射: (1)A=R,B=(0,+∞),f:x→x2; (2)A=N,B=N,f:x→

x2-4x+4.

解析:(1)∵A中的元素0到B中无元素与之对应. ∴不是映射. (2)对应法则为f:x→|x-2|,对A中任意元素总有B中唯 一元素与之对应.∴是A到B的映射. 点评:判断一个对应是不是映射,要紧扣映射的定义, 特别是定义中的关键词语“任何”、“都有”、“唯一”等, 并能正确地理解它们. 返回 金品质?高追求 我们让你更放心!

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跟踪训练 4.设集合A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f:A→B

满足f(a)-f(b)=f(c),求映射f:A→B的个数.
解析:(1)当A中的三个元素都对应0时,则 f(a)-f(b)=0-0=0=f(c)有1种映射;

(2)当A中的三个元素对应B中的两个时,
满足f(a)-f(b)=f(c)的有4个映射. 即1-1=0,1-0=1,(-1)-(-1)=0,(-1)-0=-1. (3)当A中的三个元素对应B中的三个元素时,有2种映射, 即0-1=-1,0-(-1)=1,因此共有7种映射满足f(a)-f(b)= f(c). 金品质?高追求 我们让你更放心!

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一、选择填空题 1.y与x成反比,且当x=2时,y=1,则y关于x的函 数关系式为( )
1 A.y= x 2 C.y= x 1 B.y=- x 2 D.y=- x

k k 解析:∵y= ,∴1= ,k=2, x 2 2 ∴y= . x 答案:C

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2.若f(x+1)=2x+3,则f(3)的大小为( A.9 C.11 B.7 D.12 )

解析:取x=2,则由f(x+1)=2x+3,
得f(3)=7.

答案:B

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1.常用的函数表示法有:解析法:就是把两个变量的 函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析 表达式,简称解析式;列表法:就是列出表格来表示两个 变量的函数关系;图象法:就是用函数图象表示两个变量 之间的关系. 2.不同表示法有时侯可以转化. 3.分段函数是解析法的重要表达方式,且理解难度较 大,必须重点学习. 4.常规函数如正比例函数、反比例函数、一次函数、 二次函数常使用待定系数法求表达式.

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