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数列复习基本知识点总结彩板(经典)


数列复习基本知识点及经典结论总结
递推关系式: 已知数列 ?a n? 的第一项(或前几项) ,且任何一项 a 与它的前一项 a (前 n 项)间的关系可以用一个式子 n n ?1 来表示,则这个式子就叫数列的递推关系式。
?s , (n ? 1) ? 1 已知 s n 求 a n 的方法:即利用公式 a = ? n ?s ? s , (n ? 2) n ?1 ? n

注意:一定不要忘记对 n 取值的讨论!最后,还应检验当 n=1 的情况是否符合当 n ? 2 的关系式,从而决定能否 将其合并。 等差数列的判断方法: ①定义法: a n ? 1 ? an ? d (常数) ? ?a n?为等差数列。 ②中项法: 2 a n ?1?a n ? a n ? 2 ? ?a n?为等差数列。 ③通项公式法: a n ? an ? b (a,b 为常数) ? ?a n?为等差数列。 ④前 n 项和公式法: s n ? A n 2 ? Bn (A,B 为常数) ? ?a n?为等差数列。 如设 {an } 是等差数列,求证:以 bn= 求等差数列的通项 等差数列的前 n 和

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? N * 为通项公式的数列 {bn } 为等差数列。 n

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d , S n ? na1 ? 2 2
d

d ? A n 2 ? Bn 公式变形为: s n ,其中 A= 2 ,B= a 1 ? . 2
注意:已知 n,d, 等差中项 提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 d 称作为基本元 素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为?, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ? (公差为 d ) ;偶数个数成等差,可设为?, a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(公差为 2 d ) 等差数列的性质 (1)当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公差 d ;

a1 , a n , s n 中的三者可以求另两者,即所谓的“知三求二”。

A?

a?b 2

前 n 和 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2 2 2

(2)对称性:若 ?a n?是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和. 当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p . (3) 项数成等差,则相应的项也成等差数列.即 a k , a k ? m , a k ? 2m ,...( k , m? N *) 成等差. 若 {an } 、 {bn } 是 等 差 数 列 , 则 {kan } 、 {kan ? pbn } ( k 、 p 是 非 零 常 数 ) 、 {ap?nq }( p, q ? N * ) 、

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也成等差数列,而 {a an } 成等比数列;
若 {an } 是等比数列,且 an ? 0 ,则 {lg an } 是等差数列. (4)奇偶性 在等差数列 {an } 中, 当项数为偶数 2 n 时,

s n ? n(a n ? a n ?1) ; s 偶? s 奇 ? nd , s 2n ?1?(2n ?1) a n ; s 偶? s 奇? ? a1

s 偶 a n ?1 . ? s 奇 an


项数为奇数 2n ? 1 时,

s 偶 n ?1 。 ? s奇 n

(5)单调性:设 d 为等差数列 ?a n?的公差,则 d>0 ? ?a n?是递增数列; d<0 ? ?a n?是递减数列; d=0 ? ?a n?是常数数列. 已知 ?a n?成等差数列,求 s n 的最值问题:

an ① 若 a1 ? 0 ,d<0 且满足 ? ?
?

?

? 0,

? ?an ?1 ? 0

,则 s n 最大;

an ? 0, ,则 s 最小. ②若 a1 ? 0 ,d>0 且满足 ? ? n
? ?a n ?1 ? 0

“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小 值是所有非正项之和。
an ? 0 ? ?an ? 0 ? 确定出前多少项为非负(或非正) 法一:由不等式组 ? ; ? 或? ? ? ? ?an ?1 ? 0? ? ?an ?1 ? 0 ?

法二:因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 n ? N 。
*

(9)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两 等差数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究 an ? bm .

等比数列的判断方法:定义法

an ?1 a a ,其中 q ? 0, an ? 0 或 n?1 ? n ? q(q为常数) an an an?1

(n ? 2) 。 求等比数列的通项
等比数列的前 n 和 当 q ? 1 时, Sn ? na1 ; 当 q ? 1 时, Sn ?

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 。 1? q 1? q

特别提醒:等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首先要判断公比 q 是否为 1,再由

q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 q 是否为 1 时,要对 q 分 q ? 1 和 q ? 1 两种情形讨论求解。
等比中项 G= ? ab .

提醒:不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个 ? ab 。 提醒: (1)等比数列的通项公式及前 n 项和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 q 称作为 基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2; (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为?,

a a , , a, aq, aq 2 ?(公比为 q ) ; q2 q

但偶数个数成等比时,不能设为?

a a , , aq, aq3 ,?,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为 3 q q

q2 。
等比数列的性质 + 在等比数列 {an } 中,当项数为偶数 2 n 时, S偶 ? qS奇 ;项数为奇数 2n ? 1 时, S奇 ? a1 ? qS偶 .


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