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高一数学同步练习检测 2-1、2-2 《对函数的进一步认识》 北师大版必修1


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2-1、2-2 对函数的进一步认识基 础 巩 固
一、选择题 1.下列图形是函数 y=-|x|(x∈[-2,2])的图像的是( )

[答案] B

[解析] y=-|x|=???x-x-2≤xx≤2

中,y=-x(0≤x≤2)是直线 y=-x 上满

足 0≤x≤2 的一条线段(包括端点),y=x 是直线 y=x 上满足-2≤x<0 的一条线段(包括

左端点),其图像在原点及 x 轴的下方,故选 B.

?0

x

? 2.已知 f(x)= -1

x=

?2x-3 x

,则 f{f[f(5)]}为( )

A.0

B.-1

C.5

D.-5

[答案] D

[解析] 根据分段函数解析式可知,

f(5)=0,而 f(0)=-1,

f(-1)=2×(-1)-3=-5.

故 f{f[f(5)]}=f[f(0)]=f(-1)=-5.

3.若 f(x+1x)=x2+x12,则 f(x)=(

)

A.x2-2 B.x2+x12

C.x2+2 D.x2-x12

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[答案] A

[解析] ∵f(x+1x)=(x+1x)2-2,

∴f(x)=x2-2.故选 A. 4.已知函数 f(x)由下表给出,则 f(3)等于( )

x

1

2

3

4

f(x

----

)

3

2

4

1

A.-1 B.-2 C.-3 D.-4

[答案] D

[解析] 由表中函数值 f(3)=-4,故选 D.

5.(2011·浙江理)设函数 f(x)=???x-2,x,x>x0≤0 ,若 f(a)=4,则实数 a=(

)

A. -4 或-2 B. -4 或 2

C.-2 或 4

D.-2 或 2

[答案] B

[解析] 本题主要考查分段函数求函数值等基础知识.

当 a≤0 时,f(a)=-a=4,∴a=-4; 当 a>0 时,f(a)=a2=4,∴a=2.

综之:a=-4 或 2,选 B.

6.已知 f???x2-1???=2x+3,且 f(m)=6,则 m 等于(

)

A.-14 B.14 C.32 D.-32

[答案] A [解析] 令 2x+3=6,得 x=32,所以 m=x2-1=12×32-1=-14.或先求 f(x)的解析

式,再由 f(m)=6,求 m 的值.

二、填空题 7.已知函数 f(x)在[-1,2]上的图像如图所示,则 f(x)的解析式为________.

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??x+1 -1≤x≤0 [答案] f(x)=???-12x 0<x≤2

[解析] 观察图像,知此函数是分段函数,并且在每段上均是一次函数,利用待定 系数法求出解析式.当-1≤x≤0 时,f(x)=x+1;当 0<x≤2 时,f(x)=-x2.

??x+1 -1≤x≤0

∴f(x)=???-12x 0<x≤2

.

8.一辆汽车在某段路程中的行驶速度 v 与时间 t 的关系如图所示,则该汽车在前 3 小时内行驶的路程为________km,假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数 为 2006km,那么在 t∈[1,2)时,汽车里程表读数 S 与时间 t 的函数解析式为________.
[答案] 220 S=80t+1976,且 t∈[1,2) [解析] 前 3 小时行驶路程为 50+80+90=220(km). ∵t∈[1,2)时里程表读数 S 是时间 t 的一次函数, 可设为 S=80(t-1)+b,当 t=1 时,S=2006+50=2056=b,∴S=80(t-1)+ 2056=80t+1976. 三、解答题
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??2xx+

x≤- -1<x

, ,

9.已知函数 f(x)=???x22 x

(1)求 f???-74???; (2)求 f(4);

(3)求 f???14???; (4)若 f(a)=3,求 a 的值.

[解析] (1)∵-74<-1,∴f???-74???=-74+2=14. (2)∵4>2,∴f(4)=422=8.

(3)∵-1<14<2,∴f???14???=2×14=12.

(4)∵当

x≤-1

时,x+2≤1;当

x≥2

x2 时, 2 ≥2;

当-1<x<2 时,-2<2x<4,

∴???2-a=1<3a,<2,

??a≥2, 或?a2
?? 2 =3,

∴a=32或 a=

6.∴a

3 的值为2或

6.

能力提升

一、选择题

1.若 g(x)=1-2x,f[g(x)]=1-x2x2(x≠0),则 f???12???=(

)

A.1 B.3 C.15 D.30

[答案] C

[解析] 由 g(x)=1-2x=12,得 x=14,代入1-x2x2得,f???12???=15. 2.(2012·郑州高一期末)如图△OAB 是边长为 2 的等边三角形,直线 x=t 截这个三

角形位于此直线左方的图形面积(见图中阴影部分)为 y,则函数 y=f(t)的大致图形为图

中的( )

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[答案] D

3 [解析] 易知表示图形面积的曲线关于点(1, 2 )对称,故可排除 A,B,又阴影部

分面积在[0,1]上的增加速度先慢后快,故曲线应先缓后陡,同理在[1,2]上曲线应先陡

后缓,故选 D.

二、填空题

3.已知 f(x)满足 f(x)+2f???1x???=3x,则 f(2)=________.

[答案] -1

[解析] 设 f(x)的定义域为 C,由 f(x)+2f???1x???=3x 知,

x∈C,1x∈C,将原式中的

x

1 换为x,

原式仍成立,即有 f???1x???+2f????x11????=3x.

与原式联立?????ff???1x???x+2+f 2fx???x1???==3x3, x,

解得 f(x)=2x-x,

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∴f(2)=22-2=1-2=-1.

4.设 f(x)=???-2x12+x ?? x

-1≤x x

,则 f{f[f(-34)]}=__________,f(x)的

定义域是__________.

[答案]

3 2

{x|x≥-1 且 x≠0}

3 [解析] ∵-1<-4<0,

∴f(-34)=2×(-34)+2=12,而 0<12<2,

∴f(12)=-12×12=-14,

∵-1<-14<0,∴f(-14)=2×(-14)+2=32,

∴f{f[f(-34)]}=32.

函数 f(x)的定义域为{x|-1≤x<0}∪{x|0<x<2}∪{x|x≥2}={x|x≥-1 且 x≠0}.

三、解答题

5.画出下列函数的图像:

(1)y=|x-5|+|x+3|;

(2)y=2x-3,x∈Z,且|x|≤2;

(3)y=x2-2|x|-1;

(4)y=???x-2+x22-x2x

x x



[解析] (1)y=|x-5|+|x+3|=

?-2x+2 ?8 ?2x-2

x<- , -3≤x , x

图像如图(1)所示.

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(2)y=2x-3,

∵x∈Z,且|x|≤2. ∴x=±2,±1,0,图像如图(2)中的五个点.

(3)y=x2-2|x|-1=???xx22+-22xx--1

x x



图像如图(3)所示.

(4)y=???x-2+x22-x2x

x x

的图像如图(4)所示.

6.如右图所示,半径为 R 的圆的内接等腰梯形 ABCD,它的下底 AB 是⊙O 的直径,上 底 CD 的端点在圆周上,写出这个梯形周长 y 和腰长 x 之间的关系式,并求出它的定义 域.
[解析] 设腰长 AD=BC=x, 作 DE⊥AB 交 AE 于点 E,连结 BD, 则∠ADB=90°,∴Rt△ADE∽Rt△ABD. ∴AD2=AE·AB,AE=2xR2 .∴CD=AB-2AE=2R-xR2. ∴周长 y 满足关系式 y=2R+2x+???2R-xR2???=-xR2+2x+4R. 即周长 y 与腰长 x 之间的关系式为 y=-1Rx2+2x+4R.
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∵四边形 ABCD 为圆内接梯形,∴AD>0,AE>0,CD>0.

x>0,
? x2 ??即 2R>0, ??2R-xR2>0,

? 0<x< 2R.

所以函数的定义域为{x|0<x< 2R}.

?-x ? 7.已知函数 f(x)= x2
?x

-1≤x , x, x

(1)求 f(-8),f(-23),f(12),f(32)的值; (2)作出函数的简图; (3)求函数的定义域和值域. [分析] 给出的函数是分段函数,应注意在不同的自变量取值范围内有不同的解析 式. (1)根据自变量的值,选用相应关系式求函数值. (2)在不同的区间,依次画出函数图像. [解析] 函数的定义域为[-1,0)∪[0,1)∪[1,2]=[-1,2]. (1)因为-8?[-1,2],所以 f(-8)无意义. 因为-1≤x<0 时,f(x)=-x, 所以 f(-23)=-(-23)=23. 因为 0≤x<1 时,f(x)=x2, 所以 f(12)=(12)2=14. 因为 1≤x≤2 时,f(x)=x,所以 f(32)=32. (2)在同一坐标系中分段画出函数的图像,如图所示:

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(3)由第(2)问中画出的图像可知,函数的定义域为[-1,2],函数的值域为[0,2]. [点评] 1.解答本题第(1)、(2)题时,应注意自变量的取值范围. 2.分段函数求值,一定要注意所给自变量的值所在的范围,代入相应的解析式求 解. 3.画图像时,则应分段分别作出其图像,在作每一段图像时,先不管定义域的限 制,用虚线作出其图像,再用实线保留定义域内的一段图像即可.
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