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学年高中数学第二章平面向量第26课时平面向量的应用举例练习新人教A版必修4


第 26 课时 平面向量的应用举例 课时目标 1.体会向量是解决处理几何、物理问题的工具. 2.掌握用向量方法解决实际问题的基本方法. 识记强化 1.向量方法解决几何问题的“三步曲”. (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题 转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 2.由于力、速度是向量,它们的分解与合成与向量的减法与加法类似,可以用向量的 方法解决. 课时作业 一、选择题 1.已知点 A(-2,-3),B(2,1),C(0,1),则下列结论正确的是( ) A.A,B,C 三点共线 → → B.AB⊥BC C.A,B,C 是等腰三角形的顶点 D.A,B,C 是钝角三角形的顶点 答案:D → → → → 解析:∵BC=(-2,0),AC=(2,4),∴BC·AC=-4<0,∴∠C 是钝角. 2.已知三个力 f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点, 为使物体保持平衡,再加上一个力 f4,则 f4=( ) A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) 答案:D 解析:由物理知识知 f1+f2+f3+f4=0,故 f4=-(f1+f2+f3)=(1,2). → → → → 3.在四边形 ABCD 中,若AB=-CD,AB·BC=0,则四边形为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 答案:D → → → → → → 解析:由AB=-CD知四边形 ABCD 是平行四边形,又AB·BC=0,∴AB⊥BC,∴此四边形 为菱形. 4.已知一条两岸平行的河流河水的流速为 2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为( ) A.10 m/s B.2 26 m/s C.4 6 m/s D.12 m/s 答案:B 解析:设河水的流速为 v1,小船在静水中的速度为 v2,船的实际速度为 v,则|v1|=2, 2 2 |v|=10,v⊥v1,∴v2=v-v1,v·v1=0,∴|v2|= v -2v·v1+v1=2 26(m/s). 5.人骑自行车的速度为 v1,风速为 v2,则逆风行驶的速度为( ) A.v1-v2 B.v2-v1 1 C.v1+v2 D.|v1|-|v2| 答案:C 解析:对于速度的合成问题,关键是运用向量的合成进行处理,逆风行驶的速度为 v1 +v2,故选 C. 6.点 O 在△ABC 所在平面内,给出下列关系式: → → → ①OA+OB+OC=0; → ? → → ? ? → AB ? → ? BC BA ? → ? AC ? - - ②OA· =OB· =0; → ? → → ? ?|→ ? ? AC| |AB|? ?|BC| |BA|? → → → → → → ③(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=0. 则点 O 依次为△ABC 的( ) A.内心、重心、垂心 B.重心、内心、垂心 C.重心、内心、外心 D.外心、垂心、重心 答案:C → → → → 解析:①由于OA=-(OB+OC)=-2OD,其中 D 为 BC 的中点,可知 O 为 BC 边上中线的 三等分点(靠近线段 BC),所以 O 为△ABC 的重心; → → AC AB → → ②向量 , 分别表示在 AC 和 AB 上取单位向量AC′和AB′,它们的差是向量 → → |AC| |AB| → ? ? → AC AB ? → → - B′C′,当OA·? =0,即 OA⊥B′C′时,则点 O 在∠BAC 的平分线上,同理由 → ? ?|→ AC | | AB | ? ? → → ? ? BA ? → ? BC - OB· =0,知点 O 在∠ABC 的平分线上,故 O 为△ABC 的内心; → ? ?|→ BC | | BA | ? ? → → → → → ③OA+OB是以OA, OB为边的平行四边形的一条对角线, 而AB是该四边形的另一条对角线, → → → → → → → AB·(OA+OB)=0 表示这个平行四边形是菱形,即|OA|=|OB|,同理有|OB|=|OC|,于是 O 为△ABC 的外心. 二、填空题 7.已知两个粒子 A、B 从同一点发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为 va=(4,3), vb=(3,4),则 va 在 vb 上的投影为________. 24 答案: 5 12+1`2 24 解析:由题知 va 与 vb 的夹角 θ 的余弦值为 cosθ = = . 5×5 25 24 24 ∴va 在 vb 上的投影为|va|cosθ =5× = . 25 5 → → 8.已知点 A(0,0),B( 3,0),C(0,1).设 AD⊥BC 于 D,那么有CD=λ CB,其中 λ = ________. 1 答案: 4 → → → → → 解析:如图|AB|= 3,|AC|=1,|CB|=2,由于 AD⊥BC,且CD=λ CB,所以 C、D、B → |CD| 1 1 三点共线,所以 = ,即 λ = . → 4 4 |CB| 2 → → → 9.在四边形 ABCD 中,已知AB=(4,-2),AC=(7,4),AD=(3,6),则四边形 ABCD 的 面积是________. 答案:30 → → → → → → → → 解析:BC=AC-AB=(3,6)=AD,∵AB·BC=(4,-2)·(3,6)=0,∴AB⊥BC,∴四边 → → → → 形 ABCD 为矩形,|AB|= 20,|BC|= 45,∴S=|AB|·|BC|=30. 三、解答题 10. 1 如图,在平行四边形 ABCD 中,点 M 是 AB 的中点,点 N 在 BD 上,且 BN= BD,求证:M, 3 N,C 三点共线. → 1→ → 1→ 证明:依题意,得BM= BA,BN= B

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