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2013版高中全程复习方略配套课件:6.4基本不等式(数学文人教A版湖南专用)(共43张PPT)_图文


第四节 基本不等式

三年13考 1.了解基本不等式的证明过程.

高考指数:★★★

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

1.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明. 2.对基本不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现,难度 为中低档题,若出现证明题难度也不会太大.

1.基本不等式: ab ? a ? b
2

a>0,b>0 (1)基本不等式成立的条件是__________. a=b 时取等号. (2)等号成立的条件是:当且仅当_____ 算术平均数 , ab 称为正数a, (3)其中 a ? b 称为正数a,b的____________
2

几何平均数 b的____________.

【即时应用】
判断下列不等式是否正确.(请在括号中填写√或×)

(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R)
(2) ab ? ( a ? b ) 2 (a,b∈R)
2 2 a ? b a ? b 2 (3) ( (a,b∈R) ) ? 2 2 (4) b ? a ? 2(a,b均不为零) a b

(
( ( (

)
) ) )

2

【解析】(1)由(a-b)2≥0得a2+b2-2ab≥0,
即a2+b2≥2ab,故(1)正确. (2)由(1)可知a2+b2≥2ab,即a2+b2+2ab≥4ab,
a?b 2 即(a+b)2≥4ab,即 ab ? ( ), 故(2)正确.
2 2 2

2 2 a ? b a ? b ? a ? b ? 2ab 2 (3)由 ( ) ? ? 2 2 4 2 ?(a ? b) ? ? 0, 故(3)正确. 4 (4)若a,b异号,如a=-1,b=1,则 b ? a ? ?2 ? 2, 故(4)错. a b

答案:(1)√

(2)√

(3)√

(4)×

2.利用基本不等式求最值

(1)两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a,b为
2 M a =b 正实数,且a+b=M,M为定值,则 ab ? 等号当且仅当____ , 4

时成立.(简记:和定积最大) (2)两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a, b为正实数,且ab=P,P为定值,则a+b≥____,等号当且仅 2 P a=b 时成立.(简记:积定和最小) 当______

【即时应用】 (1)已知x+3y=2(x,y为正实数),则xy的最大值为______.

(2)函数 f ? x ? ?

x 的最大值为______. x ?1

(3)已知m>0,n>0且mn≥81,则m+n的最小值为______.

【解析】(1)由 2 ? x ? 3y ? 2 3xy, 得
1 3 故xy≤ 1 , 等号当且仅当 x=1,y= 时取得. xy ? , 3 3 3

(2)∵x≥0,①当x=0时,f(0)=0;
②当x>0时,f(x)=
1 ? , 1 2 x? x 1

当且仅当 x ? 1 , 即x=1时取等号.
x

所以f(x)的最大值为 .

1 2

(3)∵m>0,n>0,mn≥81,∴

mn ? 9,

∴ m ? n ? 2 mn ? 18,故m+n的最小值为18. 答案:(1)
1 3

(2)

1 2

(3)18

利用基本不等式求最值 【方法点睛】应用基本不等式求最值的常见类型 (1)若直接满足基本不等式条件,则直接应用基本不等式. (2)若不直接满足基本不等式条件,则需要创造条件对式子进

行恒等变形,如构造“1”的代换等.
(3)若可用基本不等式,但等号不成立,则一般是利用函数单 调性求解.

【提醒】(1)应用基本不等式注意不等式的条件 . (2)若多次应用基本不等式要注意等号需同时成立 .

【例1】(1)(2012·无锡模拟)若x>-3,则 x ? 2 _______.

x ?3

的最小值为

(2)已知x,y为正实数,且满足 x ? y ? 1, 则xy的最大值为
3 4

______.
1 (3)已知a,b为正实数且a+b=1,则(1 ? 1 ) (1 ? ) 的最小值为 a b

______.

【解题指南】(1)将原式等价变形构造出应用基本不等式形式
可解.

(2)直接应用基本不等式求解.
(3)将 1 与 1 中的1用a+b代换整理后利用基本不等式可求.
a b

【规范解答】(1)由x>-3得x+3>0, 又 x ? 2 ? x ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 3,等号成立的条件是
x ?3 x ?3 2 x ?3? , 即 x ? 2 ? 3. x ?3

答案:2 2 ? 3

(2)因为x,y为正实数,所以 1 ? x ? y ? 2 xy,
xy 1 即xy≤3, ? , 12 2 当且仅当 x ? 3 ,y=2时等号成立. 2

3

4

12

所以

答案:3 (3)∵a>0,b>0,a+b=1, ∴ 1 ? 1 ? 1 ? a ? b ? 2 ? b , 同理 1 ? 1 ? 2 ? a ,
a a a b b b a ∴ (1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (2 ? b )(2 ? a ) ? 5 ? ( 2 ? ) ? 5 ? 4 ? 9, a b a b a b 等号成立的条件为 a ? b ? 1 . 2

答案:9

【反思·感悟】1.利用基本不等式求最值的关键在于凑“和” 或“积”为定值. 2.使用基本不等式时容易忽视的是不等式成立的条件 .

基本不等式的实际应用 【方法点睛】利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题,如“物价、销售、 税收、原材料”等,题目往往较长,解题时需认真阅读,从中 提炼出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求解. (2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定 义域内时,就不能使用基本不等式求解,此时可根据变量的范

围用对应函数的单调性求解.

【例2】某造纸厂拟建一座平面图形为

矩形且面积为162平方米的三级污水处
理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造 单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建 造单价为80元/米2,水池所有墙的厚度忽略不计. (1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低 总造价; (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16米,试设计 污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.

【解题指南】(1)由题意设出未知量,构造函数关系式,变形 转化利用基本不等式求得最值,得出结论; (2)先由限制条件确定自变量的范围,然后判断 (1)中函数的单

调性,利用单调性求最值,得出结论.
【规范解答】(1)设污水处理池的宽为x米,则长为 162 米.
x

则总造价
2 ? 162 )+248×2x+80×162 x =1 296x+ 1 296 ?100 +12 960 x =1 296(x+ 100 )+12 960 x

f(x)=400×(2x+

≥1 296× 2 x 100 +12 960
x

=38 880(元),

当且仅当 x ? 100 (x>0),
x

即x=10时取等号. ∴当长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为 38 880元.

?0 ? x ? 16 (2)由限制条件知 ? , ? 162 0? ? 16 ? x ? ∴ 10 1 ? x ? 16. 8 100 1 设 g(x) ? x ? (10 ? x ? 16) , x 8 由函数性质易知g(x)在[10 1 , 16]上是增函数, 8 ∴当 x ? 10 1 时(此时 162 ? 16 ), 8 x

g(x)有最小值,即f(x)有最小值
1 800 1 296 ? (10 ? ) ? 12 960 =38 882(元). 8 81 ∴当长为16米,宽为 10 1 米时,总造价最低,为38 882元. 8

【反思·感悟】1.本例(2)中由于条件限制应用基本不等式结 果不成立,从而转化为应用函数的单调性求解,这也是此部分 内容的常规解法.

2.应用基本不等式解实际应用题时定义域是关键涉及到等式能
否成立,因而在实际解题时要密切注意定义域的取值范围 .

基本不等式与其他知识的综合应用 【方法点睛】基本不等式在其他数学知识中的应用

以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查
基本不等式求最值,是本部分中常见题型,且在高考中也时常

出现,其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式
求解的形式,同时要注意基本不等式的使用条件.

【例3】(1)(2012·杭州模拟)设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=4 且 a ? b ? 2 2, 则 1 ? 1 的最大值为______.
x y

(2)已知函数f(x)=log2[k(x+4)+2]+1恒过定点P,且点P在直 线 y ? x ? 2 (a,b∈R+)上,则3a+2b的最小值为______.
b a

【解题指南】(1)用a,b表示x,y代入后,再利用基本不等式可

求.
(2)求得P点坐标代入直线方程,再用“1”的代换转化为基本不

等式求解.

【规范解答】(1)由ax=by=4得x=loga4,y=logb4,
故 1?1?
x y 1 1 =log a+log b=log ab. ? 4 4 4 log a 4 log b 4

又∵a>1,b>1, a ? b ? 2 2,
a?b 2 1 故 log 4 ab ? log ( ) ? log 2 ? , 4 4 2 2

∴ 1 ? 1 ? 1 , 等号当且仅当 a ? b ? 2,
x y 2

即x=y=4时等号成立. ∴ 1 ? 1 的最大值为 1 .
y 答案: 1 2 x
2

(2)由函数f(x)=log2[k(x+4)+2]+1可知,

当x=-4时,f(x)=2,即P点坐标为(-4,2),
又P在直线 y ? x ? 2 (a,b∈R+)上, 故 2 ? 4 ? 2,即 2 ? 1 ? 1,
b a a b a b ∴ 3a ? 2b ? (3a ? 2b)( 2 ? 1 ) ? 8 ? 3a ? 4b a b b a

≥ 8 ? 2 12 ? 8 ? 4 3, 当且仅当3a2=4b2,即 a ? 2 ? 2 3 ,b ? 3 ? 1 时等号成立.
3

∴3a+2b的最小值为 8 ? 4 3.

答案:8 ? 4 3

【反思·感悟】解决与其他知识综合的基本不等式题目,难点

在于如何从已知条件中寻找基本关系.本例(1)中其关键是构建
x,y与a,b的关系得到x=loga4,y=logb4,从而将 1 ? 1 成功转化
x y

为a,b的关系,再利用基本不等式求解,而对本例 (2)中其关键 点是确定图象过的定点,确定了这一定点后问题便会迎刃而解 .

【易错误区】忽视题目的隐含条件致误 【典例】(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,过坐标 原点的一条直线与函数 f ? x ? ? 2 的图象交于P、Q两点,则线段
x

PQ长的最小值是______. 【解题指南】由已知条件可知两交点必关于原点对称,从而设 出交点代入两点间距离公式,整理后应用基本不等式求解即可 .

【规范解答】由题意可知 f ? x ? ? 2 的图象关于原点对称,而与
x

过原点的直线相交,则两交点必关于原点对称,故可设两交点 分别为P(x, 2 )与Q(-x, ? 2 ),
x x

由两点间距离公式可得
2 2 2 PQ ? (x ? x) 2 ? ( ? ) ? x x

? 2x ?

2

4 2 ? ( ) ?4 x

等号当且仅当x2=2,即 x ? ? 2 时取得.
答案:4

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下误区警示和备考建议: 在解答本题时主要有两点误区 误 区 警 (1)对于题目自身的含义理解不透,无法掌握交点关 系,造成不会解. (2)有些同学设出直线方程与 f (x) ? 2 联立得出两交
x



点关系,再应用两点间距离公式求解,出现运算繁琐
情况,导致错解.

解决此类问题时还有以下几点在备考时要注意

备 考 建 议

(1)理解函数的图象、性质,明确其表达的含义; (2)熟记要掌握的公式,如本例中的两点间距离公式; (3)思考要周密,运算要准确、快速.

另外,由于此类题目往往以小题形式出现,因而能用
简便方法的尽量使用简便方法.

1.(2011·福建高考)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在
x=1处有极值,则ab的最大值等于 ( (A)2 (B)3 (C)6 ) (D)9

【解析】选D.由题意得f′(x)=12x2-2ax-2b, ∵函数f(x)在x=1处有极值, ∴f′(1)=0,∴12-2a-2b=0,即a+b=6.
a?b 2 6 2 又∵a>0,b>0,由基本不等式得:ab ? ( )? ( ) ? 9, 2 2

故ab的最大值是9.

2.(2011·北京高考)某车间分批生产某种产品,每批的生产准 备费用为800元,若每批生产x件,则平均仓储时间为 x 天,
8

且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生 产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( (A)60件 (B)80件 (C)100件 (D)120件 )

x2 800 ? 8 ? 800 ? x 【解析】选B.平均每件产品的费用为 y ? x x 8 800 x 即x=80时取等号.所以每批 800 x ? , ?2 ? ? 20,当且仅当 x 8 x 8

应生产产品80件,才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓 储费用之和最小.

3.(2012·邵阳模拟)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,则x+y的

最小值为______.

【解析】∵2x+8y-xy=0,∴

8 2 ? =1. x y

∴x+y=(x+y)( 8 ? 2 )
x y

=10+ 8y ? 2x≥10+
x

y 8y 2x 当且仅当 ? ,即x=2y时等号成立, x y

2

8y 2x =18, x y

又 8 ? 2 =1,
x y

∴当x=12,y=6时取等号. 答案:18

4.(2011·天津高考)已知log2a+log2b≥1,则3a+9b的最小值为 ______. 【解析】由log2a+log2b≥1得log2(ab)≥1即ab≥2(a>0,b>0),

∴3a+9b=3a+32b≥

23

a ? 2b 2



当且仅当a=2b时取等号,

又 a ? 2b ? 2 2ab ? 4,等号当且仅当a=2b时取得.
即当a=2b时,3a+9b≥2·32=18. 答案:18


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