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扬州中学高三数学模拟试卷2014


2014 届扬州中学高三数学最后一卷
一(必做题,共 160 分)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. i 是虚数单位,复数

2014.5.26

2 ? 2i 的虚部为 ▲ i

2. 设全集 U ? Z,集合 A ? x x2 ? x ? 2≥0,x ? Z ,则 CU A ? 3. 函数 y ? log 1 ? 2 x ?1? 的递减区间为
2

?

?



(用列举法表示).



y E

O

F
第 11 题图

Gx

(第 5 题图)

第 7 题图

4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m, n 作为点 P 的横、 纵坐标, 则点 P 在直线 x ? y ? 6 上的概率为 ▲ . 5. 上图是一个算法流程图,若输入 x 的值为 7,则输出 y 的值为 ▲ .

x2 y 2 ? 1 的右焦点重合, 6.已知抛物线 y ? 8x 的焦点与双曲线 ? 则双曲线的渐近线方程为 3 m
2





7. 为了检测某自动包装流水线的生产情况,在流水线上随机抽取 40 件产品,分别称出它们
的重量(单位:克)作为样本。上图是样本的频率分布直方图,根据图中各组的组中值估计 产品的平均重量是 ▲ 克. 8. 若直线 l 与曲线 y ? x ? 3x ? 2x 在点(0,0)处相切,则直线 l 的方程为
3 2

▲ .



9.已知圆柱的底面半径为 a ,母线长与底面的直径相等,则该圆柱的表面积为 ▲

10. 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 三 点 A( a,1 )、B( 2 ,b )、C( 3 , 4 ). 若 向 量

3a ? 4b 的值为 ▲ 方向上的投影相同,则 OA 与 O 在向量 B O C 11. 已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? )( A ? 0,0? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为奇函数,该函数的部分图
象如图所示,△EFG 是边长为 2 的等边三角形,则 f (1) 的值为 ▲ .

1

? 10 x ?lg y ? 0 ? ? xy 12. 设正实数 x, y 满足条件 ?lg _____; ? 0 ,则 lg( x2 y) 的最大值为___ ▲ 10 ? ?y ?1 ? ?
2 2 13.各项均为非负的任意等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a10 ? 6 ,则 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 的

取值范围是 ▲ . 14. 函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若满足: (1) f ( x ) 在 D 内为单调函数; (2)存在 [a, b] ? D
x 使得 f ( x ) 在 [ a, b] 上的值域为 [ , ] , 则称 y ? f ( x) 为成功函数,若 f ( x) ? logc (c ? t ) 为

a b 2 2

成功函数(其中 c ? 0, c ? 1 ) ,则 t 的取值范围是____▲ 二、解答题:本大题共:6 小题,共 90 分

.

15. ( 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B , C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a, b, c 成等比数列,且

3 cos B ? . 4
(1)若 BA ? BC ?

3 ,求 a ? c 的值; 2

(2)求

cos A cos C 的值. ? sin A sin C

16. (14 分)如图,四边形 ABCD 是矩形,平面 ABCD ? 平面 BCE, BE ? EC (1) 求证:平面 AEC ? 平面 ABE; (2) 点 F 在 BE 上,若 DE//平面 ACF,求 BF 的值 BE

[来源:学科网]

2

17. (14 分)某企业生产某种商品 x 吨,此时所需生产费用为( x ? 100x ? 10000)万元,
2

当出售这种商品时,每吨价格为 p 万元,这里 p ? ax ? b ( a , b 为常数, x ? 0 ) (1)为了使这种商品的生产费用平均每吨最低,那么这种商品的产量应为多少吨? (2)如果生产出来的商品能全部卖完,当产量是 120 吨时企业利润最大,此时出售价 格是每吨 160 万元,求 a , b 的值.

18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 , 点 F1 , F2 分别是椭圆的左、 右焦点,P 为 2 a b 2
y

椭圆上一动点(异于左右顶点) , ?PF 1F 2 面积的最大值为 1. (1)求椭圆的方程; (2)设四边形 ABCD 是矩形,且四条边都与椭圆相切. 求证:满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上。
F1 x o F2

图(6)

3

19. (16 分)已知函数 f ( x) ?

x2 ? a ( x ? R) ( e 是自然对数的底数). ex
[来源:Z,xx,k.Com]

(1)当 a ? ?15 时,求 f ( x) 的单调区间;

(2)若 f ( x) 在区间 [ , e ] 上是增函数,求实数 a 的取值范围;

1 e

1 ? 12 1 ? 2 2 1 ? 32 1 ? n2 5n ? (3)证明: 对一切 n ? N 恒成立. ? 2 ? 3 ? ... ? n ? e e e e 4 e

20. (16 分)若数列 ?bn ? 满足:对于 n ? N? ,都有 bn? 2 ? bn ? d (常数) ,则称数列 ?bn ? 是公 差为 d 的准等差数列. 4n ? 1,当n为奇数时; (1)若 c n ? ? 求准等差数列 ?cn ? 的公差,并求 ?cn ? 的前 19 项的和 T19 ; ? . ?4n ? 9,当n为偶数时 (2)设数列 ?an ? 满足: a1 ? a ,对于 n ? N? ,都有 an ? an ?1 ? 2n . ①求证: ?an ? 为准等差数列,并求其通项公式;

②设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,试研究:是否存在实数 a ,使得数列 ?Sn ? 有连续的 两项都等于 50 ?若存在,请求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

4

附加题
21. 【选做题】本题包括 A,B,C,D 四小题,请选定其中 两题 作答 ,每小题 10 分,共计 ..... .. .. 20 分, 解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. A 选修 4-1:几何证明选讲 如图,PA 切⊙O 于点 A ,D 为 PA 的中点,过点 D 引 割线交⊙O 于 B 、 C 两点.求证: ?DPB ? ?DCP . A B O· D P

C B.选修 4—2:矩阵与变换 设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸长到 3 倍的伸压变换. 求逆矩阵

M ?1 以及椭圆

x2 y 2 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程. 4 9

C.选修 4—4:坐标系与参数方程

3 ? x?? t?2 ? ? 5 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 sin ? , 设直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) 。 4 ?y ? t ? 5 ?
5

(1)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M,N 为曲线 C 上一动点,求|MN|的最大值。 D.选修 4—5:不等式选讲

f ( x) ?| x | ? | x ? 1 | 的最小值为 m (Ⅰ)求 m 的值;
(Ⅱ) x, y, z ? R, 且2 x ? 3 y ? 3z ? m 求 x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值.

22.(本题满分 10 分)一盒中装有 9 个大小质地相同的小球,其中红球 4 个,标号分别为 0,1,2,3;白球 3 个,标号分别为 0,1,2;黑球 2 个,标号分别为 0,l;现从盒中不放回地摸 出 2 个小球. (1)求两球颜色不同且标号之和 为 3 的概率; .. (2)记所摸出的两球标号之积 为 ? ,求 ? 的分布列与数学期望. ..

23.(本题满分 10 分)用记号

? ai 表示 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an , bn ? ? a2i ,其中
i ?0 i ?0

n

n

i ? N ,n? N*.
(1)设

? (1 ? x)
k ?1

2n

k

,求 b2 的值; ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2 n?1 x 2 n?1 ? a2 n x 2 n ( x ? R )

(2)若 a0 , a1 , a2 ,…, an 成等差数列,求证:
n

? ?a C ? ? (a
n i ?0 i i n

0

? an ) ? 2 n?1 ;

(3)在条件(1)下,记 d n ? 1 ?

?? ?(?1) b C ? ?, 且不等式 t ? (d
i i ?1 i i n

n

? 1) ? bn 恒成立 ,求实数

t 的取值范围.

6

参考答案 5.26 1. -2 2. {0,1} 8. y ? 2 x 11. ? 3 12.2

5 ?1 ? , ?? ? 4. 36 ?2 ? 2 9. 6? a 10. 2
3. ? 13. ?3 6, 6 3 ?

5. 2

6. y ? ?

3 x 3

7. 507

?

?

14. ? 0, ?

? ?

1? 4?

15.解: (1)由 BA ? BC ? 因为 cos B ?

3 3 ,得 ac cos B ? .…………2 分 2 2

3 ,所以 b 2 ? ac ? 2 .…………4 分 4 由余弦定理 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,得 a 2 ? c 2 ? b2 ? 2ac cos B ? 5 , 则 (a ? c)2 ? a2 ? c2 ? 2ac ? 9 ,故 a ? c ? 3 .…………7 分
(2)由 cos B ?

[来源:学科网]

7 3 ,得 sin B ? .…………9 分 4 4 2 由 b ? ac 及正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C ,…………11 分 cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A sin( A ? C ) sin B 1 4 7 ? ? ? ? ? ? 14 分 2 2 sin A sin C sin A sin C sin B sin B sin B 7
16.

17. 解:设生产平均费用为 y 元,由题意可知
7

y=

x 2 ? 100x ? 10000 10000 ? x? ? 100 ? 100 ; x x 当且仅当 x ? 100 时等号成立,
所以这种商品的产量应为 100 吨. (2)设企业的利润为 S 元,有题意可知(7 分)

S ? (ax ? b) x ? x 2 ? 100x ? 10000
= (a ? 1) x 2 ? (b ? 100) x ? 10000 120 a ? b ? 160

x?

? b ? 100 ? 120 2a ? 2

又由题意可知

1 ? ?b ? 240a ? 140 ?a ? ? ?? ?? 6 ?120a ? b ? 160 ? ?b ? 180
x2 18. 解: (1)椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 .…………6 分 2
(2)由题意知,矩形 ABCD 是椭圆

(14 分)

x2 ? y 2 ? 1 的外切矩形, 2

(i) 若 矩 形 ABCD 的 边 与 坐 标 轴 不 平 行 , 则 可 设 一 组 对 边 所 在 直 线 的 方 程 为
y ? kx ? m(k ? 0) ,

? x 2 ? y 2 ? 1, ? 2 2 2 则由 ? 2 消去 y 得 (1 ? 2k ) x ? 4mkx ? 2m ? 2 ? 0 , ? ? y ? kx ? m

于是 ? ? 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 2) ? 0 ,化简得 m ? ? 2k 2 ? 1 .
2 2 2 2

所以矩形 ABCD 的一组对边所在直线的方程为 y ? kx ? 2k 2 ? 1 ,即 y ? kx ? ? 2k 2 ? 1 , 则另一组对边所在直线的方程为 ky ? x ? ? 2 ? k 2 , 于是矩形顶点坐标(x,y)满足 ( y ? kx)2 ? (ky ? x) 2 ? (k 2 ? 2) ? (1 ? 2k 2) , 即 (1 ? k 2 )( x2 ? y 2 ) ? 3(1 ? k 2 ) ,即 x2 ? y 2 ? 3 . (ii)若矩形 ABCD 的边与坐标轴平行,则四个顶点显然满足 x2 ? y 2 ? 3 . 故满足条件的所有矩形的顶点在定圆 x2 ? y 2 ? 3 上. …………16 分 19.解: (1)当 a ? ?15 时, f ( x) ? ( x ?15)e ,
2 ?x

f ?( x) ? (? x2 ? 2x ? 15)e? x ? ?( x ? 5)( x ? 3)e? x ,由 f ?( x) ? 0 ? ?3 ? x ? 5 ,
所以, f ( x ) 在区间 (?3,5) 上单调递增,在区间 (??,3),(5, ??) 上单调递减. ………5 分 (2) f ?( x) ? ?( x ? 2 x ? a)e ,
2 ?x

8

由题意得当 1 ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ? x2 ? 2x ? a ? 0 恒成立,
e

? 1 ?g( ) ? 0 2 令 g ( x) ? x ? 2x ? a ,有 ? e ,得 a ? 2e ? e , ? ? g ( e) ? 0
2

所以 a 的范围是 (??, 2e ? e2 ] , (3)令 a ? 1 得 f ( x) ?

…………10 分

x2 ? 1 , f ?( x) ? ?( x2 ?1)2 e? x ? 0 , x e

所以 f ( x ) 在 (??,??) 上为减函数,对于任意 k ? N * ,都有 k ?
2 即 k ?1 ? 5 ? ek 4 e

1 ,故有 f (k ) ? f ( 1 ) , 2 2

k 2 ? 1 5n , ? ? ek 4 e k ?1
n

1 ? 12 1 ? 2 2 1 ? 32 1 ? n2 5n 即 . ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? e e e e 4 e
20.解: (1)数列 c n ? ?

…………16 分

?4n ? 1,当n为奇数时; . ?4n ? 9,当n为偶数时

n 为奇数时, cn? 2 ? cn ? [4(n ? 2) ? 1] ? (4n ? 1) ? 8 , n 为偶数时, cn? 2 ? cn ? [4(n ? 2) ? 9] ? (4n ? 9) ? 8 , ? 准等差数列 ?cn ? 的公差为 8 ,
T19 ? (3 ? 75) ?10 (17 ? 81) ? 9 ? ? 831 ;………5 分 2 2
?

(2)①? an ? an?1 ? 2n ( n ? N ) (i )

an?1 ? an?2 ? 2(n ? 1)

( ii )
?

( ii )-( i )得 an?2 ? an ? 2 ( n ? N ) . 所以, ?an ? 为公差为 2 的准等差数列. 当 n 为偶数时, a n ? 2 ? a ? ? 当 n 为奇数时,

?n ? ? 1? ? 2 ? n ? a , ?2 ?

? n ?1 ? ? 1? ? 2 ? n ? a ? 1 ; ? 2 ? 解法二: an ? 2(n ? 1) ? an?1 ? 2(n ? 1) ? ??n ? 1? ? a? ? n ? a ? 1 ;
解法一: a n ? a ? ? 解法三:先求 n 为奇数时的 an ,再用( i )求 n 为偶数时的 an 同样给分.

( , n为奇数) ?n ? a ? 1 …………10 分 ? an ? ? n ? a ,  ( n 为偶数) ?

9

n?n ? n?n ? ? ? 1? ? ? 1? n 2?2 ? n 2?2 ? 1 ②解:当 n 为偶数时, S n ? a ? ? ? 2 ? ?2 ? a ? ? ? ? 2 ? n2 ; 2 2 2 2 2 n ?1? n ?1 ? n ?1? n ?1 ? ? 1? ? 1? ? ? n ?1 n ?1 2 ? 2 2 ? 2 ? ??2 当 n 为奇数时, S n ? a ? ? ? 2 ? ?2 ? a ? ? ? 2 2 2 2

1 2 1 n ?a? . 2 2 1 2 当 k 为偶数时, S k ? k ? 50 ,得 k ? 10 . 2 1 2 1 由题意,有 S 9 ? ? 9 ? a ? ? 50 ? a ? 10 ; 2 2 1 1 2 或 S11 ? ? 11 ? a ? ? 50 ? a ? ?10 . 2 2 所以, a ? ?10 .…………16 分 ?
附加题答案 21A.证明:因为 PA 与圆相切于 A , 所以 DA2 ? DB ? DC , 因为 D 为 PA 中点,所以 DP=DA, 所以 DP2=DB· DC,即 PD ? DB . ………………………5 分 DC PD 因为 ?BDP ? ?PDC , 所以 ?BDP ∽ ?PDC , ……………………8 分 所以 ?DPB ? ?DCP . …………………… 10 分 ………………………2 分

?1 ?2 ?1 21.B 解: M ? ? ?0 ? ?
椭圆

? 0? ?, 1? ? 3?
10分

5分

x2 y 2 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程为 x2 ? y 2 ? 1 4 9

21C. 解: (1)曲线 C 的极坐标方程可化为:
2 2 2

? 2 ? 2? sin ? ,

又 x ? y ? ? , x ? ? cos? , y ? ? sin ? . 所以,曲线 C 的直角坐标方程为: 5分 (2)将直线 L 的参数方程化为直角坐标方程得:

x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0.

4 y ? ? ( x ? 2) 7分 3 令 y ? 0 得 x ? 2 即 M 点的坐标为(2,0)
又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为(0,1) 半径 r ? 1, 则 | MC |? 5 ,
10

10 分 ? | MN |?| MC | ?r ? 5 ? 1 21D. 解:(Ⅰ) f ( x) ?| ? x ? x ? 1 |? 1 ,所以 f ( x) 的最小值为 1,即 m ? 1 ……4 分 (Ⅱ)由柯西不等式得:

(2x ? 3 y ? 3z) 2 ? (2 2 ? 32 ? 32 )(x 2 ? y 2 ? z 2 ). ? 2 x ? 3 y ? 3z ? 1,
1 x y z 1 3 , 当且仅当 ? ? ,即x ? , y ? z ? 时,等号成立, 22 2 3 3 11 22 1 ? x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值为 . …………10 分 22 ? x2 ? y2 ? z2 ?
22. 解:(1)从盒中不放回地摸出 2 个小球的所有可能情况有 C92 ? 36 种 , 颜色不同且标号之和为 3 的情况有 6 种 . …………2 分 ∴P?

6 1 ? 36 6

. …………4 分

(2) 依题意 ? 的可取值为 0,1,2,3,4,6 ,
P (? ? 0) ? P (? ? 2) ?
1 1 C3 C6 ? C32 21 7 C2 1 ? ? ; P (? ? 1) ? 3 ? ; 36 36 12 36 12 1 1 C2 C3 1 C1 1 ? ; P (? ? 3) ? 3 ? ; 36 6 36 12

P(? ? 4) ?

C1 1 1 ; P (? ? 6) ? 2 ? 36 18 36

?
P

0

1

2

3

4

6

7 12

1 12

1 6

1 12

1 36

1 18

(不列表不扣分) …………8 分

E? ?

7 1 1 1 1 1 10 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? .…………10 分 12 12 6 12 36 18 9

23. 解(1)将 n ? 2 代入
4

? (1 ? x)
k ?1

2n

k

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2 n?1 x 2 n?1 ? a2 n x 2 n 中得,

? (1 ? x)
k ?1

k

? a0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? a3 x 3 ? a 4 x 4 ,

其中 a0 ? a1 ?a 2 ?a3 ? a4 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? 30 ,

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 0 ……3 分,所以 b2 ? a0 ? a2 ? a4 ? 15 (2 分)
(2)法一:倒序相加法。 法二:设等差数列的通项公式为 an ? a0 ? nd ,其中 d 为公差 则

11

? ?a C ? ?
n i ?0 i i n

1 2 n a0 ? a1Cn ? a2Cn ? ? ? an Cn

0 1 n 1 2 n ? a0 (Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? d (Cn ? 2Cn ? ?nCn ) 0 1 n?1 k k ?1 1 2 n 因 为 kCn ? nCn ?1 , 所 以 Cn ? 2Cn ? ?nCn ? n(Cn?1 ? Cn?1 ? ? ? Cn?1 ) 所 以

? ?a C ? ? a
n i ?0 i i n

0

?2 n ? nd ? 2 n?1 ? (2a0 ? nd) ? 2 n?1 ? (a0 ? an ) ? 2n?1

(5 分)

(3)令 x ? 1 ,则

? ai ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 2 n ?
i ?0
2n
n

2n

2(1 ? 4 n ) ? 2 ? 4 n ? 2 …11 分 ?1
1 ( 2 ? 4 n ? 2) ? 4 n ? 1 2
件 可

x ? ?1 ,则 ? [(?1) i ai ] ? 0 ,所以 bn ? ? a 2i ?
i ?0
i ?0

科网 ZXXK]















0 1 2 3 n d n ? Cn ? (4 ? 1)Cn ? (42 ? 1)Cn ? (43 ? 1)Cn ? ? ? (?1) n (4n ? 1)Cn 0 1 2 3 n 0 1 2 3 4 n ? [Cn ? Cn (?4) ? Cn (?4) 2 ? Cn (?4) 3 ? ? ? Cn (?4) n ] ? [Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? (?1) n Cn ]

+1 ? (1 ? 4) ? (1 ?1) ?1 ? ( ?3) ?1 ,所以 dn ? (?3)n ? 1
n n n

将 bn ? 4n ? 1、 dn ? (?3)n ? 1 代入不等式 t ? (d n ? 1) ? bn 得, t (?3) ? 4 ? 1 ,
n n

1 n 4 2 1 2 5 ;当 n 为奇数, 3 3 3 3 4 1 4 1 t ? ?[( ) n ? ( ) n ] ,所以 t ? ?[( )1 ? ( )1 ] ? ?1 ;综上所述,所以实数 t 的取值范围是 3 3 3 3 5 [ ?1, ] 。 (10 分) 3
当 n 为偶数时, t ? ( ) ?( ) ,所以 t ? ( ) ?( ) ?
n

4 3

12


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