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上海市金山区2014—2015学年第一学期期末考试 高三数学试卷(一模)


上海市金山区 2014—2015 学年第一学期期末考试 高三数学试卷
(满分:150 分,完卷时间:120 分钟) (答题请写在答题纸上) 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若集合 M={ y | y ? ? x ? 5 ,x?R},N={ y | y ?
2

x ? 2 ,x≥–2},则 M∩N=





2.计算: lim 3.不等式:

3n ? 2 n = n ?? 3n ?1 ? 2 n ?1
1 ? 1 的解是 x









4.如果复数 z =

2 ? bi (b?R)的实部与虚部相等,则 z 的共轭复数 z = 1? i
▲ . ▲ .





5.方程:sinx+cosx =1 在[0,π]上的解是

6.等差数列{an}中,a2=8,S10=185,则数列{an}的通项公式 an= 7.当 a>0,b>0 且 a+b=2 时,行列式

(n?N*).

a 1 1 b

的值的最大值是



8.若 ( x ?

2 12 ) 的二项展开式中的常数项为 m,则 m= x2
▲ 克.





9.从一堆苹果中任取 5 只,称得它们的质量分别是:(单位:克)125,124,121,123,127, 则该样本的标准差是

10.三棱锥 O–ABC 中,OA=OB=OC=2,且∠BOC=45?,则三棱锥 O–ABC 体积的最大值 是 ▲ .

11.从集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}中任取两个数,欲使取到的一个数大于 k,另一个数 小于 k(其中 k?{5, 6, 7, 8, 9})的概率是

2 ,则 k= 5





12.已知点 A(–3,–2)和圆 C:(x–4)2+(y–8)2=9,一束光线从点 A 发出,射到直线 l:y=x–1 后反射(入射点为 B), 反射光线经过圆周 C 上一点 P, 则折线 ABP 的最短长度是 ▲ .

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13.如图所示,在长方体 ABCD–EFGH 中, AD=2, AB=AE=1,M 为矩形 AEHD 内的一点,如果∠MGF= ∠MGH,MG 和平面 EFG 所成角的正切值为 点 M 到平面 EFGH 的距离是 ▲ . B

A C M E F 第 13 题图 G

D

1 ,那么 2

H

x2 y2 14.已知点 P(x0, y0) 在椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上,如果经过点 P 的直线与椭圆只 a b
有一个公共点时,称直线为椭圆的切线,此时点 P 称为切点,这条切线方程可以表示为:

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b
根据以上性质,解决以下问题:

x2 y2 ? ? 1 ,若 Q(u,v)是椭圆 L 外一点(其中 u,v 为定值),经过 Q 点 已知椭圆 L: 16 9
作椭圆 L 的两条切线,切点分别为 A、B,则直线 AB 的方程是 ▲ .

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应 在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.复数 z1=a+bi(a、b?R,i 为虚数单位),z2=–b+i,且|z1|<|z2|,则 a 的取值范围是( ▲ ). (A)a>1 (B)a>0 (C)–l<a<1 (D)a<–1 或 a>1

16.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中偶数有( ▲ ). (A) 60 个 (B) 48 个 (C) 36 个 (D) 24 个

17.设 k>1,f(x)=k(x–1) (x?R),在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y=f(x)的图像与 x 轴交于 A 点, 它的反函数 y=f –1(x)的图像与 y 轴交于 B 点, 并且这两个函数的图像相交于 P 点. 已 知四边形 OAPB 的面积是 3,则实数 k 等于( ▲ ). (A) 3 (B)

3 2

(C)

4 3

(D)

6 5

18.若集合 A1、A2 满足 A1∪A2=A,则称(A1,A2)为集合 A 的一个分拆,并规定:当且仅当 A1=A2 时,(A1,A2)与(A2,A1)为集合 A 的同一种分拆,则集合 A={a1,a2,a3}的不同分拆 种数是( ▲ ). (A)8 (B)9 (C)26 (D)27

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三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分) a、b、c 分别是锐角△ABC 的内角 A、B、C 的对边,向量 p =(2–2sinA,cosA+sinA),

q =(sinA–cosA,1+sinA),且 p ∥ q .已知 a= 7 ,△ABC 面积为

3 3 ,求 b、c 的大小. 2

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 如图, 在四棱锥 P–ABCD 的底面梯形 ABCD 中, AD∥BC, AB⊥BC, AB=2, AD=3, ∠ADC=45?. 已知 PA⊥平面 ABCD,PA=1. 求:(1)异面直线 PD 与 AC 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示); (2)三棱锥 C–APD 的体积.

P A B C
第 20 题图

D

21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 已知 a>0 且 a?1, 数列{an}是首项与公比均为 a 的等比数列, 数列{bn}满足 bn=an?lgan(n?N*). (1)若 a=3,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; (2)若对于 n?N*,总有 bn < bn+1,求 a 的取值范围.

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22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 动点 P 与点 F (0,1) 的距离和它到直线 l : y ? ?1 的距离相等,记点 P 的轨迹为曲线 C . (1) 求曲线 C 的方程; (2) 设点 A ? 0, a ? (a ? 2 ) ,动点 T 在曲线 C 上运动时, AT 的最短距离为 a ? 1 ,求 a 的值 以及取到最小值时点 T 的坐标; (3) 设 P 1 , P2 为曲线 C 的任意两点,满足 OP 1 ? OP 2 ( O 为原点),试问直线 P 1P 2 是否恒过 一个定点?如果是,求出定点坐标;如果不是,说明理由.

23.(本小题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 设函数 f(x)=2kax+(k–3)a–x (a>0 且 a?1)是定义域为 R 的奇函数. (1) 求 k 值; (2) 若 f(2)<0, 试判断函数 f(x)的单调性, 并求使不等式 f(x2–x)+f(tx+4)<0 恒成立的 t 的取值 范围; (3) 若 f(2)=3,且 g(x)=2x+2 –x – 2mf(x)在 [ 2,+∞ ) 上的最小值为–2,求 m 的值.

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上海市金山区 2014—2015 学年第一学期期末考试
评分标准

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.[0, 5]; 2.

1 ; 3

3.0<x<1;

4.1–i;

5.

? 或 0; 6.3n+2; 7.0 2

8.7920;

9.2;

10.

2 2 ; 3

11.7;

12.10; 13.

2 ux vy ?1 ;14. ? 16 9 2

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应 在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.C; 16.B; 17.B; 18.D

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分) 解: p ? ?2 ? 2 sin A, cos A ? sin A? , q ? ?sin A ? cos A,1 ? sin A? ,又 p ‖ q (2–2sinA)(1+sinA)–(cosA+sinA)(sinA–cosA)=0, 即: 4 sin A ? 3 ? 0
2

又 ? A 为锐角,则 sin A ?

3 ,所以∠A=60?…………………………………………6 分 2

因为△ABC 面积为

1 3 3 3 3 ,所以 bcsinA= ,即 bc=6, 2 2 2

又 a= 7 ,所以 7=b2+c2–2bccosA,b2+c2=13,

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解之得: ?

?b ? 3 ?b ? 2 或? ………………………………………………………………12 分 ?c ? 2 ?c ? 3

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 解:(1) 过点 C 作 CF∥AB 交 AD 于点 F,延长 BC 至 E,使得 CE=AD,连接 DE,则 AC ∥DE,所以∠PDE 就是异面直线 PD 与 AC 所成的角或其补角,………………2 分 因 为 ∠ ADC=45? , 所 以 FD=2 , 从 而 BC=AF=1 , 且 DE=AC= 5 , AE= 20 , PE= 21 , PD= 10 , 在△ PDE 中,cos?PDE ? ?
P A B C F D E

3 2 ,所以,异面直线 PD 与 AC 所成 10

角的大小为 arccos

3 2 ………………………………………………………………8 分 10

(2) 因为 VC–APD=VP–ACD, S△ACD=

1 ?CF?AD=3 2 1 ? S△ACD ? PA=1, 3

PA⊥底面 ABCD,三棱锥 P–ACD 的高为 PA=1, VP–ACD=

所以,三棱锥 C–APD 的体积为 1.………………………………………………………14 分

21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. (1) 由已知有 an ? 3n , bn ? an lg an ? n ? 3 lg 3
n

Sn ? [3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ? ? (n ? 1)3n ?1 ? n ? 3n ]lg 3 , 3Sn ? [32 ? 2 ? 33 ? ? ? (n ? 1)3n ? n ? 3n ?1 ]lg 3 ,
所以 ? 2Sn ? (3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3
2 3 n ?1

? 3n ? n ? 3n ?1 ) lg 3 ,

Sn ?

3 (2n ? 1) n ?1 lg 3 ? ? 3 lg 3 . ………………………………………………………7 分 4 4
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(2) bn ? bn?1 即 nan lg a ? (n ? 1)a n?1 lg a .由 a ? 0 且 a ? 1 ,得 n lg a ? (n ? 1)a lg a , 所以 ?

?lg a ? 0 ?lg a ? 0 或? ?(n ? 1)a ? n ? 0 ?(n ? 1)a ? n ? 0

?0 ? a ? 1 ?a ? 1 ? ? 即? n 或? n 对任意 n?N*成立, a? a? ? ? n ?1 ? n ?1 ?
且1 ?

n 1 1 ? ,所以 0 ? a ? 或 a ? 1 ……………………………………………14 分 n ?1 2 2

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. (1) 根据抛物线的定义可知, 动点 P 的轨迹是抛物线 所以曲线 C 的方程为 x2=4y;……………………………………………………………4 分 (2) 设点 T(x0, y0), x02=4y0 (y0≥0), |AT|= ( x0 ? 0) ? ( y0 ? a) = [ y0 ? (a ? 2)] ? 4a ? 4 ,
2 2 2

a–2>0,则当 y0=a–2 时,|AT|取得最小值为 2 a ? 1 , 2 a ? 1 =a–1, a2–6a+5=0,a=5 或 a=1 (舍去),

所以 y0=a–2=3,x0=?2 3 ,所以 T 坐标为(?2 3 , 3);……………………………10 分 (3) 显然直线 OP1、OP2 的斜率都必须存在,记为 k, ?

1 , k

? y ? kx 4 4 ,解之得 P1( , 2 ),同理 P2(–4k, 4k2), ? 2 k k ?x ? 4 y
直线 P1P2 的斜率为

1? k2 1? k2 2 ( x ? 4k ) ,直线 P1P2 方程为: y ? 4k ? k k

整理得:k(y–4)+(k2–1)x=0,所以直线 P1P2 恒过点(0, 4)………………………………16 分
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23.(本小题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 解(1) 因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数,所以 f(0)=0, 所以 2k+(k–3)=0,即 k=1,检验知,符合条件……………………………………… 4 分 (2) f(x)=2(ax–a –x) (a>0 且 a?1) 因为 f(2)<0, a ?
2

1 <0,又 a>0 且 a?1,所以 0<a<1 a2

因为 y=ax 单调递减,y=a –x 单调递增,故 f(x)在 R 上单调递减。……………………7 分 不等式化为 f(x2–x)<f(–tx–4) 所以 x2–x >–tx–4,即 x2+(t–1)x+4>0 恒成立, 所以Δ =(t–1)2–16<0,解得–3<t<5.…………………………………………………… 10 分 (3) 因为 f(2)=3,所以 2( a ?
2

1 4 2 2 )=3,即 2a – 3a – 2=0,所以 a= 2 ……………12 分 a
x 2 x 2

所以 g(x)=2 +2 –4m( 2 – 2 令 t= 2 – 2
x 2 ? x 2

x

–x

x 2

?

)=( 2 – 2
? x 2

x 2

?

x 2 2

) -4m( 2 – 2

x 2

?

x 2

)+2.

,由(1)可知 t= 2 – 2

3 为增函数,因为 x≥2,所以 t≥ , 2 3 (t≥ )…………………………………………15 分 2

令 h(t)=t2-4mt+2=(t–2m)2+2–4m2 若 m≥

3 ,当 t=2m 时,h(t)min=2-4m2=–2,∴m=1 4

若 m<

3 25 3 3 17 ,当 t= 时,h(t)min= -6m=–2,解得 m= > ,舍去 2 4 4 24 4

综上可知 m=1.…………………………………………………………………………18 分

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