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实验三 用双线性变换法设计IIR数字滤波器


实验三 用双线性变换法设计 IIR 数字滤波器
实验项目名称:用双线性变换法设计 IIR 数字滤波器 实验项目性质:验证性实验 所属课程名称:数字信号处理 实验计划学时:2 一. 实验目的 (1)熟悉用双线性变换法设计 IIR 数字滤波器的原理与方法。 (2)掌握数字滤波器的计算机仿真方法。 (3)通过观察对实际心电图信号的滤波作用,获得数字滤波的感性知识。 二. 实验内容和要求 (1)用双线性变换法设计一个巴特沃斯低通 IIR 数字滤波器。设计指标参数 为:在通带内频率低于 0.2π 时,最大衰减小于 1dB;在阻带内[0.3π , π ]频率区间上,最小衰减大与 15dB。 (2)以 0.02π 为采样间隔,打印出数字滤波器在频率区间[0,π /2]的幅频 响应特性曲线。 (3)用所设计的滤波器对实际心电图信号采样序列(在本实验后面给出)进 行仿真滤波处理,并打印出滤波前后的心电图信号波形图,观察总结滤 波作用与效果。 三. 实验主要仪器设备和材料 计算机,MATLAB6.5 或以上版本 四. 实验方法、步骤及结果测试 (1)复习有关巴特沃斯模拟滤波器设计和用双线性变换法设计 IIR 数字滤波 器的内容,用双线性变换法设计数字滤波器系统函数 H ? z ? 。其中满足本 实验要求的数字滤波器系统函数为:
H ?z ? ?

?1 ? 1.2686 z

?1

? 0.7051 z ? 2

??

0.0007378 1 ? z ?1 1 ? 1.0106 z ?1 ? 0.3583 z ? 2 1 ? 0.9044 z ?1 ? 0.2155 z ? 2

?

?

6

??

?

? ? H k ?z ?
k ?1

3

(3.1)

式中:

H k ?z ? ?

A 1 ? 2 z ?1 ? z ?2 ,k ? 1, , 23 1 ? Bk z ?1 ? C k z ?2

?

?

(3.2)

A ? 0.09036 B1 ? 1.2686,C1 ? ?0.7051 B2 ? 1.0106,C 2 ? ?0.3583 B3 ? 0.9044,C 3 ? ?0.2155

根据设计指标,调用 MATLAB 信号处理工具箱 buttord 和 butter,也可以得 到 H ?z ?。 由公式(3.1)和(3.2)可见,滤波器 H ? z ? 由三个二阶滤波器 H 1 ?z ? 、H 2 ?z ? 和 H 3 ?z ? 级联而成,如图 3-1 所示。 (2)编写滤波器仿真程序, 计算 H ? z ? 对心电图采样序列 x(n)的响应序列 y(n)。

x ?n ?

H 3 ?z ? H Hz ? H 1 ?z ? 设 yk(n)为第 k 级二阶滤波器 2 ?k(z)的输出序列,yk-1(n)为输入序列,如图 3-1 所示。由(3.2)式可得到差分方程为:
y k ?n ? ? Ayk ?1 ?n ? ? 图 3-1?1滤波器? Ayk的组成 2? ? Bk y k ?n ? 1? ? C k y k ?n ? 2?(3.3) 2 Ayk ?n ? 1? H ? z ? ?1 ?n ?

y1 ?n ?

y 2 ?n ?

y 3 ?n ? ? y?n ?

当 k=1 时,yk-1(n)=x(n)。所以 H(z)对 x(n)的总响应序列 y(n)可以用顺序迭代 算法得到。即依次对 k=1,2,3,求解差分方程(3.3) ,最后得到 y3(n)=y(n)。 仿真程序就是实现上述求解差分方程和顺序迭代算法的通用程序。 也可以直 接调用 MATLAB filter 函数实现仿真。 (3)在通用计算机上运行仿真滤波程序,并调用通用绘图子程序,完成实验 内容(2)和(3) 。 (4)本实验中用到的心电图信号采用序列 x(n) 人体心电图信号在测量过程往往受到工业高频干扰, 所以必须经过低通滤波 处理后, 才能作为判断心脏功能的有用信息。下面给出一实际心电图信号采样序 列样本 x(n),其中存在高频干扰。在实验中,以 x(n)作为输入序列,滤除其中 的干扰成分。 {x(n)}={-4, -2, 0, -4, -6, -4, -2, -4, -6, -6, 6, 12, 8, 0,-16,

-4, -4, -6, -6, -2,

-38,-60,-84,-90,-66,-32, -4, -2, -4, 8,

12, 12, 10, 0,

6,

6, 0,

6, 0, 0}

4,

0,

0, 0,

0, -2, -4,

0, -2, -2, 0,

0, -2, -2, -2, -2,
T=1;Fs=1/T; wpz=0.2;wsz=0.3; wp=2*tan(wpz*pi/2);ws=2*tan(wsz*pi/2);rp=1;rs=15; [N,wc]=buttord(wp,ws,rp,rs,'s'); [B,A]=butter(N,wc,'s'); fk=0:1/512:1;wk=2*pi*fk; Hk=freqs(B,A,wk); subplot(2,2,1); plot(fk,20*log10(abs(Hk)));grid on; xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度(dB)'); axis([0,1,-100,5]);title('(b)'); [N,wc]=buttord(wpz,wsz,rp,rs); [Bz,Az]=butter(N,wc); wk=0:pi/512:pi; Hz=freqz(Bz,Az,wk); subplot(2,2,4); plot(wk/pi,20*log10(abs(Hz)));grid on; xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度(dB)'); axis([0,1,-100,5]);title('(b)');

二;

x=[-4,-2,0,-4,-6,-4,-2,-4,-6,-6,-4,-4,-6,-6,-2,6,12,8,0,-16,-38,-60,-84,-90,-66,-32,-4,-2,-4,8,12,12,10 ,6,6,6,4,0,0,0,0,0,-2,-4,0,0,0,-2,-2,0,0,-2,-2,-2,-2,0]; subplot(2,2,1); n=0:55; stem(n,x,'.'); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); title('x(n)的脉冲响应'); A=0.09036; b1=[A,2*A,A]; a1=[1,-1.2686,0.7051]; h1=filter(b1,a1,x); [H1,w]=freqz(b1,a1,100); b2=[A,2*A,A]; a2=[1,-1.0106,0.3583]; h2=filter(b2,a2,h1); [H2,w]=freqz(b2,a2,100); b3=[A,2*A,A]; a3=[1,-0.9044,0.2155]; h3=filter(b3,a3,h2); [H3,w]=freqz(b3,a3,100); subplot(2,2,2); stem(n,h3,'.'); xlabel('n'); ylabel('y(n)'); title('通过滤波器 H1(z),H2(z),H3(z)后的 y3(n)函数'); subplot(2,2,3); H4=H1.*(H2); H=H4.*(H3); mag=abs(H); db=20*log10((mag+eps)/max(mag)); plot(w/pi,db); xlabel('ω/π'); ylabel('20log[Ha3(ejw)]'); title('通过滤波器 H1(z),H2(z),H3(z)后的对数频率响应 20log[Ha3(ejw)]函数'); grid; figure(2); N=1024;n=0:N/2-1; Xk=fft(x,N);AXk=abs(Xk(1:N/2)); f=(0:N/2-1)*Fs/N; f=f/Fs; subplot(211);plot(f,AXk);title('x(n)的频谱'); xlabel('f');ylabel('| X(k) |');axis([0,0.5,0,400]);

Yk=fft(y,N);AYk=abs(Yk(1:N/2)); subplot(212);plot(f,AYk);title('y(n)的频谱'); xlabel('f');ylabel('| Y(k) |');axis([0,0.5,0,400])

%x(n)的心电脉冲函数 x=[-4,-2,0,-4,-6,-4,-2,-4,-6,-6,-4,-4,-6,-6,-2,6,12,8,0,-16,-38,-60,-84, -90,-66,-32,-4,-2,-4,8,12,12,10,6,6,6,4,0,0,0,0,0,-2,-4,0,0,0,-2,-2,0,0,-2,-2,-2,-2,0] subplot(2,2,1); n=0:55; stem(n,x,'.'); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); title('x(n)的心电脉冲函数'); %通过滤波器 H1(z)后的 y1(n)函数 A=0.09036; b1=[A,2*A,A]; a1=[1,-1.2686,0.7051]; h1=filter(b1,a1,x); [H1,w]=freqz(b1,a1,100); %通过滤波器 H1(z),H2(Z)后的 y2(n)函数 b2=[A,2*A,A];

a2=[1,-1.0106,0.3583]; h2=filter(b2,a2,h1); [H2,w]=freqz(b2,a2,100); %通过滤波器 H1(z),H2(Z),H3(Z)后的 y3(n)函数 b3=[A,2*A,A]; a3=[1,-0.9044,0.2155]; h3=filter(b3,a3,h2); [H3,w]=freqz(b3,a3,100); subplot(2,2,2); stem(n,h3,'.'); xlabel('n'); ylabel('y(n)'); title('通过滤波器 H1(Z),H2(Z),H3(Z)后的 y3(n)函数'); subplot(2,2,3); H4=H1.*(H2); H=H4.*(H3); mag=abs(H); db=20*log10((mag+eps)/max(mag)); plot(w/pi,db); xlabel('w/pi'); ylabel('20log[Ha3(ejw)]'); title('通过滤波器 H1(z)、H2(z)、H3(z)后的对数频率响应 20log[Ha3(ejw)]函数'); grid;

MATLAB 程序清单: %实验三,用双线性变换法设计 IIR 数字滤波器 x=[-4,-2,0,-4,-6,-4,-2,-4,-6,-6,-4,-4,-6,-6,-2,6,12,8,0,-16,-38,-60,84,-90,-66,-32,-4,-2,-4,8,12,12,10,6,6,6,4,0,0,0,0,0,-2,-4,0,0,0,-2,2,0,0,-2,-2,-2,-2,0]; k=1; close all; figure(1); subplot(2,2,1); n=0:55; %更正

stem(n,x,'.'); axis([0,56,-100,50]); hold on; n=0:60; m=zeros(61); plot(n,m); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); title('心电图信号采集序列 x(n)'); B=[0.09036,2*0.09036,0.09036]; A=[1.2686,-0.7051]; A1=[1.0106,-0.3583]; A2=[0.9044,-0.2155]; while(k<=3) y=filter(B,A,x); x=y; if k==2 A=A1; end if k==3 A=A2; end k=k+1; %The function is to filte the singal x %更正

end subplot(2,2,3) n=0:55; %更正

stem(n,y,'.'); axis([0,56,-15,5]); hold on; n=0:60; m=zeros(61); plot(n,m); xlabel('n'); ylabel('y(n)'); title('三级滤波后的心电图信号'); %求数字滤波器的幅频特性 A=[0.09036,0.1872,0.09036]; B1=[1,-1.2686,0.7051]; B2=[1,-1.0106,0.3583]; B3=[1,-0.9044,0.2155]; [H1,w]=freqz(A,B1,100); [H2,w]=freqz(A,B2,100); [H3,w]=freqz(A,B3,100); H4=H1.*(H2); H=H4.*(H3); mag=abs(H); db=20*log10((mag+eps)/max(mag)); subplot(2,2,2) plot(w/pi,db); axis([0,0.5,-50,10]); grid on; %更正

title('滤波器的幅频响应曲线');

程序运行结果: 直接运行程序, 结果输出滤波器幅频特性曲线图,有噪声的心电图采集信号

波形图和经过三级二阶滤波器滤波后的心电图信号波形图,见图 3-2,对比分析 就可以看出低通滤波器滤除信号中高频噪声的滤波效果。

五. 实验报告要求 (1) 简述实验原理及目的。 (2) 由所打印的| H(ejw) |特性曲线及设计过程简述双线性变换法的特点。 (3) 对比滤波前后的心电图信号波形, 说明数字滤波器的滤波过程与滤波作用。 (4) 简要回答思考题。 六. 思考题


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